第2章　導數與微分

2.1　考點歸納

一、導數

1．導數的定義

f定義在U（x₀）上，若極限

存在，則稱f在點x₀處可導，其中Δx為自變量x的增量．

（1）左導數

（2）右導數

2．切線方程

曲線y＝f（x）在點M（x₀，y₀）處的切線方程為

3．法線方程

如果，法線的斜率為，法線方程為．

4．求導法則

（1）和、差、積、商的求導法則

（2）反函數的求導法則

如果函數x＝f（ｙ）在區間I_y內單調、可導且f'（ｙ）≠0，則它的反函數在區間內也可導，且

（3）復合函數的求導法則

如果u＝g（x）在點x可導，而y＝f（u）在點u＝g（x）可導，則復合函數y＝f［g（x）]在點x可導，且其導數為

5．求導公式

6．含參變量函數的導數

若，則　

7．高階導數

（1）二階導數

（2）常見函數的n階導數

①指數函數的n階導數

②正弦函數的n階導數

③余弦函數的n階導數

④的n階導數

⑤冪函數的n階導數（是任意常數）

特別

（3）萊布尼茨公式

或

二、微分

1．微分的定義

定義在U（x₀）上，，如果可表示為，則稱在點可微，稱為函數在點相應于自變量增量的微分，記作

2．高階微分

三、微分學定理及應用

1．微分學定理

（1）羅爾定理

若滿足

①在[a，b]上連續；

②在（a，b）內可導；

③，

則至少存在一點，使得．

（2）拉格朗日中值定理

若f（x）滿足

①在[a，b]上連續；

②在（a，b）內可導，

則至少存在一點，有．

（3）柯西中值定理

若f（x）及F（x）滿足

①在[a，b]上連續；

②在（a，b）內可導；

③對任一；

④F（b）≠F（a），

則在（a，b）內至少有一點，有

2．洛必達法則

（1）時，的洛必達法則

①當時，f（x）及F（x）的極限都為零；

②在U（x₀）上，及都存在且；

③存在（或為無窮大），則

（2），的洛必達法則

①當時，函f（x）及F（x）都趨于零；

②當|x|＞N時及都存在，且；

③存在（或為無窮大），則

注：其他還有一些0·∞、∞－∞、00、1∞、∞0型的未定式，也可通過或型的未定式來計算．

3．泰勒公式

（1）泰勒公式

（2）帶有佩亞諾余項的麥克勞林公式

（3）帶有拉格朗日余項的麥克勞林公式

（4）常見函數的泰勒公式

4．函數的極值與最大值最小值

（1）極大值

f（x）定義在U（x₀）上，如果對于內的任意x，有，則稱f（x₀）是函數f（x）的一個極大值．

（2）極小值

f（x）定義在U（x₀）上，如果對于內的任意x，有，則稱f（x₀）是函數f（x）的一個極小值．

（3）極值

極大值與極小值統稱為極值．

（4）極值定理

①定理1（必要條件）

設f（x）在x₀處可導，且在x₀處取得極值，則．

②定理2（第一充分條件）

設函數f（x₀）在x₀處連續，且在x₀的某去心鄰域內可導．

a．若時，，而時，，則f（x）在x₀處取得極大值；

b．若時，，而時，，則f（x）在x₀處取得極小值；

c．若時，的符號保持不變，則f（x）在x₀處沒有極值．

③定理3（第二充分條件）

設f（x）為一階、二階可導，且f＇（x₀）＝0，則

a．當f"（x₀）＜0時，f（x）在x₀取得極大值；

b．當f"（x₀）＞0時，f（x）在x₀取得極小值．

（5）求f（x）極值點和極值的步驟

若函數f（x）在所討論的區間內連續，且除個別點外處處可導，則

①求出導數f＇（x）；

②求出f（x）的全部駐點與不可導點；

③考察f＇（x）的符號在每個駐點或不可導點的左、右鄰近的情形，以確定該點是否為極值點；如果是極值點，進一步確定是極大值點還是極小值點；

④求出各極值點的函數值，就得函數f（x）的全部極值．

（6）求f（x）最大值和最小值的步驟

若f（x）在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內除有限個點外可導，且至多有有限個駐點，則

①求出f（x）在（a，b）內的駐點及不可導點；

②計算f（x）在上述駐點、不可導點處的函數值及f（a），f（b）；

③比較（2）中諸值的大小，其中最大的便是f（x）在[a，b]上的最大值，最小的便是f（x）在[a，b]上的最小值．

5．曲線的凹凸性與拐點

（1）凸函數

f定義在I上，?x₁和x₂∈I和?實數λ∈（0，1）總有

則稱f為I上的凸函數．

（2）凹函數

f定義在I上，?x₁和x₂∈I和?實數λ∈（0，1）總有

則稱f為I上的凹函數．

（3）凹凸性的判定

f（x）在區間I上二階可導，則

①f為凸函數?；

②f為凹函數?．

（４）駐點與拐點

①駐點

導數為零的點稱為駐點．

②拐點

設y＝f（x）在區間I上連續，x₀是I內的點．如果曲線y＝f（x）在經過點（x₀，f（x₀））時，曲線的凹凸性改變了，則稱點（x₀，f（x₀））為這曲線的拐點．

（５）對連續曲線y＝f（x），若除在個別點不存在，則可按可按下述步驟求函數的拐點：

①求；

②令＝0，解出方程在區間I內的實根，并求出在區間I內不存在的點；

③對于②中求出的每一個實根或二階導數不存在的點x₀，檢查在x₀左、右兩側鄰近的符號，則當兩側的符號相反時，點（x₀，f（x₀））是拐點，當兩側的符號相同時，點（x₀，f（x₀））不是拐點．