第五節　斯勒茨基方程

一、名詞解釋

斯勒茨基方程（廈門大學2015研）

答：該方程由尤金·斯勒茨基提出而得名，表示商品價格變化的影響的方程，這種影響可表示為：價格效應＝收入效應＋替代效應。在消費者行為理論中，消費者會在預算約束下選擇一個商品束使他達到最大程度的效用滿足，這個商品束便稱為該消費者的需求函數。如果價格和收入發生一定的變化，那么對各種商品的需求量，都會隨著發生改變。斯勒茨基方程式就描述了需求變化率之間的關系。這個方程可以表示為：

是在價格和收入既定情況下即（，）下消費者所達到的最大化的效用水平，是第種商品的補償需求函數。

上邊的方程式也可以近似的寫為：

左邊的表示由于第種商品價格變動量為所引起的對第種商品的需求的變化，等式右邊的第一項表示由于替代效用引起的需求量變化，第二項（為負值）表示由于收入效應而引起的需求變化。斯勒茨基方程式表明，一種價格變化引起的需求的變化是由替代效應和收入效應共同作用的結果。

二、單項選擇題

1．以下關于收入效應和替代效應的說法哪個是正確的？（　?。ㄖ猩酱髮W2009研）

A．收入效應總是正的，替代效應總是負的

B．收入效應總是正的，替代效應可能是正的也可能是負的

C．替代效應總是負的，收入效應可能是正的也可能是負的

D．替代效應總是負的，收入效應總是負的

【答案】C

【解析】替代效應引起的需求變動方向總是與價格變動的方向相反；收入效應可能是正的也可能是負的，取決于考察的商品是正常商品還是低檔商品。

2．對于正常商品而言，當價格上漲時（　　）。（中央財經大學2010研）

A．替代效應為負，收入效應為負

B．替代效應為負，收入效應為正

C．替代效應為正，收入效應為負

D．替代效應為正，收入效應為正

【答案】A

【解析】當正常商品價格上漲時，替代效應使得需求更多傾向于其替代品，則替代效應為負；商品價格上漲使得收入水平相對下降，正常商品的需求量下降，則收入效應為負。因此，對于正常商品而言，替代效應與價格成反方向的變動，收入效應也與價格成反方向的變動。

3．替代效應是由于以下哪個因素導致的對需求的增加？（　　）（中山大學2008研）

A．所有價格的變化

B．由于一個替代品的廣告引起的口味的改變

C．發現了新的替代品

D．以上都不是

【答案】D

【解析】替代效應是指當一種商品價格發生變化時，由該商品的價格變動引起的商品的相對價格的變動，進而由商品的相對價格的變動引起的商品的需求量的變動。當一種商品價格降低時，相對其他商品來說該商品更加便宜，所以消費者會增加對該商品的消費，使需求增加。

4．下列哪種說法是對的？（　?。ㄉ虾Ｘ斀洿髮W2008研）

A．替代效應一定為負

B．Slutsky替代效應為正，希克斯替代效應為負

C．正常商品的替代效應為正，吉芬商品的替代效應為負

D．正常商品的替代效應為負，吉芬商品的替代效應為正

【答案】A

【解析】無論是正常商品還是低檔商品或是吉芬商品，斯勒茨基分解后的替代效應都是負的，?？怂狗纸夂蟮奶娲彩鞘冀K為負。

5．當價格變化時，為使消費者達到價格變化后的效用水平所需要的收入補償被稱為（　　）。（上海財經大學2008研）

A．補償變換（Compensation Variation）

B．等價變換（Equivalent Variation）

C．消費者剩余的變化量

D．Slutsky收入補償

【答案】B

【解析】收入的補償變化是指使消費者回到他初始的無差異曲線上所必須的收入變化。收入的等價變化是指消費者為了避免價格變動而愿意付出的最大收入量。補償變化是補償消費者一定收入后消費者回到價格變化前的效用水平，而等價變化是指減少消費者一定收入后使消費者得到價格變化后的效用水平，兩種對收入的變化后所達到的目標效用水平是不同的。

6．一個學生每月從父母那里得到500元的生活費。假如他對大米的需求函數為

如果大米的價格從每公斤4元漲到6元，為了保證他的生活水平不下降，他的生活費應從500元增加到（　?。┰＃ㄉ虾Ｘ斀洿髮W2006研）

A．506

B．508

C．510

D．512

【答案】D

【解析】為了保證他的生活水平不下降，那么，應該保證該學生的實物消費量不變。當大米的價格為4元時，該學生的大米需求量為

那么對大米的支出為4×6＝24元，對其他商品的支出為500－24＝476元。當大米的價格漲到6元，且購買量仍為6時，對大米的支出變為36元，加上對其他商品的支出476元，該學生的總支出為512元。也就是說，為了保證他的生活水平不下降，他的生活費應從500元增加到512元。

7．當一種商品的價格上升時，需求的變化量與替代效應的關系為（　?。?。（上海財經大學2006研）

A．前者比后者大

B．前者比后者小

C．前者與后者一樣大

D．前者可能比后者大，也可能比后者小

【答案】D

【解析】由斯勒茨基恒等式可知，當替代效應和收入效應符號一致時，總效應（即價格變動引起的需求變化量）大于替代效應的變化量；當與符號不相同時，則兩者的比較關系是不確定的。

8．某消費者消費兩種商品和，他的效用函數式

假設商品的價格和他的收入不變，商品的價格下降，那么（　　）。（中山大學2011研）

A．商品的替代效應為0，因為的價格沒有變化

B．商品的收入效應為0，因為消費者的收入不變

C．價格變化引起的替代效應減少了商品的需求，增加了商品的需求

D．以上都不對

【答案】D

【解析】根據消費者效用最大化條件可得：

即

聯立預算約束方程可得需求函數為：

可知商品的需求與其他商品的價格無關。商品的價格不變，收入不變，則的需求不變；的價格下降，需求增加。

9．對于完全替代型的偏好作?？怂梗℉icks）分解（　?。?。（中山大學2015研）

A．既有替代效應，也有收入效應

B．只有替代效應，沒有收入效應

C．只有收入效應，沒有替代效應

D．根據具體效用函數而定

【答案】C

【解析】替代效應是指某商品的價格變化時，保持效用水平不變，對該商品需求量的變化。對于完全替代型的偏好，其無差異曲線是一條直線。其最優點是邊角解，即用所有財富去購買相對價格最低的那種商品。假設該商品為i，總財富為w，價格為p_i，則需求量為

當價格降低時，為了使效用水平不變，只要i的相對價格還是最低，對i的需求量仍是，故替代效應為0，只有收入效應。

三、簡答題

1．作圖說明低檔商品的收入效應、替代效應和全部效應。（上海交通大學2003研）

答：低檔商品是指需求量隨著消費者收入水平的提高而減少，隨著消費者收入水平的下降而增加的商品。下面通過圖2-13來說明低檔商品的收入效應、替代效應和全部效應。

圖2-13  低檔商品的收入效應、替代效應和全部效應

如圖2-13所示，橫軸和縱軸分別表示商品1和商品2的數量，其中商品1是低檔商品。商品1的價格變化前的消費者的效用最大化的均衡點為點，下降以后的消費者均衡點為點，因此價格下降所引起的商品1的需求量的增加量為，這便是全部效應或總效應。通過作出與預算線平行且經過初始選擇點的補償預算線，便可將總效應分解為替代效應和收入效應。具體來看，下降引起的商品相對價格的變化，使消費者由均衡點運動到均衡點，相應的需求增加量為，這就是替代效應，它是一個正值。而下降引起的消費者的實際收入水平的變動，使消費者由均衡點運動到均衡點，需求量由減少到，這就是收入效應。其原因在于：價格下降所引起的消費者的實際收入的提高，會使消費者減少對低檔商品1的需求量。

圖2-13中的商品1的價格下降所引起的商品1的需求量的變化的全部效應為，它是正的替代效應和負的收入效應之和。由于替代效應的絕對值大于收入效應的絕對值，所以效應是一個正值。

綜上所述，對于低檔商品來說，替代效應與價格成反方向的變動，收入效應與價格成同方向的變動，而且在大多數場合，收入效應的作用小于替代效應的作用，所以，全部效應與價格成反方向的變動，相應的需求曲線是向右下方傾斜的。

2．請畫出吉芬商品在其價格下降時的收入效應、替代效應和總效應。（中山大學2005研；中國海洋大學2012研；中央財經大學2014研）

答：吉芬商品是一種特殊的低檔商品。作為低檔商品，吉芬商品的替代效應與價格成反方向的變動，收入效應則與價格成同方向的變動。吉芬商品的特殊性就在于：它的收入效應的作用很大，以至于超過了替代效應的作用，從而使得總效應與價格成同方向的變動。這也就是吉芬商品的需求曲線呈現出向右上方傾斜的特殊形狀的原因。

如圖2-14所示，橫軸和縱軸分別表示商品1和商品2的數量，其中，商品1是吉芬商品。商品1的價格下降前后的消費者的效用最大化的均衡點分別為點和點，相應的商品1的需求量的減少量為，這就是總效應。通過補償預算線可得：為替代效應，它是一個正值；是收入效應，它是一個負值。而且，負的收入效應的絕對值大于正的替代效應的絕對值，所以，最后形成的總效應為負值。在圖2-14中，點必定落在、兩點之間。

圖2-14  吉芬商品的替代效應和收入效應

3．利用替代效應與收入效應，作圖說明低檔商品與吉芬商品之間的相互聯系。（上海交通大學2006研；中央財經大學2013研；上海大學2016研）

答：（1）低檔商品的替代效應與收入效應

對于低檔商品來說，替代效應與價格成反方向的變動，收入效應與價格成同方向的變動，而且，在大多數的場合，收入效應的作用小于替代效應的作用，所以，總效應與價格成反方向的變動，相應的需求曲線是向右下方傾斜的。

如圖2-15所示，商品1是低檔商品。初始最優選擇點為點，商品1的價格下降，最終最優選擇點為點。因此，價格下降所引起的商品1的需求量的增加量為，這便是總效應。通過作與預算線平行且經過初始選擇點的補償預算線，便可將總效應分解成替代效應和收入效應。其中，為替代效應，它與價格變動的方向相反；為收入效應，它與價格變動的方向相同。由于替代效應的絕對值大于收入效應的絕對值，或者說，由于替代效應的作用大于收入效應，所以，總效應是一個正值。

圖2-15  低檔商品的替代效應與收入效應

（2）吉芬商品的替代效應與收入效應

吉芬商品是一種特殊的低檔商品。作為低檔商品，吉芬商品的替代效應與價格成反方向變動，收入效應與價格成同方向變動。其特殊性在于：它的收入效應的作用大于替代效應的作用，從而總效應與價格成同方向的變動，這樣使得吉芬商品的需求曲線向右上方傾斜。

如圖2-16所示，商品1是吉芬商品。初始最優選擇點為點，商品1的價格下降，最終最優選擇點為點。因此，價格下降所引起的商品1的需求量的減少量為，這便是總效應。通過作與預算線平行且經過初始選擇點的補償預算線，便可將總效應分解成替代效應和收入效應。其中，為替代效應，它與價格變動的方向相反；為收入效應，它與價格變動的方向相同。由于收入效應的絕對值大于替代效應的絕對值，或者說，由于收入效應的作用大于替代效應，所以，總效應是一個負值。

圖2-16  吉芬商品的替代效應和收入效應

（3）低檔商品與吉芬商品之間的相互聯系

通過作圖可以看出低檔商品與吉芬商品之間的相互聯系，即吉芬商品是一種特殊的低檔商品。吉芬商品的特殊性在于：它的收入效應的作用大于替代效應的作用，從而總效應與價格成同方向的變動。

4．斯勒茨基替代效應與希克斯替代效應的異同。（上海交通大學2004研；廈門大學2006、2008研）

答：斯勒茨基替代效應與?？怂固娲欠謩e以兩位經濟學家斯勒茨基與?？怂沟拿置?。斯勒茨基替代效應是在商品相對價格變化后，在保持消費者實際收入不變（這里的實際收入不變是指消費者在價格變化后能夠購買他想要購買的價格變動以前的商品購買量）情況下所引起的商品需求量的變化；?？怂固娲窃谏唐废鄬r格變化后，在保持消費者實際收入不變（這里的實際收入不變是指使消費者在價格變化前后保持在同一條無差異曲線上）情況下所引起的商品需求量的變化。斯勒茨基替代效應與?？怂固娲g既有相同點，也有不同點。

（1）斯勒茨基替代效應與?？怂固娲南嗤c

斯勒茨基替代效應與?？怂固娲南嗤c主要體現在以下兩個方面：①斯勒茨基替代效應與希克斯替代效應都是非正的，這可以用顯示偏好理論證明；②對于無限小的價格變動來說，斯勒茨基替代效應與?？怂固娲窍嗟鹊?，即有：

（2）斯勒茨基替代效應與希克斯替代效應的不同點

希克斯分解與斯勒茨基分解的區別在于替代效應的不同——?？怂固娲皇潜３仲徺I力不變而是保持效用不變（即在同一條無差異曲線上）。這在圖形中的表現就是平行于價格變化后的預算線的輔助線的畫法不同，希克斯分解中的那條輔助線是與原來的無差異曲線相切，而斯勒茨基分解中的輔助線是經過價格變化前的需求束。斯勒茨基替代效應與希克斯替代效應的不同點可借用圖2-17予以說明。

圖2-17  斯勒茨基替代效應與?？怂固娲?/p>

四、計算題

1．小明在A城市的一家企業工作，每期的收入為12個單位，他每月主要消費兩種產品和。他的效用函數為

A城市的兩種產品，的價格分別是1和1，小明所在的企業往城市B發展，并設立分支機構。上司希望小明到城市B去上班，在城市B，兩種產品，的價格分別為2和1。

（1）如果在兩個城市，小明的收入相同，問在城市A和城市B對商品的需求變化是多少，其中有多少可以歸結為替代效應，有多少歸結為收入效應？

（2）小明從城市A到城市B工作，要保證他福利不變，需要對他的收入進行多少補償？（上海財經大學2009、2013研）

解：（1）由柯布—道格拉斯效用函數的性質可知，小明花在商品和花在商品上的錢是一樣多的，即都為6單位。小明在城市A每月對商品的需求為6，在城市B每月對商品的需求為3。

當商品的價格變為2時，為了使原先的消費束仍能支付得起，則收入必須作出變動，即要使購買力保持不變，所需的收入水平為

由柯布—道格拉斯效用函數的性質可知，此時小明將消費4.5單位商品，9單位商品。所以，替代效應

收入效應

（2）保證小明的效用水平不變，即要給予消費者足夠多的貨幣補償使他恰好能夠回到原先的無差異曲線，從而保證福利不變，是?？怂故杖胄械氖杖胙a償，所以按?？怂故杖胄獊碛嬎?。

原先效用水平

兩種產品，的價格分別為2和1時，由柯布—道格拉斯效用函數的性質可知，要保證福利不變，此時小明將消費單位商品，單位商品。

此時收入水平

可以求得需要補償的收入為

2．假設某個學生的月收入為元，他對面包的需求函數為

面包的價格為。

（1）當價格從4上漲到時，為使該學生仍買得起原來的面包消費量，他的收入應增加多少？

（2）請計算斯勒茨基（Slutsky）替代效應。

（3）請計算收入效應。（上海財經大學2007研）

解：（1）根據該學生對面包的需求函數

當元，時，該學生對面包的需求量

當價格從4上漲到時，為使該學生仍買得起原來的面包消費量，他的收入應增加

（2）為使該學生仍買得起原來的面包消費量，該學生所需的收入水平為

將和代入需求函數，可得：

所以，斯勒茨基替代效應為：

（3）將和代入需求函數，可得：

所以，斯勒茨基收入效應為：

3．某消費者具有效用函數

和的單位價格均為4元，該消費者的收入為144元。試問：

（1）為使消費者的效用最大化，消費者對和的需求應該各為多少單位？（要求寫出最優化問題，然后求解。）

（2）消費者的總效用是多少？每單位貨幣的邊際效用是多少？

（3）若的單位價格上升為9元，對兩種商品的需求有何變化？此時總效用為多少？

（4）的單位價格上升為9元后，若要維持當初的效用水平，消費者的收入最少應該達到多少？（要求寫出最優化問題，然后求解。）

（5）求的價格上升為9元所帶來的替代效應和收入效應。（中山大學2005研）

解：（1）根據題意，可得出預算線方程為：

構造拉格朗日輔助函數

效用最大化的一階條件為：

解得最優選擇為（18，18）。

即為使消費者的效用最大化，消費者對和的需求應該各為18單位。

（2）總效用

每單位貨幣的邊際效用

（3）若的單位價格上升為9元，則相應的預算方程變為

按照（1）計算方法，構造拉格朗日輔助函數

解得最優選擇為（8，18），即購買8單位商品，購買18單位商品。

總效用

（4）根據消費者效用最大化條件

故有：

解得：

將代入效用函數

可得：

將代入預算方程，可得收入I＝9X＋4Y＝9×12＋4×27＝216（元）。

即的單位價格上升為9元后，若要維持當初的效用水平，消費者的收入最少應該達到216元。

（5）時，商品的需求量為18；

時，商品的需求量為8；

時，商品的需求量為12。

所以，的價格上升為9元所帶來的替代效應為（12－18）＝－6，收入效應為（8－12）＝－4。

4．某消費者的效用函數是，元，元，收入元。現在如果下降到1元，請回答下列問題：

（1）價格下降的替代效應使的購買量變化多少？

（2）價格下降的收入效應使的購買量變化多少？（上海大學2009研）

解：消費者效用最大化的問題是：

由柯布—道格拉斯效用函數的性質可知消費者的最優消費束為

當、、時，可得出最優消費束為

當下降到1元時，可得出此時最優消費束為

所以，當從2元下降到1元時，總效應為

當從2元下降到1元時，為了使原先所消費的商品組合在新價格下能支付得起，收入應為

將、和代入需求函數，可得。因此，替代效應為15－10＝5，收入效應為20－15＝5。

5．考慮一消費者，其效用函數為

進一步假定消費者的收入，商品1和商品2的價格分別為，和。

（1）分別求出和的需求函數。

（2）假設商品1的價格下降，最優的消費組合將如何變化？請在圖形上畫出商品1消費變化的Slutsky分解和Hicks分解。兩種分解的替代效應和收入效應有何區別嗎？（中山大學2014研）

解：（1）該消費者面臨的最優化問題為：

構造拉格朗日函數：

效用最大化的一階條件為：

解得：

（2）當商品1的價格下降時，消費組合中商品1的數量將增加，商品2的數量保持不變。

一種商品的替代效應是指價格變化引起商品需求量的總變化當中，僅僅因為該商品和其他商品之間的相對價格變化而引起的需求量的變化。收入效應是指價格變化引起消費者的實際收入發生變化，從而引起的需求量的變化。替代效應包括希克斯替代效應和斯拉茨基替代效應。希克斯替代效應是指保持消費者的效用不變的情況下，價格變化引起的需求量的變化（如圖2-18所示）；斯拉茨基替代效應是指保持消費者的購買能力不變的情況下，價格變化引起的需求量的變化（如圖2-19所示）。?？怂固娲米呦M者足夠多的貨幣使他恰好能回到原先的無差異曲線，斯拉茨基替代效應則拿走消費者足夠多的貨幣使他恰好能回復到原先的消費水平；兩種分解法的替代效應均為負。

圖2-18  ?？怂固娲?/p>

圖2-19  斯拉茨基替代

6．某消費者的效用函數為

商品和的價格為和，收入為。

（1）假設商品和的價格為和，該消費者收入為。求該消費者對兩種商品的需求量。

（2）若商品價格升至2，即此時，該消費者收入不變。求此價格變化對商品產生的替代效應和收入效應。（廈門大學2014研）

解：（1）消費者的效用最大化問題為：

構造拉格朗日函數：

一階條件為：

由上述三式解得消費對兩種商品的需求函數分別為：

當、、時，消費者對商品的消費量為：

對商品2的消費量為：

此時消費者效用為：

（2）當商品的價格為時，有

由此可知，價格變化對產生的總效應為-25。

為保持原有的效用水平（），消費者在新的價格水平（2，2）下的支出最小化問題為：

求解可得：

所以，價格上升的替代效應為：

收入效應為：

7．某人喜歡喝葡萄酒，當其他商品價格不變時，他對葡萄酒的需求函數為

目前他的收入為7500元，葡萄酒價格為30元/瓶。假設葡萄酒價格上升為40元/瓶，試問：價格上漲的總效應是多少瓶酒？其中替代效應是多少瓶？收入效應是多少瓶？（廈門大學2010研）

解：當葡萄酒價格為30元/瓶時，他對葡萄酒的需求量為0.02×7500－2×30＝90瓶；當葡萄酒價格上升為40元/瓶時，他對葡萄酒的需求量為0.02×7500－2×40＝70瓶。所以，價格上漲的總效應為70-90＝-20瓶。

當價格從30元/瓶上升到40元/瓶后，為了使原先消費的葡萄酒量仍能消費得起，收入的變化應為：

因此，要使購買力保持不變，收入應該調整為7500＋900＝8400元。

將新的價格水平40元/瓶和收入水平8400元代入需求函數，可得需求量為0.02×8400－2×40＝88。所以，替代效應為88＝90＝－2瓶，收入效應＝總效應－替代效應＝－20－（－2）＝－18瓶。