3.3　名校考研真題詳

一、選擇題

1．下列說法正確的是（　　）。[武漢大學2015研]

A．零狀態響應是指系統沒有激勵時的響應

B．信號時移只會對幅度譜有影響

C．信號3e－2tu（t）為能量信號

D．一個信號存在拉氏變換就一定存在傅氏變換

【答案】C

【解析】A項，初始狀態為0的響應稱為零狀態響應；B項，信號的時移只對相位譜有影響，而不是幅度譜；C項，是有限值，因此是能量信號；D項，拉普拉斯變換是傅里葉變換的延伸，存在傅里葉變換一定就存在拉普拉斯變換，反之則不一定。

2．設

若

則f₁（t）為（　　）。[武漢科技大學2017研]

A．f（2t－5）

B．f（2t－10）

C．f（－2t＋5）

D．f（－2t＋10）

【答案】A

【解析】根據傅里葉尺度變換性質有

再根據時移特性有

故f₁（t）＝f（2t－5）。

3．信號td[f（t）]/d（t）的傅里葉變換為（　　）。[西南交通大學2014研]

A．F（ω）＋ωd[F（ω）]/dω

B．－F（ω）＋ωd[F（ω）]/dω

C．F（ω）－ωd[F（ω）]/dω

D．－F（ω）－ωd[F（ω）]/dω

【答案】D

【解析】根據傅里葉變換的時域微分性質及頻域微分性質可知

所以

4．以下（　　）信號的傅里葉變換為周期函數。[武漢科技大學2017研]

A．cos（3πt）

B．e－tu（t）

C．u（t＋10）－u（t－10）

D．

【答案】D

【解析】根據傅里葉變換的時域頻域關系可知，只有當時域信號是離散信號時，頻域才會是周期的，只有D項滿足離散這一條件。

5．信號x（t）的傅里葉變換為

則x（t）為（　　）。[西南交通大學2014研]

A．（sin2t）/（2t）

B．（sin2t）/（πt）

C．（sin4t）/（4t）

D．（sin4t）/（πt）

【答案】B

【解析】根據傅里葉對稱性質可知

則

即x（t）＝（sin2t）/（πt）。

6．信號x（t）＝tu（t）－2（t－1）u（t－1）＋（t－2）u（t－2），信號的傅里葉級數的系數應滿足（　　）。[電子科技大學2013研]

A．Im{a_k}＝0，a_－k＝a_k

B．Re{a_k}＝0，a_－k＝a_k

C．Im{a_k}＝0，a_－k＝－a_k

D．Re{a_k}＝0，a_－k＝－a_k

【答案】A

【解析】已知x（t），則可以畫出x（t＋1）的表達式為：x（t＋1）＝（t＋1）u（t＋1）－2tu（t）＋（t－1）u（t－1）。

其波形如圖3-3-1所示。

圖3-3-1

則y（t）的波形如圖3-3-2所示。

圖3-3-2

因此y（t）為實偶函數，則傅里葉系數也是實偶的，即Im{a_k}＝0，a_－k＝a_k。

7．若周期信號x（n）是實信號和奇信號，則其傅里葉級數系數a_k是（　　）。[西南交通大學2014研]

A．實且偶

B．實且為奇

C．純虛且偶

D．純虛且奇

【答案】D

【解析】根據傅里葉級數性質可知：x（n）是實信號和奇信號，則其傅里葉級數系數純虛且奇，x（n）是實信號和偶信號，則其傅里葉級數系數實且偶。

二、填空題

1．連續信號x（t）＝sinωt的平均功率為______，全波整流信號x（t）＝|sinωt|的直流分量為______。[北京郵電大學2016研]

【答案】1/2；2/π

【解析】周期信號x（t）的平均功率為

全波整流信號x（t）的直流分量為

2．己知話音信號x（t）的帶寬是4kHz，對其進行理想抽樣，最低抽樣率為______kHz；對x（t）cos（8000πt）進行理想抽樣，則最低抽樣率為______kHz。[北京郵電大學2016研]

【答案】8；16

【解析】根據奈奎斯特抽樣定理可知，當抽樣頻率f_s＞2f_m時，抽樣信號即可無失真恢復，因此對x（t）的抽樣頻率為8kHz。根據傅里葉頻域卷積定理可知

故其頻譜向右擴展了（8000π/2π）Hz，則抽樣頻率為2×（4kHz＋4kHz）＝16kHz。

3．信號的傅里葉變換為______。[華中科技大學2012研]

【答案】[u（ω＋π）－u（ω－π）]e－jω

【解析】根據常用傅里葉變換對知

再根據傅里葉時移性質可知

最后根據傅里葉時域卷積定理有

4．已知某連續LTI系統的頻率響應

則其沖激響應h（t）＝______。[北京交通大學2015研]

【答案】

【解析】由已知

根據對稱性可知

再根據頻移特性可得

5．頻譜函數cosω所對應的時間函數為______。[北京郵電大學2016研]

【答案】（1/2）[δ（t－1）＋δ（t＋1）]

【解析】根據題意，即求cosω的傅里葉逆變換，由傅里葉變換的對稱性質知

即cosω所對應的時間函數為（1/2）[δ（t－1）＋δ（t＋1）]。

6．已知f（t）的頻帶寬度為?ω，則f（3t－1）的頻帶寬度為______。[武漢大學2015研]

【答案】3?ω

【解析】由傅里葉尺度變換特性

可知，f（3t－1）較f（t）而言是在時域上壓縮了3倍，則頻譜就會擴展3倍，即3?ω。

7．已知某周期信號

則其平均功率P＝______。[北京交通大學2015研]

【答案】5/2

【解析】由歐拉公式可得：

2cos（2πt－3）＝e－j3·ej2πt＋ej3·e－j2πt

sin（6πt）＝（1/2j）·ej6πt－（1/2j）·e－j6πt

則2cos（2πt－3）的傅里葉級數為F₁＝e－j3，F_－1＝ej3；sin（6πt）的傅里葉級數為F₃＝1/2j，F_－3＝－1/2j，而周期信號的平均功率為

8．己知信號x（t）的最高頻率f₀（Hz），則對信號x（t）x（2t）抽樣時，其頻譜不混迭的最大抽樣間隔T_max＝______（s）。[北京交通大學2015研]

【答案】1/（6f₀）

【解析】由傅里葉尺度變換性質可知x（2t）的最高頻率為2f₀，再由時域相乘頻域卷積性質可知，x（t）x（2t）的最高頻率為3f₀，故根據奈奎斯特抽樣定理可得f_s＝6f₀，即T_max＝1/（6f₀）（s）。

三、判斷題

連續非周期信號的頻譜也是連續非周期的。（　　）[中山大學2010研]

【答案】對

【解析】連續非周期信號的頻譜是連續非周期性的；周期性連續時間信號的頻譜是非周期離散的；非周期離散的時間信號的頻譜是周期性連續的；周期性離散的時間信號的頻譜是周期性離散的。

四、計算題

1．已知f（t）的頻譜

分別求信號f₁（t）＝f（2t），f₂（t）＝f（t）cos（2t）和f₃（t）＝f（t/2）*f（t）的奈奎斯特角頻率。[西安電子科技大學2017研]

解：由題意可知f（t）的最大角頻率為2rad/s。

（1）由傅里葉尺度變換性質可知，f（2t）的頻譜相較于f（t）擴展了2倍，因此f（2t）的最大角頻率為2×2＝4rad/s，則奈奎斯特角頻率為8rad/s。

（2）根據傅里葉頻域卷積性質可知：F₂（jω）＝（1/2）{F[j（ω＋2）]＋F[j（ω－2）]}

因此f₂（t）的最大角頻率為4rad/s，則奈奎斯特角頻率為8rad/s。

（3）由傅里葉尺度變換性質可知，f（t/2）的頻譜相較于f（t）壓縮了2倍，因此f（2t）的最大角頻率為2×0.5＝1rad/s，再根據傅里葉時域卷積定理可知，f₃（t）的最大角頻率與f（t/2）相等，即1rad/s，則奈奎斯特角頻率為2rad/s。

2．已知周期信號

（1）求信號f（t）的基波周期T；

（2）畫出f（t）三角函數形式的振幅譜和相位譜（即單邊譜）；

（3）確定f（t）的功率。[西安電子科技大學2017研]

解：（1）f（t）中第二項周期T₁＝2π/（π/4）＝8，第三項周期T₂＝2π/（π/3）＝6，取最小公倍數有T＝24。

（2）f（t）可表示為

基波頻率Ω＝2π/24＝π/12，因此三角函數級數的系數c_n為

其振幅譜與相位譜分別如圖3-3-3所示。

圖3-3-3

（3）根據周期信號的功率求解公式知

3．計算sgn（t2－1）的Fourier變換。[中國科學技術大學2015研]

解：根據符號函數的定義，sgn（t2－1）為

則sgn（t2－1）可表示為1－2g₂（t）。

根據常用傅里葉變換對有

則sgn（t2－1）的傅里葉變換為：2πδ（ω）－4Sa（ω）。

4．已知抑制載波雙邊帶幅度調制的原理框圖如圖3-3-4（a）所示，圖中f（t）為低頻的調制信號，其頻譜F（jω）如圖3-3-4（b）所示。f（t）經調制高頻的載波信號c（t）＝cosω_ct，得到已調信號y（t）。已調信號y（t）通過如圖3-3-4（c）所示的同步解調器，得到最終輸出信號f₁（t）。請分別畫出已調信號y（t），解調器中的f₀（t），和解調器輸出信號f₁（t）對應的頻譜圖，并給出f₁（t）與f（t）關系。[西安電子科技大學2017研]

圖3-3-4

解：已知

根據傅里葉頻域卷積定理可知

因為c（t）為高頻信號，而f（t）為低頻信號，故ω_c＞＞ω_m，故可畫出y（t）對應的頻譜圖如圖3-3-5所示。

圖3-3-5

同理可得

因此f₀（t）對應的頻譜圖如圖3-3-6所示。

圖3-3-6

由F₁（jω）＝F₀（jω）H（jω）可得f₁（t）的對應頻譜圖如圖3-3-7所示。

圖3-3-7

對比f₁（t）與f（t）的對應頻譜圖可知，f₁（t）＝f（t）。

5．一理想低通濾波器的頻率響應

若輸入

求輸出y（t）。[武漢科技大學2017研]

解：由f（t）表達式可知，f（t）是一個T＝2π，Ω＝1rad/s的周期函數，而H（jω）是一個截止頻率為3rad/s的低通濾波器，因此f（t）中只有n＝0，n＝±1，n＝±2時的分量能夠通過H（jω），因此輸出為

6．如圖3-3-8（a）所示系統，已知f（t）的傅里葉變換F（jω）如圖3-3-8（b）所示，子系統的H（jω）＝jsgn（ω），求零狀態響應y（t）。[武漢科技大學2017研]

圖3-3-8

解：設y₁（t）＝f（t）cos4t，則Y₁（jω）＝（1/2）{F[j（ω－4）＋j（ω＋4）]}；

設x（t）＝f（t）*h（t），則X（jω）＝H（jω）F（jω）＝jsgn（ω）F（jω）＝j[g₂（ω－1）－g₂（ω＋1）]；

設y₂（t）＝x（t）sin4t，則Y₂（jω）＝（1/2）[g₂（ω－5）－g₂（ω－3）－g₂（ω＋3）＋g₂（ω＋5）]；

則Y（jω）＝Y₁（jω）＋Y₂（jω）＝[g₂（ω－5）＋g₂（ω＋5）]＝g₂（ω）*[δ（ω－5）＋δ（ω＋5）]。

由對稱性知

根據傅里葉頻域卷積定理可知：y（t）＝2π·（1/π）Sa（t）·（1/π）cos5t＝（2/π）Sa（t）cos5t。

7．某幅度調制的接收系統如圖3-3-9所示，若輸入信號x（t）的頻譜X（jω）如圖3-3-10所示，載波c（t）＝cos（1000t），－∞＜t＜＋∞。

（1）試求解輸入信號x（t）的時域表示式。

（2）試畫出下圖所示系統中信號c（t），z（t）和y（t）的頻譜圖。[北京交通大學2015研]

圖3-3-9

圖3-3-10

解：（1）X（jω）可表示為：X（jω）＝g₄（ω）*[δ（ω＋1000）＋δ（ω－1000）]

根據頻域卷積定理可知

（2）由系統框圖可知

它們的頻譜圖分別如圖3-3-11、3-3-12、3-3-13所示。

圖3-3-11

圖3-3-12

圖3-3-13

8．計算[sin（4πt）cos（2πt）]/（πt）的傅里葉變換。[電子科技大學2013研]

解：已知傅里葉變換對有

根據傅里葉頻域卷積定理可知

9．系統如圖3-3-14所示，輸入信號以及沖激響應為

求輸出y（t）。[電子科技大學2013研]

圖3-3-14

解：結合傅里葉時域微分性質可得h₃（t）的傅里葉變換為：H₃（jω）＝jωg_2π（ω）

而x（t）的傅里葉變換為

故

又已知

因此h₁（t）與h₂（t）組成的系統是截止頻率為4π的理想高通濾波器，因此輸出Y（jω）＝0，即y（t）＝0。

10．信號x（t）的傅里葉變換為X（jω），x（t）如圖3-3-15所示，計算：

（1）

（2）

（3）

[電子科技大學2013研]

圖3-3-15

解：（1）根據傅里葉逆變換可知

故

（2）根據傅里葉時域微分性質可知

則

（3）因為x（t）是實信號，則通過奇偶分解可知

得

11．已知信號

對信號y（t）＝x₁（t）x₂（t）進行單位沖擊采樣后獲得信號

試確定采樣周期T的范圍，確保可以由信號y_p（t）無失真的還原出信號y（t）。[電子科技大學2013研]

解：已知傅里葉變換對

由此可知：

X₁（jω）＝（1/2）.g_6π（ω）*g_4π（ω）?X₁（jω）＝0，|ω|＞5π

X₂（jω）＝g_2π（ω）?X₂（jω）＝0，|ω|＞π

同理可得

因此根據奈奎斯特抽樣定理可得：ω_m＝6π?ω_s＞12π?T＜（1/6）。

12．圖3-3-16所示系統。

圖3-3-16

其中：

試回答以下問題：

（1）求x（t）及h₁（t）的傅里葉變換；

（2）求x_r（t）、p（t）以及x_p（t）的頻譜函數，并畫出頻譜圖；

（3）求y（t）。[華中科技大學2012研]

解：（1）由常用傅里葉變換對可得h₁（t）的傅里葉變換為：H₁（jω）＝（1/100）g₂₀₀（ω）。

根據頻域卷積定理可得

計算卷積得：X（jω）＝（100－|ω|/2）g₄₀₀（ω）。

（2）由（1）可知

脈沖信號p（t）的周期為T＝0.02π，Ω＝2π/T＝100，則p（t）的頻譜為

根據頻域卷積定理可得

X_r（jω）、P（jω）、X_p（jω）的頻譜圖如圖3-3-17所示。

圖3-3-17

（3）因為X_p（jω）＝75/π，故x_p（t）＝（75/π）δ（t），根據時域卷積定理有

五、證明題

1．已知x（t）是因果實信號，x（t）的傅里葉變換為X（jω），X（jω）＝R（jω）＋jI（jω），其中，R（jω）是X（jω）的實部，I（jω）是X（jω）的虛部，證明

[電子科技大學2013研]

證明：因為x（t）是實信號，所以由實信號奇偶分解性質可知

由能量定理和x（t）是因果信號可知

因此可得

則

因此可得

由于x（t）是實信號，所以R（jω）是偶信號，I（jω）是奇信號，則

證明完畢。

2．輸入信號x（t）是周期信號，基本周期為T＝1，線性時不變系統的頻率響應H（jω）如圖3-3-18所示。若輸出y（t）＝x（t），證明輸入信號x（t）的傅里葉級數的系數a_k應滿足：a_k＝0，|k|≠1且|k|≠2

[電子科技大學2013研]

圖3-3-18

解：x（t）的基本周期T＝1可得

由于H（jk2π）僅在|k|＝1或|k|＝2時取值為1，則為了滿足上式，必須要使x（t）的傅里葉級數系數滿足在|k|≠1和|k|≠2時為0，即a_k＝0，|k|≠1且|k|≠2。