第一節(jié)　解題策略

一、代入法

代入法是最為常見(jiàn)的解題方法之一，是將題目的選項(xiàng)直接代入題干判斷正誤的方法。

代入法有多種形式，包括：

1．直接代入法

直接將選項(xiàng)代入題干中進(jìn)行驗(yàn)證的方法，適用題型包括同余、不定方程、多位數(shù)、年齡、和差倍比等。

【例1】四個(gè)連續(xù)的自然數(shù)的積為1680，它們的和為（　　）。

A．26

B．52

C．20

D．28

【答案】A

【解析】設(shè)四個(gè)自然數(shù)中最小的為x，則四個(gè)自然數(shù)分別為：x，x＋1，x＋2，x＋3，則4個(gè)自然數(shù)的和為4x＋6，即4個(gè)數(shù)的和減去6能被4整除，代入選項(xiàng)，只有A符合。

2．特殊值代入法

將題干中某種未知量用特殊值(通常是方便計(jì)算)代入，求出結(jié)果。

【例2】一輛汽車(chē)以60千米/時(shí)的速度從A地開(kāi)往B地，它又以40千米/時(shí)的速度從B地返回A地，則汽車(chē)行駛的平均速度為(　　)千米/小時(shí)。

A．50

B．48

C．30

D．20

【答案】B

【解析】假設(shè)AB兩地距離為120千米，則A地開(kāi)往B地用了2小時(shí)，從B地返回A地用了3小時(shí)，來(lái)回總路程為240千米，則汽車(chē)行駛的平均速度為240÷5＝48千米/小時(shí)。

3．代入法的其他形式

代入法經(jīng)常和粗略判斷法、排除法、猜證結(jié)合法等綜合運(yùn)用。

【例3】有粗細(xì)不同的兩支蠟燭，細(xì)蠟燭的長(zhǎng)度是粗蠟燭長(zhǎng)度的2倍，點(diǎn)完細(xì)蠟燭需要1小時(shí)，點(diǎn)完粗蠟燭需要2小時(shí)。有一次停電，將這樣兩支蠟燭同時(shí)點(diǎn)燃。來(lái)電時(shí)，發(fā)現(xiàn)兩支蠟燭所剩長(zhǎng)度一樣，則此次停電共停了（　　）。

A．10分鐘

B．20分鐘

C．40分鐘

D．60分鐘

【答案】C

【解析】因?yàn)榧?xì)蠟燭的長(zhǎng)度是粗蠟燭長(zhǎng)度的2倍，且點(diǎn)完細(xì)蠟燭需1個(gè)小時(shí)，則所求的時(shí)間應(yīng)在30分鐘和60分鐘之間，把各選項(xiàng)代入，只有當(dāng)停電時(shí)間為40分鐘時(shí)符合題意。因此C項(xiàng)正確。

二、數(shù)字特性法

常用的數(shù)字特性包括大小特性、奇偶特性、尾數(shù)特性、余數(shù)特性、整除特性、因子特性、冪次特性等多種特性方法，其中尤以整除特性最為常用。

解決這類(lèi)問(wèn)題，首先能迅速?gòu)念}干中判定出答案所應(yīng)符合的數(shù)字特性；其次應(yīng)該熟悉基本的數(shù)字規(guī)律，包括奇偶性規(guī)律與整除規(guī)律。

1．奇偶運(yùn)算基本法則

（1）基礎(chǔ)

①奇數(shù)±奇數(shù)＝偶數(shù)；

②偶數(shù)±偶數(shù)＝偶數(shù)；

③偶數(shù)±奇數(shù)＝奇數(shù)；

④奇數(shù)±偶數(shù)＝奇數(shù)。

（2）推論

①任意兩個(gè)數(shù)的和如果是奇數(shù)，那么差也是奇數(shù)；如果和是偶數(shù)，那么差也是偶數(shù)。

②任意兩個(gè)數(shù)的和或差是奇數(shù)，則兩數(shù)奇偶相反；和或差是偶數(shù)，則兩數(shù)奇偶相同。

【例4】某次測(cè)驗(yàn)有50道判斷題，每做對(duì)一題得3分，不做或做錯(cuò)一題倒扣1分，某學(xué)生共得82分，問(wèn)答對(duì)題數(shù)和答錯(cuò)題數(shù)(包括不做)相差多少？(　　)

A．33

B．39

C．17

D．16

【答案】D

【解析】答對(duì)的題目＋答錯(cuò)的題目＝50，是偶數(shù)，則答對(duì)的題目與答錯(cuò)的題目的差也應(yīng)是偶數(shù)，D項(xiàng)，16為偶數(shù)，符合題意。

2．整除判定基本法則

（1）能被2、4、8、5、25、125整除的數(shù)的數(shù)字特性

①能被2(或5)整除的數(shù)，末一位數(shù)字能被2(或5)整除；

②能被4(或25)整除的數(shù)，末兩位數(shù)字能被4(或25)整除；

③能被8(或125)整除的數(shù)，末三位數(shù)字能被8(或125)整除；

④一個(gè)數(shù)被2(或5)除得的余數(shù)，就是其末一位數(shù)字被2(或5)除得的余數(shù)；

⑤一個(gè)數(shù)被4(或25)除得的余數(shù)，就是其末兩位數(shù)字被4(或25)除得的余數(shù)；

⑥一個(gè)數(shù)被8(或125)除得的余數(shù)，就是其末三位數(shù)字被8(或125)除得的余數(shù)。

（2）能被3、9整除的數(shù)的數(shù)字特性

①能被3(或9)整除的數(shù)，各位數(shù)字和能被3(或9)整除。

②一個(gè)數(shù)被3(或9)除得的余數(shù)，就是其各位相加后被3(或9)除得的余數(shù)。

【例5】下列四個(gè)數(shù)都是六位數(shù)，X是比10小的自然數(shù)，Y是零，一定能同時(shí)被2、3、5整除的數(shù)是多少？(　　)

A．XXXYXX

B．XYXYXY

C．XYYXYY

D．XYYXYX

【答案】B

【解析】這個(gè)六位數(shù)能被2、5整除，則末位為0；這個(gè)六位數(shù)能被3整除，則六位數(shù)各位數(shù)字和是3的倍數(shù)，因此B項(xiàng)正確。

【例6】兩根同樣長(zhǎng)的蠟燭，點(diǎn)完粗蠟燭要3小時(shí)，點(diǎn)完細(xì)蠟燭要1小時(shí)。同時(shí)點(diǎn)燃兩根蠟燭，一段時(shí)間后，同時(shí)熄滅，發(fā)現(xiàn)粗蠟燭的長(zhǎng)度是細(xì)蠟燭的3倍。問(wèn)兩根蠟燭燃燒了多長(zhǎng)時(shí)間？（　　）[2013貴州農(nóng)信社]

A．30分鐘

B．35分鐘

C．40分鐘

D．45分鐘

【答案】D

【解析】設(shè)兩根蠟燭燃燒了x分鐘，由點(diǎn)完粗蠟燭需180分鐘，點(diǎn)完細(xì)蠟燭需要60分鐘可得：1－x/180＝3×（1－x/60），得x＝45。

（3）倍數(shù)關(guān)系核心判定特征

①如果a:b＝m:n(m，n互質(zhì))，則a是m的倍數(shù)；b是n的倍數(shù)。

②如果a:b＝m:n(m，n互質(zhì))，則a±b應(yīng)該是m±n的倍數(shù)。

③如果x＝y(m，n互質(zhì))，則x是m的倍數(shù)；y是n的倍數(shù)。