第一部分　歷年真題

2013年成人高考專科起點升本科《高等數學（一）》真題及詳解

一、選擇題：（第1～10小題，每道小題4分，共40分。在每道小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，選出正確選項。）

1．＝（　　）。

A．e

B．1

C．

D．－e

【答案】C

【解析】由于為連續函數，x＝０在函數的定義區間內，因此可直接將x＝0代入函數求極限，得。

2．設，則y＇＝（　　）。

A．2x

B．3＋2x

C．3

D．

【答案】A

【解析】。

3．設，則dy＝（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】。

4．設y＝，則y＇＝（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】。

5．設y＝3＋sinx，則y＇＝（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】。

6．＝（　　）。

A．

B．2

C．x

D．2x

【答案】A

【解析】由可變限積分求導公式可知。

7．＝（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】。

8．＝（　　）。

A．

B．0

C．

D．1

【答案】B

【解析】。

9．設z＝3＋5y，則＝（　　）。

A．5ｙ

B．3x

C．6x

D．6x＋5

【答案】C

【解析】z＝3x2＋5y，。

10．微分方程的階數為（　　）。

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】A

【解析】微分方程所含有未知函數y的導數最高階數為1，為一階微分方程。

二、填空題：（第11～20小題，每道小題4分，共40分。將答案填寫在題中橫線上。）

11．＝_______。

【答案】2e

【解析】

12．設y＝(x＋3)2，則y＝_______。

【答案】2(x＋3)

【解析】

13．設，則y＇＝_______。

【答案】

【解析】

14．設y＝5＋lnx，則dy＝_______。

【答案】

【解析】

15．＝_______。

【答案】

【解析】

16．＝_______。

【答案】2（e－1）

【解析】。

17．過坐標原點且與平面2x－y＋z＋1＝0平行的平行方程為_______。

【答案】2x－y＋z＝0

【解析】已知平面的法線向量為(2，－1，1)，所求平面與已知平面平行，因此平面方程可設為，又平面過原點，故D＝0，即所求平面方程為2x－y＋z＝0。

18．設z＝xy，則dz＝_______。

【答案】

【解析】z＝xy，則＝y，＝x．由于dz＝可知dz＝ydx＋xdy。

19．冪級數的收斂半徑R＝_______。

【答案】1

【解析】對于級數，，。

20．設區域D＝，則_______。

【答案】π

【解析】積分區域D＝為圓域，其半徑為2，D的面積為又由二重積分性質可知

三、解答題（21～28題，共70分。解答應寫出推理、演算步驟。）

21．設函數，在x＝1處連續，求a。(本題滿分為8分)

解：f(x)在x＝1處連續，有

得a＝2。

22．求(本題滿分為8分)

解：利用洛必達法則，得

23．求．(本題滿分為8分)

解：

＝2ln2

24．求函數的極大值與極小值。(本題滿分為8分)

解：

令f′(x)＝0，解得x₁＝－1；x₂＝1

又f″(x)＝6x,可知f″(1)＝－６＜0，f″(1)＝6＞0

故x＝－1為f（x）的極大值點，極大值為7

x＝1為f（x）的極小值點，極小值為3。

25．設z＝xy2＋eycosx，求．(本題滿分為8分)

解：z＝xy2＋eycosx，＝2xy＋eycosx。

26．求由曲線y＝x2(x≥0)，直線y＝1及y軸圍成的平面圖形的面積．(本題滿分為10分)

解：y＝x2(x≥0)，y＝1及y軸圍成的平面圖形D如圖所示．其面積為

27．計算，其中積分區域D由直線y＝x，x＝1及x軸圍成．(本題滿分為10分)

解：

28．求微分方程的通解．(本題滿分為10分)

解：對應齊次微分方程的特征方程為

特征根為r＝1(二重根)。

齊次方程的通解為y＝(C₁＋C₂x)(C₁，C₂為任意常數)。

設原方程的特解為，代入原方程可得因此

故原方程的通解為