第一部分　歷年真題

2014年成人高考高中起點升?？?、本科《數(shù)學》（理科）試卷及詳解

一、選擇題：本大題共17小題，每小題5分，共85分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，將所選項前的字母填涂在答題卡相應題號的信息點上。

1．設集合，則集合（　?。?/p>

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】M∩N表示既屬于M又屬于N的元素，依題意有－1≤x≤1．

2．的定義域為（　?。?/p>

A．（－∞，5）

B．（－∞，﹢∞）

C．（5，﹢∞）

D．（－∞，5）∪（5，﹢∞）

【答案】D

【解析】要使函數(shù)y＝成立，則分母不能為0，即，則x≠5，則x的定義域為x∈（－∞，5）∪（5，﹢∞）.

3．函數(shù)y＝2sin6x的最小正周期為（　　）．

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】令t＝6x，sin（t）為正弦函數(shù)，其最小正周期是T＝2π，即t＝6x的最小正周期為2π，得x＝．

4．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（　　）．

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】A項，為對數(shù)函數(shù)，是非奇非偶函數(shù)；B項，為正弦函數(shù)，，是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱；C項，，（－x）2＝x2，是偶函數(shù)；D項，為指數(shù)函數(shù)，是非奇非偶函數(shù)．

5．過點（2，1）與直線y＝x垂直的直線方程為（　?。?/p>

A．y＝x＋2

B．y＝x－1

C．y＝－x＋3

D．y＝－x＋2

【答案】C

【解析】與y＝x垂直，則該直線方程的斜率為－1，設該直線方程為y＝－x＋b，又該直線過點（2，1），則1＝－2＋b，得b＝3，則該直線方程為y＝－x＋3.

6．函數(shù)y＝2x＋1的反函數(shù)為（　?。?/p>

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】應用函數(shù)與反函數(shù)關系原理：，故其反函數(shù)為：.

7．若a，b，c為實數(shù)，且a≠0．

設甲：，乙：有實數(shù)根，則（　　）．

A．甲是乙的必要條件，但不是乙的充分條件

B．甲是乙的充分條件，但不是乙的必要條件

C．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件

D．甲是乙的充分必要條件

【答案】D

【解析】當成立，由二次函數(shù)性質可知，存在解使得成立，故甲是乙的充分條件；當的解存在，由解的存在定理，則必有，故甲是乙的必要條件；綜上所述，甲是乙的充分必要條件.

8．二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標為（　?。?/p>

A．（－2，0）和（1，0）

B．（－2，0）和（－1，0）

C．（2，0）和（1，0）

D．（2，0）和（－1，0）

【答案】A

【解析】令y等于0，則有：x2＋x－2＝0，解方程，得x₁＝－2，x₂＝1；故交點坐標為（－2，0）和（1，0）.

9．設i，i是虛數(shù)單位，則是（　　）．

A．

B．

C．

B．

【答案】B

【解析】將原式求倒數(shù)即可的.

10．設a＞b＞1，則（　　）．

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】A項，a＞b＞1，則；B項，a＞b＞1，底數(shù)在1到無窮大之間的，同真數(shù)的，底數(shù)越大，其值越小，即；D項，a＞b＞1，當?shù)讛?shù)大于1時，指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，即．

11．已知平面向量a＝（1，1），b＝（1，－1），則兩向量的夾角為（　?。?/p>

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】兩向量的乘積ab＝1×1＋1×（－1）＝0，則兩向量垂直，即兩向量的夾角為90°.

12．的展開式中的常數(shù)項為（　　）．

A．3

B．2

C．－2

D．－3

【答案】D

【解析】展開式常數(shù)項為＝－3.

13．每次射擊時，甲擊中目標的概率為0.8，乙擊中目標的概率為0.6．甲、乙各自獨立地向目標射擊一次，則恰有一人擊中的概率為（　　）．

A．0.44

B．0.6

C．0.8

D．1

【答案】A

【解析】甲、乙各自獨立地向目標射擊一次，則恰有一人擊中，即甲擊中或者乙擊中，則有0.8×0.4＋0.2×0.6＝0.44．

14．已知一個球的體積為，則它的表面積為（　?。?/p>

A．4π

B．8π

C．16π

D．24π

【答案】C

【解析】球的體積公式，則有＝，得半徑r＝2；則球的表面積＝.

15．在等腰三角形ABC中，A是頂角，且，則cosB＝（　　）．

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由題意知，＝120°，又A是頂角且為等腰三角形，故＝30°，則cosB＝．

16．四棱錐P—ABCD的底面為矩形，且AB＝4，BC＝3，PD丄底面ABCD，PD＝5，則PB與底面所成角為（　?。?/p>

A．30°

B．45°

C．60°

D．75°

【答案】B

【解析】因為PD⊥底面ABCD，則∠PBD為PB與底面ABCD所成的角，已知ABCD的底面為矩形，則AB＝CD＝4，BC＝AD＝3，則BD＝＝5；又PD＝5，PD⊥底面ABCD，則PD⊥BD，則△PDB為等腰直角三角形，即PB與底面所成角為45°．

17．將5本不同的歷史書和2本不同的數(shù)學書排成一行，則2本數(shù)學書恰好在兩端的概率為（　　）．

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】七本書總共的排列順序有＝5040種，兩本數(shù)學書恰好在兩端的排列順序有＝240種，則2本數(shù)學書恰好在兩端的概率為＝．

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案寫在答題卡相應題號后。

18．已知空間向量，則2a＋b＝_____．

【答案】（3，2，9）

【解析】由向量的加減計算法則，將對應的坐標向量相加即可，故2a＋b＝（3，2，9）.

19．曲線在點（1，－1）處的切線方程為_____．

【答案】y＝x－2

【解析】對曲線方程求導得，故得出在點（1，－1）處切線斜率為1，則可設切線方程為，將點（1，－1）代入，得y＝x－2.

20．設函數(shù)，則f（3）＝_____．

【答案】

【解析】直接令x＝2，則x＋1＝3，代入方程，得f（3）＝．

21．某運動員射擊10次，成績（單位：環(huán)）如下：

則該運動員的平均成績是_____環(huán).

【答案】8.7

【解析】將十次成績相加，再除以10，得該運動員的平均成績?yōu)?.7.

三、解答題：本大題共4小題，共49分。解答應寫出推理、演算步驟，并將其寫在答題卡相應題號后。

22．已知△ABC中A＝110°，AB＝5，AC＝6，求BC（精確到0.01）．（本小題滿分12分）

解：根據余弦定理

23．已知數(shù)列的前n項和．（本小題滿分12分）

（I）的前三項

（Ⅱ）的通項公式

解：（Ⅰ）因為，則：

（Ⅱ）當n≥2時，

當n＝1時，，滿足公式

則數(shù)列的通項公式為.

24．設函數(shù).（本小題滿分12分）

（I）函數(shù)f（X）的導數(shù)

（Ⅱ）函數(shù)f（X）在區(qū)間[1，4]的最大值與最小值

解：（1）因為函數(shù)，所以

（Ⅱ）令，解得x＝3或x＝－1；比較f（1），f（3），f（4）的大小，有

f（1）＝1－3－9＝－11；

f（3）＝27－27－27＝－27；

f（4）＝64－48－36＝－20；

則函數(shù)在區(qū)間[1，4]的最大值為－11，最小值為－27.

25．設橢圓的焦點為，軸長為4.（本小題滿分13分）

（I）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓有兩個的交點，求m的取值范圍

解：（Ⅰ）橢圓的標準方程為；已知橢圓的焦點為，則其焦距；橢圓的長軸長2a＝4，則a＝2；其短半軸長b為

則橢圓的方程為

（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程可得

因為直線與橢圓有兩個不同交點，所以

解得－2＜m＜2

則m的取值范圍為（－2，2）．