（二）算式的運算

1尾數法

尾數法是數學運算題計算過程中非常常用的方法，具體可以分為算式尾數和乘方尾數。

（1）算式尾數

在不直接計算算式各項值的情況下，只計算算式的尾數，得到結果的尾數，從而確定選項中的答案。一般適用于加、減、乘（方）這三種情況的運算，在遇到數字偏大、運算量過大的題目時，適當的運用尾數法能極大的簡化運算過程。算式中如果出現除法，不要使用尾數法。

【例】1＋2＋3＋4＋……＋n＝2005003，則自然數n＝（　　）

A．2000

B．2001

C．2002

D．2003

【答案】C

【解析】觀察題干可知，此題為自然數列求和，給出了數列和要求出n。應用等差數列求和公式可得n（n＋1）/2=2005003，則（n＋1）n＝4010006。觀察尾數來對比選項，可發現只有（2002＋1）×2002的尾數為6。此題如果直接應用方程求解會非常麻煩。

（2）乘方尾數

乘方尾數的變化規律：

①2的乘方尾數每4個數為一個周期，分別為：2，4，8，6；

②3的乘方尾數每4個數為一個周期，分別為：3，9，7，1；

③4的乘方尾數每2個數為一個周期，分別為：4，6；

④0、1、5和6的乘方尾數分別是常數0、1、5和6；

⑤7的乘方尾數每4個數為一個周期，分別為：7，9，3，1；

⑥8的乘方尾數每4個數為一個周期，分別為：8，4，2，6；

⑦9的乘方尾數每2個數為一個周期，分別為：9，1。

（2）乘方尾數口訣

底數留個位，指數除4留余數，余數為0當做4，所得數的尾數等于原數的尾數。

【例】1²＋2²＋3²＋…＋123456789²的個位數是（　　）。

A．3

B．4

C．5

D．6

【答案】C

【解析】原式各項的尾數按照1²到9²依次循環，則計算1²＋2²＋3²＋…＋9²的尾數即可，1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1的尾數為5，則所有數字之和的尾數為5。因此答案選C。

2．裂項相消法

裂項公式：在分母明顯由幾個差別不大的式子組成時，可以采用裂項的方式，使得計算式子變得簡單。常用的格式有：

（1）“＝（－）×”得：

＋＋＋…＋＝（－）×

（2）“＝[－]×”得：

＋＋…＋＝[－]×

【例】＋＋……＋的值為（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】＋＋＋…＋＝（－）×，則＋＋……＋＝（－）×＝。

3．選項估算法

估算，即在精度要求不太高的情況下，進行粗略估值的計算方式。估算的常用形式主要包括兩種，選項差距大的時候可以直接用四舍五入進行計算，選項差距不夠大的時候要考慮誤差分析。

（1）尾數估算法是指在選項中的尾數不相同時，算出計算結果的尾數，來估計正確答案的方法。

【例】958×376＋253－132²的值為（　　）。

A．343031

B．343022

C．343037

D．343029

【答案】C

【解析】958×376的尾數是8，132×132的尾數是4，則結果的尾數為8＋3－4＝7。因此答案選C。

（2）湊整估算法是指為方便計算，對式子中的一些值進行估算，算出答案的大概范圍，結合選項從而得出結果的方法。

【例】10的平方加11的平方加12的平方加13的平方加14的平方，其和除以365，得幾？（　　）

A．5.5

B．4

C．2.5

D．2

【答案】D

【解析】10²＋11²＋12²＋13²＋14²≈5×12²＝720，且略大于720。720÷365≈1.97。D項最接近。

4．整體消去法

整體消去法是指在計算中，將相近的數化為相同，從而作為一個整體進行抵消的方法。

【例】÷與下列哪個數最接近？（　　）

A．0.75

B．0.55

C．0.92

D．1.1

【答案】C

【解析】原式＝＝×＝＝。

5．定義新運算

不同于加、減、乘、除四則運算，定義新運算就是打破原有的運算規則，給出一種新的運算方法，并賦予該運算方法新的運算符號，如*、△、◎、※等。

解決此類問題，關鍵是要正確理解新定義的算式含義，嚴格按照新定義的計算順序，將數值代入算式中，再把它轉化為一般的四則運算，然后進行計算。

【例】定義新運算：，則下列各項中最大的是（　　）。

A．

B．

C．

D．30

【答案】C

【解析】π＜3.2，25＜30，即＜。＞30，即3.2×10＞，故3.2＝3.2×10＝32。因此答案選C。