2015年上半年全國統考教師資格考試《數學學科知識與教學能力》（高級中學）真題及詳解

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的。

1．已知集合，則集合 =（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】，，則。

2．，“”是“”成立的（　　）。

A．充分條件但不是必要條件

B．充分必要條件

C．必要條件但不是充分條件

D．以上都不是

【答案】B

【解析】當時，推出；當時，推出；當時，推出。同理當時，則有。

3．與命題“在連續”不等價的命題是（　　）。

A．對任意數列，，有

B．，使得

C．存在數列，，有

D．對任意數列，，有

【答案】C

【解析】ABD三項均是等價命題，若存在數列，，有，則在點不一定連續，如函數，存在數列，，有，但函數在原點不連續。

4．三次函數的導函數圖像如圖1所示，則此三次函數的圖像是（　　）。

圖1

【答案】B

【解析】根據導函數的意義，若導函數大于0，則原函數遞增；若導函數小于0，則原函數遞減。所以只有Ｂ項符合條件。

5．設是代數方程的根，則下列結論不正確的是（　  ）。

A．是的因式

B．整除

C．是函數的圖像與軸的交點

D．

【答案】D

【解析】不能推出是代數方程的根，如，有，但原代數方程沒有實根。

6．表示的曲線是（　　）。

A．橢圓

B．雙曲線

C．拋物線

D．兩條相交直線

【答案】A

【解析】如果將坐標軸繞原點旋轉，則有，即。

帶入原方程得，則原方程表示橢圓。

7．下列圖形符號中表示算法程序“判斷框”的是（　　）。

【答案】D

【解析】A項代表起止框；Ｂ項代表輸入、輸出框；Ｃ項代表處理框；Ｄ項代表判斷框。

8．下面是關于學生數學學習評價的認識：

①通過考查學生的知識技能就可以對學生的數學學習進行全面評價

②通過考查學生的情感與態度就可以對學生的數學學習水平進行評價

③數學學習的評價重在學習過程，對于學習結果不必看

④數學學習的評價是激勵學生學習，而不是改進教師教學

其中，不正確的為（　　）。

A．③④

B．①②③

C．①②④

D．①②③④

【答案】D

【解析】《數學課程標準》指出：“應建立評價目標多元、評價方法多樣的評價體系。”“評價既要關注學生學習的結果，也要重視學習的過程；既要關注學生數學學習的水平，也要重視學生在數學活動中所表現出來的情感與態度，幫助學生認識自我、建立信心。” “學習評價的主要目的是為了全面了解學生數學學習的過程和結果，激勵學生學習和改進教學。”

二、簡答題（本大題共5小題，每小題7分，共35分）。

1．某投資人本金為A元，投資策略為：（1）一年連續投資次，每個投資周期為年；（2）在每個投資周期中，利率均為；（3）總是連本帶總滾動投資。

回答下列問題：

（1）一年后的資金總額？

（2）若干年后，資金總額趨于多少？

解：（1）第1個投資周期后資金為元，

第2個投資周后資金總額為元，

第n個投資周期后，即一年后資金總額為元。

（2），即當時，資金總額趨于。

2．某人從A處開車到D處上班，若各路段發生堵車事件是相對獨立的，發生堵車的概率如圖2所示（例如路段AC發生堵車的概率是）。

請選擇一條由A到D的路線，使得發生堵車的概率最小，并計算此概率。

圖2

解：由A到D的線路有兩條分別是A-B-D，A-C-D，

走A-B-D發生堵車的概率為，

走A-C-D發生堵車的概率為，

顯然，所以走A-C-D線路發生堵車概率最小，概率為。

3．舉例所明運用分析法證明數學結論的思維過程和特點。

答：分析法是指從要證的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直到歸結為判定一個顯然成立的條件（已知量、定義、公理、定理、性質、法則等）為止，從而證明論點的正確性、合理性的論證方法。

（1）分析法證明的思維過程

用Q表示要證明的結論，則分析法的思維過程可用框圖表示為：

（2）分析法證明的特點

從“未知”看“需知”逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實際上里尋找使結論成立的充分條件。

例如：對于任意的，，滿足基本不等式的證明過程。

分析法證明：要證，

只需證：，

只需證：，

因為成立所以成立。

4．簡述“尺規作圖”的基本要求，并寫出古希臘時期“幾何作圖三大問題”的具體內容。

答：（1）尺規作圖的基本要求

①它使用的直尺和圓規帶有想象性質，跟現實中的并非完全相同；

②直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側。只可以用它來將兩個點連在一起，不可以在上畫刻度。

③圓規可以開至無限寬，但上面亦不能有刻度。它只可以拉開成你之前構造過的長度。

（2）古希臘時期“幾何作圖三大問題”，只使用圓規和直尺求出下列問題的解，直到十九世紀被證實這是不可能的。

①立方倍積，即求作一立方體的邊，使該立方體的體積為給定立方體的兩倍。

②化圓為方，即作一正方形，使其與一給定的圓面積相等。

③三等分角，即分一個給定的任意角為三個相等的部分。

三、解答題（本大題1小題，10分）。

1．已知方程表示的幾何圖形是橢圓，求出其短半軸與長半軸的長度。

解：橢圓的中心在坐標原點，設橢圓上任一點，則原點O與P的距離r的最大、小值即為橢圓的長半軸與短半軸的長。

，當時，，

而，

由柯西不等式得，

，當且僅當時，取等號。

故橢圓的的短半軸長為1，長半軸長為。

四、論述題（本大題1小題，15分）

1．以高中階段的函數概念為例，闡述數學課程內容的呈現如何體現螺旋上升的原則？

答：數學中有一些重要的內容、方法、思想是需要學生經歷較長的認識過程，逐步理解掌握的，如函數、概率，數形結合、邏輯推理、模型思想等，因此，教材在呈現相應的數學內容與思想方法時，應根據學生的年齡特征，在遵循科學性的前提下，采用逐級遞進、螺旋上升的原則編排。

螺旋上升是指在深度、廣度等方面都要有實質性的變化，即體現出明顯的階段性要求。例如，函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，高中階段不僅把函數看成變量之間的依賴關系，同時還用集合與對應的語言刻畫函數，函數的思想方法將貫穿高中數學課程的始終，因此，教材對函數內容的編排應體現螺旋上升的原則，教材可以將函數內容的學習分為三個主要階段：

①第一階段，通過一些具體實例，體會數集之間的一種特殊的對應關系，從學生已掌握的具體函數和函數的描述性定義入手，引導學生聯系自己的生活經歷，嘗試列舉各種各樣的函數，構建函數的一般概念。

②第二階段，再通過對指數函數、對數函數等具體函數的研究，加深學生對函數概念的理解，引導學生不斷體驗函數是描述客觀世界變化規律的基本數學模型，體驗指數函數、對數函數等函數與現實世界的密切聯系及其在刻畫現實問題中的作用。

③第三階段，鼓勵學生運用計算器、計算機畫出指數函數、對數函數等的圖象探索、比較它們的變化規律，研究函數的性質，在這個過程中反復體會函數的概念，才能真正掌掘，靈活應用。

五、案例分析題（本大題1小題，20分）閱讀案例，并回答問題

1．方式1．實數有加法運算，那么下列集合的關系呢？

方式2．班里有會彈鋼琴的，會打拳擊的會……（給出集合的并集的定義）

方式3．前面學習了集合，集合的表示，基本關系，接下來呢……

問題：

（1）分析三種引入方式的特點。（6分）

（2）對于方式3，教師可以引導學生進一步提出哪些問題。（6分）

（3）數學概念引入的關鍵點是什么？（4分）如何使數學概念的引入更加自然？（4分）

答：（1）特點

①方式1的引入，從學生熟悉的實數加法運算入手，降低了認知難度，但是集合間的交、并、補、差運算，與實數的運算雖然有一定的聯系，但還是有些差別，在教學過程中注意引導學生思考探究，避免出現運算誤區。

②方式2的引入，利用學生身邊的人創設問題情景，降低對新知識的陌生感，引發學生思維的共鳴。

③方式3的引入，運用以前學過的知識內容，進行新舊知識的銜接過渡，降生對新知識的認知難度，但是缺乏具體內容的回顧，只是簡單的提及，不能夠全面的顧及到班上的所有學生對已有知識的掌握情況，未能達到降低對新知識認知難度的目的。

（2）問題1．集合之間是否也具備一些運算規律呢？

問題2．集合的并集運算與實數的加法運算有什么異同點？

問題3．集合的交集運算需要注意的問題有什么？

問題4．集合的補集運算與實數的減法運算有什么異同點？

（3）①數學概念的引入的關鍵點

a．注意運用新、舊知識之間的內在聯系；

b．調動學生認知結構中已有感性經驗去感知理解材料，創設具體情景，從具體事例中抽象出數學概念。

②自然過渡的方法

在利用新舊知識之間的聯系引入概念時，注意創設類比發現的問題情境，關注新舊知識的鏈接，嘗試引入新的概念，這樣引入容易使學生在原有的認知結構中得到同化和建構。通過創設情境從具體事例抽象出數學概念時要求充分調動學生認知結構中已有的感性經驗和知識，去感知理解材料，經過思維加工產生認識飛躍，繼而組織成完整的概念圖式，在具體引入概念的過程中可以通過實例、繪圖或是多媒體輔助引導學生分析數學概念的特點，使學生思維由感性認識自然過渡到理性認識。

六、教學設計題（本大題1小題，30分）

1．“兩角差的余弦公式”是高中數學必修4中的內容，“經歷用向量的數量積推出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用”，請完成“兩角差的余弦公式推導過程”教學設計中的下列任務。

問題：

（1）分析學生已有的知識基礎。

（2）確定學生學習的難點。

（3）寫出推導過程。

答：（1）知識基礎

學生已經學習了任意角三角函數的圖象和性質，誘導公式以及平面向量，會用向量的坐標運算。會用平面向量數量積的坐標表示模和夾角。能利用向量積求兩個向量之間的夾角。

（2）難點

兩角差的余弦公式的推導過程是本課的難點，引導學生通過主動參與，獨立探索，自己得出結果更是難點，憑直覺得出是學生經常犯錯誤，跟學生的直覺判斷產生了偏差。學生學過的三角函數知識，計算有關三角函數的問題是很自然的，鑒于學生獨立地運用單位圓上的三角函數線進行探索存在一定的困難，把探索過程寫進了教材，由于推導過程比較復雜，教材給了利用向量的方法推導兩角差的余弦公式，由于前一章剛學習了向量，學生應用不靈活。則推導兩角差的余弦公式存在困難。

（3）推導過程

如圖，在平面直角坐標系內作單位圓O，以Ox為始邊作角、，它們的終邊與單位圓O的交點分別為A，B，

則，，由向量數量積的坐標表示，則有，

，

（1）如那么向量與的夾角就是，由向量數量積的定義，

，

于是。

（2）當時，設與的夾角為θ，則

，

另一方面，由圖可知，，于是，

所以，也有。

所以對意角，有。