第1章　矢量分析

1.1　考點歸納

一、場

1．場的定義

數學角度：場是給定區域內各點數值的集合，這些數值規定了該區域內一個特定量的特性。

物理角度：場是一個被界定的或無限擴展的空間內能夠產生某種物理效應的特殊物質，且具有能量。

2．場的分類

（1）按物理量的性質分

標量場：描述場的物理量為標量。

矢量場：描述場的物理量為矢量。

（2）按場量與時間關系分

靜態場：是指場量不隨時間發生變化的場。

動態場：又稱時變場，是指場量隨時間的變化而變化的場。

二、矢量和標量

1．概念

標量：只有大小，沒有方向。

矢量：既有大小又有方向。

2．矢量的表示

幾何表示：一條有方向的線段。

代數表示：。

矢量的模：。

矢量的單位矢量：。

常矢量：大小方向均不變的矢量，單位矢量不一定是常矢量。

3．矢量的代數運算

（1）矢量的加減法

矢量的加減法則遵循平行四邊形法則。

　 

交換律：

結合律：

（2）標量與矢量的乘積

（3）矢量的乘法

表1-1

（4）矢量的混合運算

①標量三重積

定義：

含義：結果為三矢量構成的平行六面體的體積。

推論：三個非零矢量共面的條件

②矢量三重積

定義：

4．三種常用的正交曲線坐標系

（1）直角坐標系

①坐標元素

圖1-1

坐標單位矢量：，，

位置矢量：

線元矢量：

面元矢量：，，

體積元：

②坐標表示

模計算：

單位矢量：

方向角與方向余弦：

加法：

減法：

點積：

叉積：

標量三重積:

（2）圓柱坐標系

圖1-2

①元素

坐標單位矢量：，，

線元矢量：

面元矢量：，，

體積元：

②圓柱坐標系與直角坐標系的關系

，，

（3）球坐標系

圖1-3

①元素

坐標單位矢量：，，

線元矢量：

面元矢量：，，

體積元：

②球坐標與直角坐標轉化

，，

三、標量場的梯度

1．標量場的等值面

（1）定義

標量場取得同一數值的點在空間形成的曲面。

（2）方程

（3）特點

①常數C取不同的值，得到一系列等值面，形成等勢面族；

②標量場的等勢面充滿整個空間；

③標量場的等值面互不相交。

2．方向導數

（1）方向導數計算公式

式中，是方向l的方向余弦。

（2）最大值：當梯度的方向與該點的方向向量平行時。

3．梯度

（1）意義：描述標量場在某點的最大變化率及其變化最大的方向。

（2）梯度的表達式

①直角坐標系：　

②圓柱面坐標系: 

③球面坐標系：　

4．梯度運算的基本公式

5．梯度的性質

（1）標量場的梯度是矢量場，它在空間某點上午方向表示該點場變化最大的方向，其數值表示變化最大方向上場的空間變化率。

（2）標量場在某個方向上的方向導數，是梯度在該方向上的投影。

（3）標量場的梯度垂直于通過該點的等值面。

四、矢量場的散度與旋度

1．矢量線

矢量線：曲線上每一點的切線方向與場矢量在該點的方向重合。

圖1-4

2．通量

圖1-5

定義：

矢量場對閉合曲面的通量：

討論：

（1），穿出閉合面的通量大于穿入曲面的通量，閉合面內存在正的通量源；

（2），穿出閉合面的通量小于穿入曲面的通量，閉合面內存在負的通量源；

（3）,穿出閉合面的通量等于穿入曲面的通量。

3．散度

（1）定義：矢量通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。

（2）特點：標量。

（3）散度表達式

①直角坐標系：

②柱面坐標系：

③球面坐標系：

（4）散度定理(高斯定理）

矢量場在空間任意閉合曲線的通量等于閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分。

4．環流

對任何閉合曲面的通量為零，但在場所定義的空間中閉合路徑積分不為零。

環量的大小與環面的方向有關。

5．旋度

（1）定義

方向為該環的法線方向，大小等于某點最大環量密度。

（2）符號表示

=

①直角坐標系 

②圓柱坐標系 

③球坐標系　 

6．斯托克斯定理

矢量場F的旋度在曲面S上的面積分等于矢量場F在限定曲面的閉合曲線C上的線積分。

五、無旋場與無散場

1．矢量場的源

散度源：標量

旋度源：矢量

2．無旋場與無散場

（1）無旋場

①僅有散度源而無旋度源的矢量場為無旋場，如靜電場，。

②梯度矢量的重要性質：其旋度恒等于零，即。

③任何標量場的旋度恒為零。

（2）無散場

①僅有旋度源而無散度源的矢量場為無散場，如恒定磁場，。

②旋度矢量的重要性質：其散度恒等于零，即。

③任何矢量場的旋度的散度恒為零。

（3）無旋、無散場（源在討論的區域之外）

（4）有散有旋場

分解：無散場部分和無旋場部分。

六、拉普拉斯運算與格林定理

1．拉普拉斯運算

（1）標量拉普拉斯運算

①概念：

②計算公式

直角坐標系

圓柱坐標系

球坐標系　

（2）矢量拉普拉斯運算

①概念：

②計算公式

直角坐標系：

③常用的矢量恒等式

2．格林定理

說明：

（1）利用格林定理可以將區域中場的求解問題轉變為邊界上場的求解問題。

（2）格林定理反映了兩種標量場之間滿足的關系。因此，若已知其中一種場的分布，則可利用格林定理求解另一種場的分布。

七、亥姆霍茲定理

1．無界區域

在無界空間區域，矢量場可由其散度及旋度確定。

2．有界區域

在有限區域V內，任一矢量場由它的散度、旋度和邊界條件唯一地確定，且可表示為