第2章　控制系統的數學模型

2.1　復習筆記

一、控制系統的時域數學模型

1．建立控制系統微分方程的步驟

（1）由系統原理圖畫出系統方塊圖，分別列寫組成系統各元件的微分方程；

（2）消去中間變量，得到描述系統輸出量與輸入量關系的微分方程。

注意：①信號傳遞的單向性；②后級元件對前級元件的負載效應。

2．線性系統的基本特性

（1）疊加性：對于一個的系統，若滿足，則稱系統具有疊加性。

（2）齊次性：對于一個的系統，若滿足，則稱系統具有齊次性。

同時滿足齊次性和疊加性的系統稱線性系統。

3．線性定常微分方程的求解——拉氏變換法

（1）考慮初始條件，對微分方程中的各項分別進行拉氏變換，將微分方程轉換成變量為s的代數方程。

（2）求解代數方程，得到輸出量拉氏變換函數的表達式。

（3）對輸出量拉氏變換表達式進行反變換，得到時域表達式，即為所求微分方程的解。

4．非線性微分方程的線性化

常用切線法或小偏差法，其實質是在一個很小的范圍內，將非線性特性用一段直線來代替。

5．運動的模態

如果n階微分方程的特征根是，，…，且無重根，則把函數的，，…，稱為該微分方程所描述運動的模態，又稱振型。如果特征根中有多重根，則模態會具有形如，，…的函數；如果特征根中有共軛復根，則有模態，。

二、控制系統的復數域數學模型

1．傳遞函數及其性質

線性定常系統的傳遞函數，定義為零初始條件下，系統輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。數學表達式為

性質：

（1）傳遞函數是復變量s的有理真分式函數，具有復變函數的所有性質：，且所有的系數均為實數。

（2）傳遞函數表示輸出量與輸入量之間的關系，只與系統（或元件）本身和結構參數有關，而與輸入信號無關，也不反映系統內部的任何信息。

（3）傳遞函數與微分方程具有相通性。

（4）傳遞函數的拉氏反變換是單位脈沖響應，反映系統的運動特性。

2．傳遞函數的零點和極點

傳遞函數的分子多項式和分母多項式因式分解后可得到如下形式

式中，為傳遞函數的零點；為傳遞函數的極點；系數稱為傳遞系數或根軌跡增益。

3．傳遞函數的零極點對輸出的影響

（1）傳遞函數的極點就是系統微分方程的特征根，決定了系統的模態。

（2）傳遞函數的零點、極點和增益共同確定每一項（指數項、指數振蕩項、常數項）的系數大小。

三、控制系統的結構圖與信號流圖

1．系統結構圖的組成

控制系統的結構圖由許多對信號進行單向運算的方框和一些信號流向線組成，它包含四種基本單元：信號線、引出點、比較點和方框。

2．結構圖的等效變換和化簡

（1）串聯

圖2-1-1　方框串聯連接及其簡化

（2）并聯

圖2-1-2　方框并聯連接及其簡化

（3）反饋

圖2-1-3　方框反饋連接及其簡化

（4）比較點和引出點的移動

①注意在移動前后必須保持信號的等效性，而且比較點和引出點一般不宜交換其位置；

②“-”號可以沿信號線越過方框，但不可越過比較點和引出點。

3．信號流圖

（1）源節點（輸入節點）：只有輸出支路的節點。

（2）阱節點（輸出節點）：只有輸入支路的節點。

（3）混合節點：既有輸出支路，又有輸入支路的節點。

（4）前向通道：從源節點到阱節點之間，與每個節點僅相交一次的通道。

（5）回路：起于并終于同一節點，且與其他任何節點相交不多于一次的閉合通道。

（6）不接觸回路：相互之間無公共節點的回路。

4．梅森增益公式

設系統的傳遞函數為，則梅森增益公式表示為

式中，為總增益；為前向通路數；為第k條前向通路增益；為信號流圖的特征式，；為第k條前向通路對應的余因子式，是特征式中與第k條通路不接觸的部分。

5．閉環系統的傳遞函數

一個典型的反饋控制系統的結構圖如圖2-1-4所示。

圖2-1-4　反饋控制系統的典型結構圖

閉環系統在輸入信號和擾動作用下，以為輸出量時的系統傳遞函數，稱為閉環傳遞函數。

（1）輸入信號作用下的閉環傳遞函數

輸入信號作用下，即，時，有

（2）擾動作用下的閉環傳遞函數

擾動信號作用下，即，時，有

（3）輸入和擾動同時作用下的閉環傳遞函數

輸入信號和擾動信號同時作用下，系統的輸出量為

（4）閉環系統的誤差傳遞函數

閉環系統在輸入信號和擾動作用下，以誤差信號作為輸出量時的傳遞函數稱為誤差傳遞函數。