第一章　解題策略

一、代入法

代入法是最為常見的解題方法之一，是將題目的選項直接代入題干判斷正誤的方法。

代入法有多種形式，包括：

1．直接代入法

直接將選項代入題干中進行驗證的方法，適用題型包括同余、不定方程、多位數、年齡、和差倍比等。

【例1】四個連續的自然數的積為1680，它們的和為（　?。?/p>

A．26　

B．52　

C．20　 

D．28

【答案】A

【解析】設四個自然數中最小的為x，則四個自然數分別為：x，x＋1，x＋2，x＋3，則4個自然數的和為4x＋6，即4個數的和減去6能被4整除，代入選項，只有A項符合。

2．特殊值代入法

將題干中某種未知量用特殊值(通常是方便計算)代入，求出結果。

【例2】一輛汽車以60千米/時的速度從A地開往B地，它又以40千米/時的速度從B地返回A地，則汽車行駛的平均速度為(　  )千米/小時。

A．50　

B．48　 

C．30　

D．20

【答案】B

【解析】假設AB兩地距離為120千米，則A地開往B地用了2小時，從B地返回A地用了3小時，來回總路程為240千米，則汽車行駛的平均速度為240÷5＝48千米/小時。

3．代入法的其他形式

代入法經常和粗略判斷法、排除法、猜證結合法等綜合運用。

【例3】有粗細不同的兩支蠟燭，細蠟燭的長度是粗蠟燭長度的2倍，點完細蠟燭需要1小時，點完粗蠟燭需要2小時。有一次停電，將這樣兩支蠟燭同時點燃。來電時，發現兩支蠟燭所剩長度一樣，則此次停電共停了（　?。?。

A．10分鐘 

B．20分鐘　 

C．40分鐘 

D．60分鐘

【答案】C

【解析】因為細蠟燭的長度是粗蠟燭長度的2倍，且點完細蠟燭需1個小時，則所求的時間應在30分鐘和60分鐘之間，把各選項代入，只有當停電時間為40分鐘時符合題意。因此C項正確。

二、數字特性法

常用的數字特性包括大小特性、奇偶特性、尾數特性、余數特性、整除特性、因子特性、冪次特性等多種特性方法，其中尤以整除特性最為常用。

解決這類問題，首先能迅速從題干中判定出答案所應符合的數字特性；其次應該熟悉基本的數字規律，包括奇偶性規律與整除規律。

1．奇偶運算基本法則

（1）基礎

①奇數±奇數＝偶數；

②偶數±偶數＝偶數；

③偶數±奇數＝奇數；

④奇數±偶數＝奇數。

（2）推論

①任意兩個數的和如果是奇數，那么差也是奇數；如果和是偶數，那么差也是偶數。

②任意兩個數的和或差是奇數，則兩數奇偶相反；和或差是偶數，則兩數奇偶相同。

【例4】某次測驗有50道判斷題，每做對一題得3分，不做或做錯一題倒扣1分，某學生共得82分，問答對題數和答錯題數(包括不做)相差多少？(　  )

A．33 

B．39

C．17　 

D．16

【答案】D

【解析】答對的題目＋答錯的題目＝50，是偶數，則答對的題目與答錯的題目的差也應是偶數，D項，16為偶數，符合題意。

2．整除判定基本法則

（1）能被2、4、8、5、25、125整除的數的數字特性

①能被2(或5)整除的數，末一位數字能被2(或5)整除；

②能被4(或25)整除的數，末兩位數字能被4(或25)整除；

③能被8(或125)整除的數，末三位數字能被8(或125)整除；

④一個數被2(或5)除得的余數，就是其末一位數字被2(或5)除得的余數；

⑤一個數被4(或25)除得的余數，就是其末兩位數字被4(或25)除得的余數；

⑥一個數被8(或125)除得的余數，就是其末三位數字被8(或125)除得的余數。

（2）能被3、9整除的數的數字特性

①能被3(或9)整除的數，各位數字和能被3(或9)整除。

②一個數被3(或9)除得的余數，就是其各位相加后被3(或9)除得的余數。

【例5】下列四個數都是六位數，X是比10小的自然數，Y是零，一定能同時被2、3、5整除的數是多少？(　  )

A．XXXYXX 

B．XYXYXY　 

C．XYYXYY

D．XYYXYX

【答案】B

【解析】這個六位數能被2、5整除，則末位為0；這個六位數能被3整除，則六位數各位數字和是3的倍數，因此B項正確。

【例6】六年級有三個班，一班占全年級的10/33，三班人數比二班多1/11，如果從三班調走4人后，和二班人數一樣多，問六年級共有多少人？（　?。?/p>

A．128

B．130   

C．132　  

D．136

【答案】C

【解析】由一班占全年級的10／33，說明全年級人數可被33整除，可迅速得到答案C項。

（3）倍數關系核心判定特征

①如果a:b＝m:n(m，n互質)，則a是m的倍數；b是n的倍數。

②如果a:b＝m:n(m，n互質)，則a±b應該是m±n的倍數。

③如果x＝y(m，n互質)，則x是m的倍數；y是n的倍數。