第1章　極限與連續

1.1　考點歸納

一、數列極限

1．定義

設{a_n}是一個數列，，對?ε＞0，?正整數N，當時，有，則稱{a_n}收斂于a，則a稱為數列的極限，記作．

（1）無窮小數列：；

（2）無窮大數列：；

（3）發散數列：若極限不存在，則稱為發散數列；

（4）收斂?的任何子列都收斂．

2．性質

（1）唯一性

收斂數列{a_n}只有一個極限．

（2）有界性

若{a_n}收斂，則?正數M，對?n∈N*有．

（3）保號性

若（或＜0）則對或（），?正數N，當n＞N時有a_n＞a′（或a_n＜a′）．

（4）保不等式性

收斂數列{a_n}與{b_n}．若?正數N₀，當n＞N₀時有a_n≤b_n，則

（5）夾逼性

設{a_n}，{b_n}都收斂于a，{c_n}滿足：?正數N₀，當n＞N₀時有

則{c_n}收斂，且

3．四則運算

{a_n}，{b_n}都收斂，則

（1）；

（2）；

（3）；

（4）（b_n≠0及）．

4．單調有界定理

單調且有界的數列一定存在極限．

5．柯西收斂準則

{a_n}收斂?對?ε＞0，?正整數N，當n，m＞N時有

二、函數

1．函數三要素

定義域 值域 對應法則

2．性質

（1）有界性

若?正數M，對?x∈D有

則稱f在D上有界．

（2）單調性

①單調遞增  對?x₁，x₂∈D．當x₁＜x₂時，f（x₁）＜f（x₂）；

②單調遞減  對?x₁，x₂∈D．當x₁＜x₂時，f（x₁）＞f（x₂）．

（3）奇偶性

D關于原點對稱

①奇函數  f（－x）＝－f（x），圖像關于原點對稱；

②偶函數  f（－x）＝f（x），圖像關于y軸對稱．

（4）周期性

若?T＞0，對一切x∈D，x＋T∈D，有f（x＋T）＝f（x），稱T為函數f的周期，T的最小值稱為最小正周期．

3．分類

（1）復合函數

形如y＝f（g（x）），u＝g（x）的函數稱為復合函數，對于每一個x，經過中間變量u，都得到唯一確定的y值，其中u＝g（x）的值域不能超過y＝f（u）的定義域．

（2）反函數

設函數f：D→f（D）是單射，則它存在逆映射，稱此映射為函數f的反函數．

注：互為反函數的兩個函數的圖像關于直線y＝x對稱．

三、函數極限

1．概念

（1）函數f在點x₀的極限

f定義在U°（x₀；δ'）上，A為定數．對?ε＞0，若?正數δ（＜δ'），當0＜|x－x₀|＜δ時有|f（x）－A|＜ε，則稱函數f在點x₀的極限為A，記作

（2）函數f在x趨于∞時的極限

f定義在[a，＋∞）上，A為定數．對?ε＞0，若?正數N（≥a），使得當x＞N時有

則稱函數f在x趨于∞時的極限為A，記作

（3）左極限

f定義在[x₀，x₀＋η）上，A為定數．對?給定的ε＞0，總?δ＞0，當時，有

則稱A為f在點x₀的左極限，記為

（4）右極限

f定義在（x₀－η，x₀]上，A為定數．對?給定的ε＞0，總?δ＞0，當時，有

就稱A為f在點x₀的右極限，記為

（5）．

2．性質

（1）唯一性；

（2）有界性；

（3）保號性；

（4）保不等式性；

（5）夾逼性．

注：函數極限性質同數列極限性質類似．

3．歸結原則

f定義在上，存在?對任何含于且以x₀為極限的數列，都存在且相等．

4．單調有界定理

f為定義在上的單調有界函數，則右極限存在．

5．柯西準則

f定義在上，存在??ε＞0，?正數，使得對，有

6．兩個重要極限

7．無窮小量與無窮大量

（1）無窮小

①時的無窮小，得；

②時的無窮小，得．

（2）無窮小的性質

若f（x）為無窮小量，g（x）為有界量，則它們的積f（x）g（x）也為無窮小量．

（3）無窮大

f（x）定義在U0（x₀）上．對?給定的正數M，總?正數（或正數X），只要（或|x|＞X），總有|f（x）|＞M，則稱f為當或（）時的無窮大．

8．相關無窮小的定義

（1）高、低階無窮小

若，則稱x→x₀時f為g的高階無窮小量（或稱g為f的低階無窮小量），記作

（2）同階無窮小

f和g定義U0（x₀）上，若?正數K和L，滿足

則稱f與g為當x→x₀時的同階無窮小量．

（3）等價無窮小

若，則稱f與g是當x→x₀時的等價無窮小量,記作

注：常用的等價無窮小

9．漸近線

設曲線y＝f（x）

（1）斜漸近線y＝kx＋b

（2）垂直漸近線

若（或者左、右極限趨于無窮），則垂直漸近線為．

（3）水平漸近線

若（或者），則水平漸近線為ｙ＝ｂ．

四、函數的連續性

1．概念

（1）連續的定義

f（x）定義在U（x₀）上，若

則f在點x₀連續．

2．性質

（1）有界性；

（2）保號性；

（3）四則運算．

3．間斷點

（1）定義

函數f（x）在點x₀處不連續，則稱點x₀為函數f（x）的不連續點或間斷點．如果x₀是函數f（x）的間斷點，但左極限及右極限都存在，則x₀稱為函數f（x）的第一類間斷點．不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點．

（2）類型

①第一類間斷點

a．可去間斷點  在間斷點處函數左右極限相等．

b．跳躍間斷點  在間斷點處函數左右極限不相等．

②第二類間斷點

a．無窮間斷點  在間斷點處函數極限為無窮大（無窮小）．

b．振蕩間斷點  在間斷點處函數值在一個區間變化．

4．定理

（1）最值定理

f為閉區間[a，b]上的連續函數，則f在[a，b]上有最大值與最小值．

（2）有界性定理

f為閉區間[a，b]上的連續函數，則f在[a，b]上有界．

（3）介值性定理

f為閉區間[a，b]上的連續函數，f（x）可以取介于最大值和最小值之間的任何值．

（4）根的存在定理

f為閉區間[a，b]上的連續函數，且f（a）·f（b）＜0，則在（a，b）內至少有一點ξ，使得．

5．一致連續

（1）定義

f定義在區間I上，如果對于?給定的正數ε，總?正數δ，使得對于區間I上的任意兩點x₁、x₂，當時，有

則稱f在I上一致連續．

（2）一致連續與連續的關系

如果f（x）在區間I上一致連續，則f（x）在I上一定連續；當f（x）在區間I上連續，f（x）在區間I上不一定一致連續．

（3）一致連續性定理

f為閉區間[a，b]上的連續函數，則f在[a，b]上一致連續．