第2章　統計概論

一、單項選擇題

1．區間估計的原理是（　　）。

A．概率論

B．樣本分布理論

C．小概率原理

D．假設檢驗

【答案】B

【解析】區間估計是根據估計量以一定可靠程度推斷總體參數所在的區間范圍，用數軸上的一段距離表示未知參數可能落入的范圍，能指出未知總體參數落入某一區間的概率有多大。區間估計的原理是樣本分布理論。

2．總體分布正態，總體方差未知，從總體中隨即抽取容量為25的小樣本，此樣本的標準差為s。用樣本平均數估計總體平均數的置信區間為（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】總體方差未知時，用樣本的無偏方差（）作為總體方差的估計值，實現對總體平均數的估計。因為在總體方差未知時，樣本平均數的分布為t分布，故應查t值表。有兩種情況：①總體的分布為正態時，可不考慮n的大小；②總體分布為非正態時，只有n＞30，才能用概率對其樣本分布進行解釋，否則不能推論。

3．總體分布正態，總體方差已知，從總體中隨即抽取容量為25的小樣本。用樣本平均數估計總體平均數的置信區間為（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】總體正態分布，總體方差已知。此時不論樣本n的大小，其標準誤都是，因為樣本小于30，其分布為t分布，故應查t值表。此時，可用估計總體平均數的置信區間。

4．用從總體抽取的一個樣本統計量作為總體參數的估計值稱為（　　）。

A．樣本估計

B．點估計

C．區間估計

D．總體估計

【答案】B

【解析】點估計是用樣本統計量來估計總體參數。因為樣本統計量為數軸上某一點值，估計的結果也是以一個點的數值表示，所以稱為點估計。

5．在正態總體中隨機抽取樣本，若總體方差未知，則樣本平均數的分布為（　　）。

A．正態分布

B．x2分布

C．t分布

D．F分布

【答案】C

【解析】總體方差未知時，用樣本的無偏方差（）作為總體方差的估計值實現對總體平均數“的估計。因為在總體方差未知時，樣本平均數的分布為t分布，故應查t值表。

6．下列關于假設檢驗的命題，正確的是（　　）。

A．如果H₀在α＝0.05的單側檢驗中被拒絕，那么H₀在α＝0.05的雙側檢驗中一定不會被拒絕

B．如果t的觀測值大于t的臨界值，一定可以拒絕H。

C．如果H₀在α＝0.05的水平上被拒絕，那么H₀在α＝0.01的水平上一定會被拒絕

D．在某一次實驗中，如果實驗者甲用α＝0.05的標準，實驗者乙用α＝0.01的標準，那么實驗者甲犯Ⅱ類錯誤的概率一定會小于實驗者乙犯Ⅱ類錯誤的概率

【答案】C

【解析】第一類錯誤和第二類錯誤的關系：在其他條件不變的情況下，α與β不可能同時減小或增大；兩個總體的關系若是確定的，則α增大，β就減小；α減小，β就增大。

7．理論預期實驗處理能提高某種實驗的成績。一位研究者對某一研究樣本進行了該實驗處理，結果未發現處理顯著的改變實驗成績，則下列說法正確的是（　　）。

A．本次實驗中發生了I類錯誤

B．本次實驗中發生了Ⅱ類錯誤

C．需要多次重復實驗，嚴格設定統計決策的標準，以減少I類錯誤發生的機會

D．需要改進實驗設計，提高統計效力，以減少Ⅱ類錯誤發生的機會

【答案】D

【解析】I類錯誤是指在否定虛無假設H₀接受對立假設H₀時所犯的錯誤，又常稱為α錯誤。I類錯誤的癥結可能在于樣本中包含的某些極端數據與總體有很大的差異，也可能是由于研究者所采用的決策標準過于寬松。犯I類錯誤的結果是十分嚴重的。Ⅱ類錯誤是指在接受H₀為真時所犯的錯誤，也稱為β錯誤。Ⅱ型錯誤是由于實驗設計不夠靈敏，樣本數據的變異性較大或是處理效應本身較小造成的。與I類錯誤不同的是，Ⅱ類錯誤無法由一個準確的概率值來衡量，它的概率依賴許多因素，需要用函數表示。

8．當α＝0.05時，發生Ⅱ類錯誤的概率為（　　）。

A．0.05

B．0.025

C．0.95

D．以上信息不足，無法判斷

【答案】D

【解析】因為α＋β不一定等于1，α錯誤和β錯誤是在兩個前提下的概率。α是拒絕H₀時犯錯誤的概率（這時前提是“H₀為真”）；β是接受H₀時犯錯誤的概率（這時前提是“H₀為假”）。所以只知道α，無法計算Ⅱ類錯誤的概率β。

9．I類錯誤的概率α和Ⅱ類錯誤的概率β的關系有（　　）。

A．α＋β＝1

B．隨著α的增加，β也會增加

C．α/β＝常數

D．如果α非零，那么β也非零

【答案】D

【解析】兩類錯誤的關系主要有：①α＋β不一定等于1，α錯誤和β錯誤是在兩個前提下的概率。α是拒絕H₀時犯錯誤的概率（這時前提是“H₀為真”）；β是接受H₀時犯錯誤的概率（這時前提是“H₀為假”）。②在其他條件不變的情況下，α與β不可能同時減小或增大，兩個總體的關系若是確定的。α增大，β就減小；α減小，β就增大。

10．在癌癥檢查中，虛無假設H₀為“該病人沒有患癌癥”。下列情況最為危險的是（　　）。

A．H₀是虛假的，但是被接受了

B．H₀是虛假的，但是被拒絕了

C．H₀是真實的，但是被接受了

D．H₀是真實的，但是被拒絕了

【答案】A

【解析】I類錯誤是指在否定虛無假設H₀接受對立假設H₀時所犯的錯誤，即將屬于沒有差異的總體推論為有差異的總體時所犯的錯誤。由于這類錯誤的概率以α表示，故常稱為α錯誤。出現α錯誤造成的危害十分大，因此應該將α概率定得越小越好，確定為1%還是0.1%要依實際情況而定。

11．假設檢驗的Ⅱ類錯誤是（　　）。

A．原假設為真而被接受

B．原假設為真而被拒絕

C．原假設為假而被接受

D．原假設為假而被拒絕

【答案】C

【解析】Ⅱ類錯誤是指在接受H₀為真時所犯的錯，這類錯誤也稱為β錯誤，即接受H₀時并不等于說二者100%的沒有差異，同樣有犯錯誤的可能性。

12．在統計假設檢驗中，同時減少α和β錯誤的最好辦法是（　　）。

A．控制α水平，使其盡量小

B．控制β水平，使其盡量小

C．適當增加樣本容量

D．完全隨機取樣

【答案】C

【解析】統計假設檢驗中，同時減少a和β錯誤的做好辦法是加大樣本容量。

13．統計學中稱（　　）為統計檢驗效力。

A．α

B．β

C．1－α

D．1－β

【答案】D

【解析】1－β反映著正確辨認真實差異的能力，統計學中稱（1－β）為統計檢驗力。

14．某地區六年級小學生計算能力測試的平均成績為85分，從某校隨機抽取的28名學生的測驗成績為87.5，s＝10。該校學生計算能力成績與全地區相比（　　）。

A．差異顯著

B．該校學生計算能力高于全區

C．差異不顯著

D．該校學生計算能力低于全區

【答案】C

【解析】總體正態分布、總體方差未知時進行樣本平均數與總體平均數差異的檢驗，其基本原理與總體正態分布、總體方差已知時相同，所不同的是在計算標準誤時，由于總體方差未知，要用其無偏估計量（）來代替，。這時其樣本平均數的分布為t分布，因而總體方差未知時所進行的檢驗稱作t檢驗。公式為。

15．在統計假設檢驗中，對α和β錯誤的描述正確的有（　　）。

A．要控制α水平，使其盡量小，控制β值，使統計效力盡量大

B．如果顯著性水平α值減小時，則會減少Ⅱ型錯誤

C．同時減少I型錯誤和Ⅱ型錯誤的最好辦法是適當加大樣本容量

D．如果雙尾檢驗改為單尾檢驗，顯著性水平會α減小

【答案】C

【解析】兩類錯誤的關系：①α＋β不一定等于1，α錯誤和β錯誤是在兩個前提下的概率，α是拒絕H₀時犯錯誤的概率（這時前提是“H₀為真”）；β是接受H₀時犯錯誤的概率（這時前提是“H₀為假”）。②在其他條件不變的情況下，α與β不可能同時減小或增大，兩個總體的關系若是確定的。α增大，β就減小；α減小，β就增大。

二、多項選擇題

1．假設未知，總體正態分布，有一樣本n＝10，＝78，S2＝64。那么下列數據屬于其總體參數“的0.95的置信區間之內的有（　　）。

A．71

B．82

C．84

D．85

【答案】BC

【解析】總體方差未知時，用樣本的無偏方差（）作為總體方差的估計值，實現對總體平均數的估計。因為在總體方差未知時，樣本平均數的分布為t分布，故應查t值表。而且，總體分布為正態分布。則總體均值的區間為。將題目中的各值代入此公式得，即71.97＜＜84.03。

2．下列表述中正確的是（　　）。

A．如果H₀在α＝0.05的單側檢驗中被拒絕，那么H₀在α＝0.05的雙側檢驗中一定被拒絕

B．如果H₀在α＝0.05的雙側檢驗中被拒絕，那么H₀在α＝0.05的單側檢驗中一定被拒絕

C．如果H₀在α＝0.05的單側檢驗中被接受，那么H₀在α＝0.05的雙側檢驗中一定被接受

D．如果H₀在α＝0.05的雙側檢驗中被接受，那么H₀在α＝0.05的單側檢驗中一定被接受

【答案】BC

【解析】A項可將其具體化為，假設題中α＝0.05的單側檢驗是標準正態分布中α＝0.05的單側檢驗，對應的Z值即1.64。因為題目中在α＝0.05的單側檢驗中未被拒絕，我們可以將其假設為1.7或者2.00。這時我們來看看當進行α＝0.05的雙側檢驗時的結果，即Z＝1.96，這時1.7＜1.96，故接受假設。所以A項錯誤。同理推知可得到正確選項。

三、簡答題

1．簡述區間估計的置信區間和顯著性水平。

答：置信區間，又稱置信間距，是指在某一置信度時總體參數所在的區域距離或區域長度。置信區間的上下二端點值稱為置信界限。

顯著性水平是指估計總體參數落在某一區間時，可能犯錯誤的概率，用符號α表示。1－α稱為置信度或置信水平。

2．簡述兩類錯誤的關系。

答：（1）I類錯誤和Ⅱ類錯誤的定義

I類錯誤，又稱α錯誤，是指在否定虛無假設H₀接受對立假設H₁時所犯的錯誤，即將屬于沒有差異的總體推論為有差異的總體時所犯的錯誤。

Ⅱ類錯誤，又稱β錯誤，是指在接受H₀為真時所犯的錯，即接受H₀時并不等于說二者100%的沒有差異，同樣有犯錯誤的可能性。

（2）兩類錯誤的關系

①α＋β不一定等于1。α錯誤和β錯誤是在兩個前提下的概率，α是拒絕H₀時犯錯誤的概率（這時前提是“H₀為真”）；β是接受H₀時犯錯誤的概率（這時前提是“H₀為假”）。

②在其他條件不變的情況下，α與β不可能同時減小或增大。兩個總體的關系若是確定的，α增大，β就減小；α減小，β就增大。

③要使第I類錯誤的概率保持在需要的水平上，而控制第Ⅱ類錯誤的概率，有以下方法：利用已知的實際總體參數與假設參數值之間的大小關系合理安排拒絕領域的位置，確定選擇雙側檢驗還是單側檢驗，如果是單側檢驗，確定是左側檢驗還是右側檢驗；加大樣本容量。

3．簡述假設檢驗的步驟。

答：一個完整的假設檢驗過程和具體分析步驟，其內容主要有：

（1）根據問題要求，提出虛無假設和備擇假設。

（2）選擇適當的檢驗統計量。

（3）規定顯著性水平α。

（4）計算檢驗統計量的值。

（5）做出決策。