第一部分　歷年真題及詳解

2015年下半年全國統考教師資格考試《數學學科知識與教學能力》（高級中學）真題及詳解

一、單項選擇題（共8題，每小題5分，共40分）

1．若多項式和，則和）的公因式為（　　）。

A．x+1

B．x+3　 

C．x-1　

D．x-2

【答案】A

【解析】由輾轉相除法可得。

 

2．已知變換矩則A將空間曲面 變成（　　）。

A．球面

B．橢球線

C．拋物線　 

D．雙曲線

【答案】B

【解析】由已知的條件設曲面經矩陣A變化后為

=, 則x=,y=,z=故其方程為。

 

3．為研究7至10歲兒童的身高情況，甲、乙兩名研究人員分別隨機抽取了某城市100名和1000名兩組調查樣本，若甲、乙抽取的兩組樣本平均身高分別記為α、β （單位:cm），大小關系為（　　）。

A. α＞β

B. α＜β

C. α=β

D.不能確定

【答案】D

【解析】隨機抽樣的結果之間關系無法確定。

 

4．已知數列與數列，n=1,2,3…則下列結論不正確的是（　　）。

A．若對任意的整數n,有;

B．若且則對任意的正整數n,

C．若且存在正整數N，使得當n>N時，則

D．若對任意的正整數n,有且b>0,則a>0

【答案】B

【解析】取而

,，因此結論不正確。

5．下列關系不正確的是（　　）。

D．

【答案】B

【解析】由向量積的性質可得

6． 函數級數 的收斂區間為（　　）。

A．（-3，3）

B．（］ 

C．［）　 

D．[-3,3]

【答案】C

【解析】先求收斂半徑 又當x=時級數發散，x=-時級數收斂，故收斂半徑為［）。

7． 20世紀初對國際數學教育產生重要影響的是（　　）。

A．貝利-克萊因運動

B．大眾教學

C．新數學運動 

D．PISA項目

【答案】A

【解析】第一次數學課程改革發生在20世紀初，史稱“克萊因-貝利運動”。英國數學家貝利提出“數學教育應該面向大眾”“數學教育必須重視應用”的改革指導思想；德國數學家克萊因認為，數學教育的意義、內容、教材、方法等，必須緊跟時代步伐，結合近代數學和教育學的新進展，不斷進行改革。

8．《普通高中數學課程標準（實驗）》提出了五種基本能力，其中不包括（　　）。

A. 抽象概括

B. 推理論證　

C. 觀察操作　 

D. 數據處理

【答案】C

【解析】《普通高中數學課程標準（實驗）》提出了五項基本能力，包括:抽象概括、推理論證、數據處理、空間想象、運算求解。

二、簡答題（共5題，每題7分，共35分）

9．一條光線斜射在一水平放置的平面上，入射角為，請建立空間直角坐標系，并求出反射光線的方程， 若將反射光線繞平面鏡的法線旋轉一周，求出旋轉曲面的方程。

答：以此光線與平面的交點為原點建立空間直角坐標系，如下圖:

則入射光線所在直線過原點且在yoz坐標面上，所以入射光線的直線方程為，反射光線為，法線為z軸。

若將反射光線繞法線旋轉一周，也就是繞z軸旋轉一周，則得出旋轉曲面的方程是。

10． 求證：非齊次線性方程組　  有唯一解當且僅當向量 線性無關。

答：（1）若向量線性無關時，滿足方程組的系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩相等這一條件，則方程組有解。

先證明唯一性：設方程組有兩個解：

即

兩式作差得

因為線性無關

所以

（2）若線性方程組　  有唯一解，假設

線性相關，所以存在不全為0的實數使得，

則也是線性方程組的解，與線性方程組有唯一解矛盾。

綜上所述，線性方程組　 有唯一解當且僅當向量

線性無關。

11．某飛行表演隊由甲乙兩隊組成。甲隊由噴紅色霧和綠色霧的飛機組成，各3架，乙隊僅有3架噴紅色霧的飛機。在一次表演中，需要從甲隊抽3架到乙隊組合混合表演隊，并且任意指定一架為領飛機，求領飛機是綠色霧的概率。

答：。

第一步:選出甲中噴綠色煙霧的飛機，設X為選出的噴綠色煙霧的飛機的數量

第二步:

6架飛機中有1架噴綠色煙霧的飛機時，所選到領飛機是噴綠色煙霧的飛機的概率為：

6架飛機中有2架噴綠色煙霧的飛機時，所選到領飛機是噴綠色煙霧的飛機的概率為：

6架飛機中有3架噴綠色煙霧的飛機時，所選到領飛機是噴綠色煙霧的飛機的概率為：

所以，領飛機是綠色霧的概率為：。

12．闡述確定數學課程內容的依據。

答：在普通高中課程標準中規定數學課程標準、單元目標和具體數學知識點三者的結合。確定教學內容時，特別要注意以下三點:

（1）是數學知識的主要特征。一個數學知識點內容是極為龐雜的，應該選擇該數學知識點最本質的東西作為教學的重點。

（2）是學生的需要。確定知識點的教學內容也不是由教材一個要素決定的，還涉及到學生認知發展階段性的問題。因此也不可能是教材有什么就教什么、學什么，只能選擇教材內容與學生認知發展相一致的內容作為教學內容。

（3）是編者的意圖。編者的意圖主要是通過例題以及課后的練習題來體現的。數學例題以及課后練習題的重要性在數學課程中要遠遠高于其他學科，因為數學例題以及練習題是數學課程內容建設一個不可或缺的組成部分。在其他課程中，練習０題最多只是課程內容的重現，有的只屬于教學領域，作為一種教學手段，對課程本身并沒有很大影響。但數學課不是這樣，數學課“教什么”在相當程度上是由練習題或明或暗指示給教師的。

13．舉例說明向量內容的學習對高中生理解數學運算的作用。

答：平面向量是高中數學引入的一個新概念，利用平面向量的定義、定理、性質及有關公式，可以簡化解題過程，便于學生的理解和掌握。

向量運算主要作用可以提高學生針對數學運算的理解層次，學生最初接觸的運算都是數與數之間的運算，而加入向量運算之后，向量運算涉及到數學元素更多，比如實數、字母，向量甚至還可以把幾何圖形加入運算當中，這本身對數學層次有更大的一個提高。而且向量運算對數學的思想也體現的比較多，在解析幾何當中，或者是在平面幾何當中，向量應用確實很方便，一個運算既有代數運算又有幾何意義，但是到了立體幾何，向量運算僅僅就變成算術了，算術對立體幾何本身還是沒有一點想象。

（1）向量在代數中的應用。根據復數的幾何意義，在復平面上可以用向量來表示復數，這樣復數的加減法，就可以看成是向量的加減，復數的乘除法可以用向量的旋轉和數乘向量得到，學了向量，復數事實上已沒有太多的實質性內容，因而變選學內容也就不難理解了。另外向量所建立的數形對應也可用來證明代數中的一些恒等式、不等式問題，只要建立一定的數模型，可以較靈活地給出證題方法。

（2）向量在三角中的應用。當利用單位圓來研究三角函數的幾何意義時，表示三角函數就是平面向量，利用向量的有關知識可以導出部分誘導公式，由于用向量解決問題時常常是從三角形入手的，這使它在三角里解決有關三角形的問題發揮了重要作用，一個最有力的證據就是教材中所提供的余弦定理。證明:只要根據向量三角形得出關系式的兩邊平方，就可利用向量的運算性質得出要證的結論，它比用綜合法提供的證明要簡便得多。

（3）向量在平面解析幾何中的應用。由于向量是作為一種有向線段，本身就是有向量上的一段，且向量的坐標可以用起點、終點的坐標來表示，使向量與平面解析幾何特別是其中有關直線的部分保持著一種天然的聯系。平面直角坐標系內兩點間的距離公式，也就是平面內相應的向量的長度公式；分一條線段成定比的分點坐標，可根據相應的兩個向量的坐標直接求得；用直線的方向向量（a，b）表示直線方向比直線的斜率更具有一般性，且斜率實際是方向量在a=0時的特殊情形。另外向量的平移也可用化簡二次曲線，即通過移動圖形的變換來達到化簡二次曲線的目的，實際上與解析幾何中移軸變換達到同樣的效果。

（4）向量在幾何中的應用。在解決幾何中的有關度量、角度、平行、垂直等問題時，用向量解決也很方便，特別是平面向量可以推廣到空間用來解決立體幾何問題。例如在空間直線和平面這部分內容中，解決平行、相交、包含以及計算夾角、距離等問題用傳統的方法往往較為繁瑣，但只要引入向量，利用向量的線性運算及向量的數量積和向量和以后，一切都歸結為數字式符號運算。這些運算都有法則可循，比傳統的方法要容易得多。

總之，平面向量已經滲透到中學數學的許多方面，向量法代替傳統教學方法已成為現代數學發展的必然趨勢。向量法是一種值得學生花費時間、精力去掌握的一種新生方法，學好向量知識可助于理解和掌握與之有關聯的學科。

因此在職中數學教學中加強向量這一章的教學，為更好地學習其它知識做好必要的準備工作就顯得尤為重要。但傳統教學思想對向量抵觸較大，許多教者認為向量法削弱了學生的空間想象能力，且學生初學向量時接受較為困難，這就要求教育工作者不斷探索，找出最佳的教和學的方法，發揮向量的作用，使向量真正地面為現代數學的基礎。

三、問答題（共1題，10分）

14．敘述并證明拉格朗日微分中值定理，并簡述拉格朗日中值定理與中學數學內容的聯系。

答：如果函數滿足

（1）在開區間內可導；

（2）在閉區間內連續；

則存在使得。

證明：如果函數 在開區間內可導，在閉區間內連續，

構造輔助函數，可得：

又因為函數 在開區間內可導，在閉區間內連續，

，根據羅爾定理可知在內至少有一點使得

即：，證畢。

拉格朗日中值定理在微積分學中是一個重要的理論基礎，是應用數學研究函數在區間上整體性質的有力工具。拉格朗日中值定理在中學數學中應用非常廣泛，如利用導數來研究函數的某些特性、證明不等式和方程根的存在性、描繪函數的固像、解決極值、最值等等。

四、論述題（共1題，15分）

15．敘述“嚴謹性與量力性相結合”數學教學原則的內涵，并以“是無理數”的教學過程為例說明在教學中如何體現該教學原則。

答：（1）數學的嚴謹性，是指數學具有很強的邏輯性和較高的精確性，即邏輯的嚴格性和結論的確定性，量力性是指學生的可接受性。

這一原則，說明教學中的數學知識的邏輯嚴謹性與學生的可接受性之間相適應的關系。理論知識的嚴謹程度要適合學生的一般知識結構與智力發展水平，隨著學生知識結構的不斷完善，心理發展水平的提高，逐漸增強理論的嚴謹程度；反過來，又要通過恰當的理論嚴謹性逐漸促進學生的接受能力。

顯然這一原則是根據數學本身的特點及學生心理發展的特點提出的，但是在學習過程中，學生的心理發展是逐步形成的，不同的年齡階段，其感知、記憶、想象、思維、能力等心理因素都有不同的發展水平。這種心理發展的漸變性決定了在教學中不可能對數學理論的研究達到完全嚴密的程度，而應該在不同的教學階段，依據不同的教學目的和內容而提出不同的嚴謹性要求，即數學教學的嚴謹性是相對的。

（2）在證明“是無理數”的教學過程中，對嚴謹性要求，應設法安排使學生逐步適應的過程與機會，逐步提高其嚴謹程度，要求做到推理有據，證明要步步有根據、處處有邏輯。在推理有據的同時并不排斥直觀和猜想，強調思維的嚴謹性，允許猜想，辯證地處理好推理的有據和猜想的關系。

由于學生對無理數不熟悉，在實際教學過程中采用反證法，先假設是有理數，教學中可以由教師給出證明步驟，讓學生只填每一步的理由，鼓勵學生發揚“跳一跳夠得到”的精神，逐步過渡到學生自己給出嚴格證明，最后要求達到立論有據，論證簡明。“因為如果x是有理數，那么x可以寫成最簡分數（p，q是整數，且互質）的形式，于是，所以p也是偶數。不妨設p=2a，可得，所以q應該也是偶數，這樣與p,q互質矛盾，因此，x是無理數。

在教學過程中，不能消極適應學生，降低理論要求，必須在符合內容科學性的前提下，結合學生實際組織教學。

五、案例分析題（1題，20分）

閱讀案例，并回答問題。

16．在“三角函數求值”的教學中，教師給出來如下問題。

已知α，β為銳角， 求cosβ的值。

教師讓兩位學生板書演示，他們的演示過程如下：

學生1：因為，α為銳角，所以

當時,

當時,

學生2: 因為，α為銳角，所以

由, 即

設 ,因為α為銳角,所以

則

問題:

（1）你如何評價這兩位學生的解題過程。（10分）

（2）假如你是該教師，針對學生扮演的情況，如何組織進一步的教學，完成課題的教學任務。（10分）

答：（1）①學生一的解題思路從開始看是比較清晰的，利用兩次,后又結合分類討論利用兩角差的余弦公式求出cosβ的值，但是分類討論后忘記驗證兩種情況是否成立，原因是對公式 認識不清，掌握不全面，應該驗證得出結果為：若則 所以，sinα與已知矛盾，所以。所以會與老師期望得到的結果不同。

②學生二利用兩角和正弦公式，化為解一元二次方程得出兩個結果，最后也是沒有驗證結果的正確性，和學生一犯了一樣的錯誤。整體來說學生對三角函數公式掌握的比較牢固，運用的也比較熟練，只是在熟練的基礎之上還不能更好地內化數學思想，即驗證結果的成立與分類討論的應用。

（2）首先請全班同學同桌兩人為一組討論扮演同學的答案是否正確，若對，說出解題思路以及解題亮點，若不對應該如何糾正。時間為兩分鐘，在此期間我會到學生中間巡場，走進學生，找到學生的疑惑點。兩分鐘后，請學生代表來分析此題，井說出正確結果。因為學生對此知識點掌握相對薄弱，我會在此處著重強調在得到答案之后驗證的重要性，讓學生從題目中總結所學到的方法。

六、教學設計題（1題，30分）

17．“基本不等式”是高中數學教學中的重要內容，請完成下列任務。

（1）在“基本不等式”起始課的“教學重點”設計中，有兩種方案

①強調基本不等式在求數值中的應用，將基本不等式的應用作為重點。

②強調基本不等式的背景、過程與意義，將學生感受和體驗“基本不等式”中“基本”的意義作為重點。

你贊同哪種方案？簡述理由。（10分）

（2）給出 以及 的幾何解釋。（10分）

（3）為了讓高中生充分認識“基本不等式”中“基本”的意義，作為教師應該對此有多個維度的理解，請至少從兩個維度談談你對“基本”意義的認識。（10分）

答：（1）我更贊同第二種方案，理由如下:

①本節課定位為“基本不等式”的起始課，它是在學生已經系統地學習了不等式關系和不等式性質，掌握了不等式性質的基礎上進行教學的，學生對于“基本不等式”還處于初步感知階段，不能一步就理解如何實現基本不等式在求解簡單最大（小）值當中的應用，因此，在“基本不等式”的起始課當中，應當先讓學生結合基本不等式的背景和意義進行自主探索，了解不等式的證明過程，加深印象及存在原因后再學習應用會更好。

②從新課程標準的要求出發，高中數學課程標準是指導教師進行課程安排、課程設計難易度的標尺，高考階段的要求也是依據新課程標準來制定的，數學5當中，高中數學課程標準明確說明，基本不等式在開始階段，應將探索并了解基本不等式的證明過程放在重點位置。

③從教材的編寫來看，在基本不等式的這節一開始，是以北京召開的第24屆國際數學家大會的會標準為問題的背景，提問學生“你能在這個圖中找到一些相等關系或不等關系嗎？”利用面積間存在數量關系，抽象出不等式，并在此基礎上，從三個角度引導學生認識、證明不等式，在之后的例題應用當中，才提及“基本不等式”在解決實際問題當中是解決最大（小）值問題的有力工具。

因此，從這三點來看，基本不等式的起始課的教學重點應該采用第二種方案，即強調基本不等式的背景、過程及意義，將學生感受和體驗“基本不等式”中“基本”的意義作為教學重點。

（2）的幾何解釋是：大正方形的面積大于四個三角形的面積和，當且僅當a=b時，等號成立（即正方形的對角線正方形分成4個等腰直角三角形，正方形的面積等于四個等腰三角形的面積和）。如圖所示

 

的幾何解釋是：以a+b為直徑的半圓，在直徑AB任一點C，過C作直AB的垂線與半圓交于D點。由射影定理可得CD=，由圖示顯然可得CD（即一個圓的半徑大于等于垂直該直徑的弦的一半），即得。

（3）重要不等式的推廣

掌握最簡單的形式，推廣到三維，在推廣到多維形式。

三維形式：對于三個正數a, b, c, 有，當且僅當a=b=c時，等號成立。

多維形式：若a₁，a₂，a₃，…a_n∈R+， 則a₁+a₂+a₃+…+a_n≥，當且僅當a₁=a₂=a₃=…=a_n 時，等號成立。