第一部分　歷年真題及詳解

2011年公安邊防消防警衛部隊院校招生統考數學真題與詳解

一、單項選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）

1．設全集I＝{－1，0，1，2，3}，集合M＝{1，3}，則（　　）．

A．{－1，0，1，2，3}

B．

C．{1，3}

D．{－1，0，2}

【答案】D

【解析】．

2．已知向量，，則＝（　　）．

A．（4，3）

B．（0，－7）

C．（0，－6）

D．（0，3）

【答案】B

【解析】．

3．在等比數列{a_n}中，若，則公比q＝（　　）．

A．

B．－2

C．2

D．

【答案】D

【解析】．

4．函數的反函數為（　　）．

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由題意知

又因為原函數值域為，所以反函數定義域為．

5．己知平面向量，，，，則向量與的夾角＝（　　）．

A．90°

B．60°

C．45°

D．30°

【答案】B

【解析】．

6．若，，，則a，b，c之間的大小關系是（　　）．

A．a＜b＜c

B．b＜a＜c

C．b＜c＜a

D．c＜b＜a

【答案】C

【解析】，，，因為指數函數在（－∞，＋∞）單調遞增，又，所以b＜c＜a．

7．若直線x＋y－4＝0與圓相切，則實數a的值為（　　）．

A．

B．－2

C．

D．

【答案】A

【解析】圓的方程寫成標準圓方程，可知圓心為（－1，2），半徑為，直線與圓相切，由切線定理知圓心（－1，2）到直線的距離等于半徑，即

8．函數的最小值為（　　）．

A．4

B．3

C．2

D．1

【答案】B

【解析】

當且僅當，即x＝2時取等號，所以最小值為3．

9．若雙曲線的一條準線方程為，則b的值為（　　）．

A．

B．

C．1

D．2

【答案】C

【解析】易知a＝2，，準線，即，解得b＝1．

10．己知直線l⊥平面α，直線m平面β，則下列四個命題中，正確的命題是（　　）．

A．若α⊥β，則l∥m

B．若α⊥β，則l⊥m

C．若l⊥m，則α∥β

D．若l∥m，則α⊥β

【答案】D

【解析】D項，，，．

11．己知函數，其中A＞0，ω＞0，，它在長度為一個周期的閉區間上的圖象如圖1所示，則該函數的解析式是（　　）．

圖1

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由圖知A＝3，周期，．

將點代入，得

12．有6名即將退伍的戰士與排長合影留念，7人站成一排，排長站在正中間，并且甲、乙兩名戰士相鄰，則不同的站法有（　　）．

A．48種

B．96種

C．192種

D．240種

【答案】C

【解析】甲乙在1，2位，或2，3位，或5，6位，或6，7位之一，有種不同的方法；甲乙兩人的不同站位，有種不同的方法；其余4人有種不同的方法；據乘法原理，共有種不同的方法．

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

13．sin330°＝______．

【答案】

【解析】

14．二項式的展開式中，常數項為______．（用數字作答）

【答案】6

【解析】因為，為求常數項令r＝2，所以常數項為．

15．已知數列{a_n}中，a₁＝4，，則a₄＝______．

【答案】82

【解析】依次將a_n（n＝1，2，3）代入得

16．設集合，，若A∩B＝B，則實數m的取值范圍是_______．

【答案】[5，＋∞）

【解析】，，所以m≥5．

17．在正方形ABCD中，E，F分別是AD，BC的中點，現沿EF將正方形折成直二面角（如圖2），M為CF的中點，則異面直線CE與BM所成角的余弦值為_____．

圖2

【答案】

【解析】如圖3所示，H是EF的中點，連接HM和HB，則HM//EC，所以∠HMB就是異面直線CE與BM所成的角．由題意，正方形折成直二面角．

∵MF⊥EF，∴MF⊥平面ABFE，∴MF⊥FB；

設正方形ABCD邊長為4，則MF＝1，BF＝2，故

在△BHM中，由余弦定理得．

圖3

18．已知定義在區間[－2，2]上的奇函數f（x）單調遞減．若，則實數m的取值范圍是______．

【答案】

【解析】

則有

三、解答題（本大題共5小題，滿分60分．其中19小題10分，20～22小題每小題12分，23小題14分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

19．（10分）己知

（1）求的值；

（2）求tan2θ的值．

解：（1），

（2）由（1）得

20．（12分）己知二次函數f（x）＝ax2＋bx＋1是偶函數，且f（1）＝0．

（1）求a，b的值；

（2）設g（x）＝f（x＋2），若g（x）在區間[－2，m]上的最小值為－3，求實數m的值．

解：（1）是偶函數，，即

又f(1)＝0，a＋b＋1＝0a＝－1，所以a＝－1，b＝0

（2）由（1）知，則

其圖象是開口向下的拋物線，對稱軸x＝－2，故g（x）在[－2，m]上遞減．所以

解得m＝0或m＝－4，因為m＞－2，所以m＝0．

21．（12分）在等比數列{a_n}中，己知公比q＝2，S_n是{a_n）的前n項和，n∈N*，．

（1）求等比數列{a_n}的通項公式；

（2）設

①求證{b_n}是等差數列；

②求{b_n）的前10項和T₁₀．

解：（1）由己知得

所以

（2）①，

則有

為常數，且n∈N*．所以{b_n}是以b₁＝6為首項，以3為公差的等差數列．

②

22．（12分）己知橢圓過點（2，0），離心率．

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓右焦點的直線與橢圓交于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標為，求|AB|的值．

解：（1）據題意，橢圓過點（2，0），離心率，則

所以橢圓方程為

（2）橢圓右焦點F（1，0），設直線AB方程為y＝k(x－1)，將其代入橢圓方程，消去y得

設，則

由AB中點的橫坐標為，得

因此，，所以，弦長

23．（14分）如圖4所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁＝AB＝2，點E是棱AC的中點．

（1）求證BE⊥平面ACC₁A₁；

（2）求二面角C-BC₁-E的大小；

（3）求點A₁到平面BC₁E的距離．

圖4

證明：（1）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，BE平面ABC，所以BE⊥AA₁．在正三角形ABC中，E是AC的中點，所以BE⊥AC，又AC∩AA₁＝A，所以BE⊥平面ACC₁A₁．

（2）由（1）知BE⊥平面ACC₁A₁．

因為BE平面BC₁E，所以平面BC₁E⊥平面ACC₁A₁．作CH⊥C₁E于H，如圖5所示，則CH⊥平面BC₁E．

在Rt△BCC₁中，BC＝CC₁＝2，取BC₁的中點F，連接CF，則CF⊥BC₁，連接HF，則HF是CF在平面BC₁E的射影，所以HF⊥BC₁．所以∠CFH是二面角C-BC₁-E的平面角．

在Rt△BCC₁中，BC＝CC₁＝2，F是BC₁的中點，所以，．

在Rt△ECC₁中

在Rt△CHF中，，故二面角C-BC₁-E大小為

圖5

（3）由（1）知平面BC₁F⊥平面ACC₁A₁，過A₁作A₁G⊥C₁E于G，則A₁G⊥平面BC₁E．

易知，于是

所以，即點A₁到平面BC₁E的距離為．