第二節　數與代數

一、考點精講

（一）數的整除

1．奇偶性與質合性

（1）奇數與偶數

能被2整除的整數稱為偶數，不能被2整除的整數為奇數，0是偶數。關于偶數和奇數有下面的性質：

①兩個連續整數中必是一個奇數一個偶數。

②奇數與奇數的和或差是偶數；偶數與奇數的和或差是奇數；任意多個偶數的和都是偶數；單數個奇數的和是奇數；雙數個奇數的和是偶數。即“同奇同偶則為偶，一奇一偶則為奇”。

③奇數與奇數的積是奇數；偶數與偶數的積是偶數；奇數與偶數的積是偶數。即“乘數有偶則為偶，乘數無偶則為奇”。

④若干個整數的連乘積，如果其中有一個偶數，乘積必然是偶數。

⑤相鄰偶數最大公約數為2，最小公倍數為它們乘積的一半。

⑥除2外所有的正偶數均為合數。

⑦偶數的平方被4整除，奇數的平方被8除余1。

【例】若x，y，z是三個連續的負整數，并且x＞y＞z，則下列表達式中屬于正奇數的是（　　）。

A．yz－x

B．（x－y）（y－z）

C．x－yz

D．x（y＋z）

【答案】B

【解析】x、y、z為三個連續的負整數，且x＞y＞z，則x－y＝1，y－z＝1，所以（x－y）（y－z）＝1。

（2）質數與合數

①質數

如果一個大于1的正整數，只能被1和它本身整除，那么這個正整數叫做質數（質數也稱素數），如2、3、5、7、11、13……一個數。

②合數

一個正整數除了能被1和它本身整除外，還能被其他的正整數整除，這樣的正整數叫做合數，如4、6、8、9、10……

③1既不是質數也不是合數。

④質因數

每個合數都可以寫成幾個質數相乘，這幾個質數都叫這個合數的質因數。

2．約數與倍數

（1）定義

如果一個自然數a能被自然數b整除，則稱a為b的倍數，b為a的約數。其中，一個數的最小約數是1，最大約數是它本身。

（2）公約數與公倍數

①幾個自然數公有的約數，叫做這幾個自然數的公約數。公約數中最大的一個公約數，稱為這幾個自然數的最大公約數。

②幾個自然數公有的倍數，叫做這幾個自然數的公倍數.公倍數中最小的一個大于零的公倍數，叫這幾個數的最小公倍數。

【例】某生產車間有若干名工人，按每四個人一組分，多一個人；按每五個人一組分，也多一個人；按每六個人一組分，還是多一個，該車間至少有多少名工人？（　　）

A．31

B．41

C．61

D．122

【答案】C

【解析】由題意可知，該車間工人數減去1以后是4、5、6的公倍數，而4、5、6的最小公倍數為60，因此該車間至少有60＋1＝61人。

3．余數

余數相關問題主要有：

（1）基本余數問題

①余數基本關系式

被除數÷除數＝商…余數（0≤余數＜除數）

②余數基本恒等式

被除數＝除數×商＋余數

③核心公式

被除數＝除數×商＋余數（0≤余數＜除數）；被除數－余數＝除數×商

也可以看作具有整除性質，在余數計算中常有使用。

【例】有一個整數，用它分別去除157、324和234，得到的三個余數之和是100，求這個整數。（　　）

A．44

B．43

C．42

D．41

【答案】D

【解析】設這個整數為x，商分別為a、b、c，則有x（a＋b＋c）＋100＝157＋324＋234，即x（a＋b＋c）＝615，即所求數應能將615整除，只有41符合。

（2）同余問題

同余指兩個整數，他們除以同一個整數所得的余數相同。

①余同取余

如果一個被除數的除數不同，余數相同，那么這個數的通項公式可以表示為幾個除數的公倍數加上除數共同的余數。

②和同加和

如果一個被除數的除數不同，除數與余數的和相等，那么這個數的通項公式可以表示為幾個除數的公倍數加上除數與余數的和。

③差同減差

如果一個被除數的除數不同，除數與余數的差相等，那么這個數的通項公式可以表示為幾個除數的公倍數減去除數與余數的差。

【例1】一個整數除以5余3，用所得的商除以6余2，再用所得的商除以7余1，用這個整數除以35，則余數為（　　）。

A．8

B．19

C．24

D．34

【答案】A

【解析】由題意可知，題中除數與余數相加均為8，由同余問題的口訣“差同減差，和同加和，余同取余，公倍數作周期”可知，這個數為210n＋8。又因為210能被35整除，則這個數除以35的余數為8。因此答案選A。

【例2】有一個兩位數，除以3的余數為2，除以4的余數是1，則這個數除以12的余數是（　　）。

A．0

B．5

C．1

D．6

【答案】B

【解析】由“和同加和，公倍數做周期”可知，滿足條件的整數為5＋12n（n≥1），故該整數除以12的余數為5。