第一部分　核心講義

模塊一　學科知識

第1章　數學學科基礎知識（上）

1.1　考綱解讀

1．準確掌握基本概念，熟練進行運算，并能夠利用這些知識去解決中學數學的問題。

2．理解高中數學中的重要概念，掌握高中數學中的重要公式、定理、法則等知識。

3．掌握中學數學中常見的思想方法，具有空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解、數據處理等基本能力以及綜合運用能力。

1.2　核心講義

一、函數概念及其性質

（一）中小學數學課程中函數概念形成的基本脈絡

1．量、數量與數

（1）數、量、圖、數據（一批數）是引導兒童進入數學的源泉。

（2）映射f是集合A到集合B的單值對應關系，即對于集合A中的每一個元素a，根據對應關系f，在集合B中有惟一元素f（a）與之對應，這樣的對應f稱為映射。

（3）函數是實數集合到實數集合的映射。對函數與映射的認識與理解是相輔相成的。

2．量與單位

（1）“量”指一般意義的量，不僅包括前面討論的離散的量，也包括如長度、時間、質量、溫度、電阻等，同種量可相互比較大小。

（2）“單位”是度量“量”大小的出發點，對于一個量確定了一種單位，就建立了這種量與實數（整數、自然數）的一個映射——一種對應關系。

3．建立量與量的關系—小學數學中的兩個基本模型

（1）兩個基本模型：總價=單價×數量、路程=速度×時間。

（2）這兩個模型一個是離散的經濟模型，一個是連續的物理模型，在大學數學學習中，它們仍然是基本的模型。

4．正、反比例關系——關系概念的形成

從具體到抽象是數學發展規律，通過對實際的模型，抽象反映出一般的量與量的反比例關系，初步形成量與量之間關系概念，對于學生認識和理解函數起著十分重要的作用。

5．常量與變量

（1）常量

在具體的情境中，有些量是不變的，例如，在勻速運動中，速度是不變的，通常把這種量稱為常量。

（2）變量

有些量可以取不同的數值，是變化的，通常稱為變量。

6．變量之間的依賴關系——函數概念及圖像

（1）在一些情境中，可以有很多變量，有些變量之間存在著依賴關系。

（2）一個變量的變化引起另一個變量的變化，把這種具有相互依賴的變量關系稱為函數關系。

（3）變量與變量之間的依賴關系，揭示了函數的本質，即反映函數是描述變化的。

7．函數模型初步——幾類重要的函數

（1）正比例函數；

（2）一次函數（線性函數）；

（3）反比例函數；

（4）一元二次函數；

（5）簡單分段函數。

8．函數概念的再認識——三個維度

（1）變化角度——變量關系；

（2）整體角度——函數圖像；

（3）映射角度——建立兩類事物間的對應關系。

9．函數模型的再認識——基本初等函數

簡單冪函數（特別是整數冪函數）、指數函數、對數函數、三角函數是基本函數，又稱為基本初等函數。

10．函數應用

（1）應用領域

①在研究數學問題方面的應用。

②用函數思想解決其他學科問題，如物理、化學、生物中的問題。

（2）用函數解決問題時的三個基本層次

①能用學過的函數知識描述問題；

②用學過的函數模型直接解決問題；

③經歷使用函數進行數學建模的過程，體會數學建模的思想和基本過程。

（二）認識函數概念的三個維度

1．變化角度——變量關系

這種變量之間的依賴關系具有一個突出的特征，即當一個變量取定一個值時，依賴于這個變量的另一個變量有惟一確定的值。

2．整體角度——函數圖像

（1）函數關系是平面上點的集合，又可以看作平面上的一個“圖形”。研究函數就是研究曲線的性質，研究曲線的變化。

（2）在討論函數問題時，幫助學生養成畫函數圖像習慣，并且用函數圖像思考問題。

3．映射角度——對應關系

（1）函數是聯結兩類對象的橋梁，即通常說的映射關系。

（2）這是用映射的觀點理解函數，它反映兩個數集之間的關系，在兩個數集之間架起了一座橋梁。

（三）函數的基本性質

1．單調性

單調性是中學最重要的函數性質。

（1）第一階段

依函數圖像直觀地感受單調性，理解單調性的定義及在研究函數中的作用。

（2）第二階段

①理解導數與單調性的聯系；

②用單調性判斷導數的符號。

2．周期性

周期性反映了函數變化周而復始的規律。在高中數學課程中，只討論基本的具體三角函數的周期性，例如，正弦、余弦、正切函數的周期性。

3．對稱性（奇偶性）

（1）對稱性是反映函數特點的基本性質。

（2）偶函數的圖像是關于y軸對稱的。

（3）奇函數的圖像是關于原點對稱的。

4．函數性質的綜合認識

（1）函數的學習一定要在頭腦中建立起幾個重要的模型。

（2）函數的教學一定要突出函數圖形的地位。

（3）函數是刻畫客觀世界的一個基本數學模型。

（4）在學習與函數知識有關的內容時，理解函數思想。

二、基本初等函數及函數的分類

（一）基本初等函數

1．冪函數和整數冪函數

冪函數是基本初等函數，在冪函數中，最重要的是整數冪函數，以及由它們拓展的多項式函數，即。

（1）微分

在微積分的學習中，微分是最重要的概念之一。

①微分是一個可導函數在一點的線性主部，線性主部就是一個一次函數（線性函數），即，一方面，函數的微分dy與自變量的改變量（也稱為自變量微分）成正比例，其中比例系數k是這一點函數的導數。

②函數的微分dy與函數的改變量之差是自變量微分dx的高階無窮小，即函數的微分dy可以近似表示函數的變化，稱之為“以直代曲”。

（2）“好函數”

①在微積分學習中，研究的主要函數類是具有任意階導數的函數，稱之為“好函數”。

②冪函數以及所有基本初等函數都是“好函數”，并且，初等函數拓展的所有初等函數也都是“好函數”，整數冪函數對研究“好函數”有重要作用。

2．指數爆炸——指數函數和對數函數

（1）指數函數、對數函數本身都是重要的函數，在刻畫自然規律時，它們是用得最多的函數，也是最基本的函數；同時，它們是“好函數”，它們具有任意階導數。

（2）指數函數、對數函數在描述變化快慢發揮著基本作用。

3．周期變化——三角函數

（1）三角函數也是最基本的周期函數，可以幫助學生更好地理解周期函數；

（2）三角函數也都是好的函數，具有任意階導數；

（3）三角函數的代數和可以用來表示更多的函數。

（二）運算與初等函數

1．四則運算與初等函數

根據函數的定義，y=f（x）±g（x）、y=f（x）g（x）、y=（g（x）≠0）還是函數。

2．函數復合與初等函數

（1）設有兩個函數y=f（u），u=g（x），它們的定義域分別是D和E；它們的值域分別是f（D）和g（E），記D*=g（E）∩D，若D*≠，則記E*=g^-1（D*）；

（2）通過函數f可以在f（D）內找到y=f（u），將所有這樣的f（u）記為f（D*）。這就確定了一個定義在E*上的函數，記作y=（fg）（x），x∈E*，即y=（fg）（x）=f（g（x）），x∈E*，稱之為函數，和g的復合函數。

（3）圖1-1-l表示兩個函數是如何構造一個新函數的。

3．反函數與初等函數

（1）反函數的定義

①若y=f（x）是一個函數，其定義域為D，值域為，設E*為值域。

②f（D）的一個子集，且對任意y∈E^*，在D中有惟一的x滿足y=f（x），可以根據y=f（x）得到一個新的函數，記作，稱它為函數y=f（x）的一個反函數，它的定義域是E*，值域是。

③如果，通常把稱作y=f（x）的反函數。

（2）對于連續函數來說，有反函數的充分必要條件是：是嚴格單調的。

4．有限次運算與初等函數

四則運算、復合、求反函數是構造新的函數的手段，這些手段稱為構造新的函數運算，基本初等函數經過有限次四則運算與復合運算得到的新函數類稱之為初等函數。

（三）極限與一般函數

1．極限的各種形式

（1）數列極限

①數列與一個實數的關系：設為數列，為定數。

②若對任給的定數，總存在正整數N，使得當n>N時有，則稱數列收斂于，定數稱為數列的極限，并記作，或（n+∞），讀作“當n趨于無窮大時，的極限等于或趨于”。

③從數列極限的定義中可知，一個收斂的數列可以與一個實數對應，通過一個數列就可以找到一個實數，如果把數列中的數換成函數，就可以利用同樣的方法構造出一個函數。

（2）導數——特殊的極限

①對于函數y=f（x），是定義區間中的一點，存在一個數A，對于任意ε>0，存在>0，對定義區間I中的任意一點x，令，當0<<時，若有

，

則稱y=f（x）在處可導，并稱A為y=f（x）在處的導數，通常記作。②若函數y=f（x）在某一區間上的每一點都可導，則稱y=f（x）在該區間上可導。

③對每一個x∈I，都有y=f（x）的一個導數（或單側導數）與之對應，這樣就定義了一個在上的函數，稱為y=f（x）在上的導函數，記作。

（3）定積分——特殊的極限

設y=f（x）是定義在[a，b]上的有界函數，存在實數A，對于任意>0，存在>0，在[a，b]上任意取分點，作成一種劃分P：，并任意取點，區間的長度記作，并令，當時，有，則稱在[a，b]上黎曼可積的公式

稱為黎曼和，其極限值A稱為f（x）在[a，b]上的定積分，記為。

（4）級數

①設，，…，，…是無窮可列個實數，稱它們的“和”++…++…為無窮數項級數（簡稱級數），記為，其中為級數的通項。

②由于無法直接對無窮多個實數逐一地進行加法運算，所以必須對上述的級數求和給出合理的定義，為此作級數的“部分和數列”， 。這樣當

時，數項級數就決定了一個實數。

2．從有限到無限

認識極限的基本角度：

（1）數列和級數本質上是等價的；

（2）用極限來構造新的函數實際上是對函數進行無限次運算。

3．用極限構造新函數

（1）通過導數構造新的函數。

（2）通過定積分運算構造新的函數。

（3）通過求級數構造新的函數。

綜上所述，求導、積分以及求級數都是構造新函數的方法，是拓展函數研究范圍的手段。

三、數列

（一）數列在數學與實際中的作用

數列是解決日常經濟生活問題的基本模型，是特殊的函數—研究一般函數的工具，數列與遞推存在密切關系。

（二）數列在高中數學中的定位

在高中數學學習中，應該關注：用等差、等比數列討論日常生活中的經濟問題；用數列來提高學生的運算能力；初步了解數列是特殊的函數及作用。

（三）數列與差分方程

1．等差數列再認識

（1）數列相鄰項的差，稱為數列的差分。

一般地，對任何n有，把制造新數列稱為一個算子。

（2）原來的數列為，構成的新數列用表示，稱為一階差分，記為= 。

（3）在一階差分的基礎上，用算子還可以得到新數列，記為，稱之為數列的二階差分；同理，還可以得到三階差分以及k階差分，分別記為和。

（4）從差分的角度看，等差數列就是一階差分為常數，二階差分為0的數列。

2．數列與差分

（1）學習數列的益處

數列是函數的離散形式，差分是微分的離散形式，有助于學生理解導數與微分，有助于學習微分方程等知識。

（2）學習差分的益處

學習差分有助于進一步學習數列，可以利用一階差分和二階差分的符號來判斷數列的增減、凹凸。

3．差分方程——一階線性差分方程

（1）含有未知數列和它的一階差分的等式，稱為一階差分方程。

（2）如果這個方程里面只含有未知數列和未知數列的一階差分的一次項，稱作一階線性差分方程。記作

。

①=0時，稱為一階線性齊次差分方程；

②≠0時，稱為一階線性非齊次差分方程。

③當=0時，數列就是等差數列；=0時，數列就是等比數列。

4．一階線性差分方程求解

對于一階線性差分方程，滿足差分方程的數列稱為該差分方程的解。　

（1）一階線性齊次差分方程的通解

①一階線性齊次差分方程的解就是一個滿足上述差分方程的數列。

②數列稱作一階線性齊次差分方程的通解，其中可以取任何值。當不為0時這個數列是個等比數列。

（2）一階線性非齊次差分方程的特解

對一階差分方程，

①=0時，方程變為：，即，這是一個等差數列，因此，它的通解為：。

②當b≠0且≠0時，對于一階非齊次差分方程，如果初值為，可以用迭代的方法求解，數列：這個數列就是方程的一個特解。

③給定不同的初始值，就可以得到方程的不同特解。

（3）一階線性非齊次差分方程的通解

它的通解可以表示為：對應齊次方程的通解與該方程的一個特解之和。

5．迭代法（略）

四、導數和積分

（一）導數的意義

在數學中，函數是刻畫客觀世界變化規律的重要數學模型，研究函數主要是研究函數的變化。導數能夠定量的體現函數的變化，為學生研究函數提供了一種新的工具。

（二）積分的意義

積分是用來刻畫“求和”的基本概念。它主要是為定義和計算長度、面積、體積等提供一套通用的方法：劃分→取點→求和→取極限。

（三）牛頓一萊布尼茨公式

1．定義

牛頓一萊布尼茨公式又稱為微積分基本定理，設函數是閉區間[a，b]上的連續函數，是它在閉區間[a，b]上的任意一個原函數，則有

。

牛頓一萊布尼茨公式建立了導數和積分兩者之間的聯系，使積分成為一門學科。

2．貢獻

牛頓和萊布尼茨的偉大就在于找到了一般函數的微分與導數的關系，將定積分的運算轉變為求原函數的過程，也是微積分的本質所在。

3．對牛頓—萊布尼茨公式的證明（略）

五、研究函數變化的基本方法

（一）研究函數變化的兩種方法

1．代數

單調性是函數重要的性質之一，反映了函數的變化。在中學教學中通過代數運算來討論函數單調性，進而研究函數的變化。

2．微積分（導數）

（1）研究導數是從研究函數的平均變化轉變為研究函數的瞬時變化，即變化率。

（2）導數作為刻畫函數變化的瞬時變化率，能夠清楚反映函數的變化情況。

①從函數值上看：導數的符號可以反映函數的變化趨勢（增大或者減小），導數絕對值的大小可以反映函數變化的快慢。

②從函數圖像上看：導數的符號可以刻畫圖像的走勢（上升或是下降），導數絕對值的大小可以刻畫圖像走勢的“陡峭”程度。

（二）兩者的差異

單調性是從定性的角度刻畫函數的變化；導數是從定量的角度刻畫函數的變化。

（三）兩者的聯系

1．導數與單調性的聯系

（1）在一個區間內，如果函數在每一點的導數都大于零，則函數是嚴格遞增的。

（2）如果函數在每一點的導數都小于零，則函數是嚴格遞減的。

（3）在一個區間內，遞增函數如果有導函數，那么每一點的導數大于或等于零。

（4）在一個區間內，遞減函數如果有導函數，那么每一點的導數小于或等于零。

2．單調性與導數在代數形式及圖形上的聯系

由于函數在區間[a，b]上是連續的，因此存在某一點它的導數（即其處的切線斜率）與割線的斜率相同。

六、函數知識的應用

（一）函數與方程

1．由函數產生方程

對n元函數，當時，就產生了n元方程。

2．由方程產生函數

（1）對n元方程，決定了之間存在某種關系，這種關系可能是函數關系，如果是則這時可以產生元函數。

（2）在由方程構造函數的過程中，有時可以構造一個新的函數，有時不能，這就需要根據隱函數存在定理來判斷。

（二）函數與不等式

1．由函數產生不等式

（1）對n元函數，當或時，就產生了n元不等式。

（2）函數決定了不等式，因此也為不等式提供了研究方法。如函數及其相關性質，如單調性、導數、二階導數等，是證明不等式的有力工具。

2．利用函數圖像解不等式

（1）函數的圖像把坐標系的橫坐標軸分成若干部分區域，一部分區域是使函數值等于0，即；一部分區域是使函數值大于0，即；一部分區域是使函數值小于0，即。

（2）用函數的觀點看，就是確定使函數圖像在軸上方或下方的的區域。這樣，就可以確定函數圖像與軸的交點（方程=0的解），再根據函數的圖像來求解不等式。

（三）函數與線性規劃

解線性規劃問題可歸結為以下步驟：

（1）確定目標函數；

（2）分析約束條件；

（3）建立不等關系（不等式組）；

（4）根據不等式組確定目標函數的可行域（目標函數的定義域）；

（5）找出可行域邊界上的頂點（因為目標函數和可行域的邊界都是線性的）；

（6）求出這些頂點的函數值；

（7）根據要求，確定目標函數在可行域內的最值。

（四）函數的實際應用

函數應用包含有三個層次：

（1）用函數關系描述實際問題。

（2）用常見的函數模型直接解決簡單的實際問題。

（3）利用函數建模。

七、大學分析類數學課程

（一）基礎課程

基礎課程就是數學專業的其他課程都以其為基礎的數學課程，其中以數學分析，高等代數和解析幾何為最基本的課程。

（二）選修課程

選修課程根據專業取向而開設的專業性更強的課程，比如運籌學，矩陣論，數理邏輯等。

八、微積分基礎知識

（一）微積分的產生

微積分也稱無窮小分析，是數學的一個重要分支，主要研究極限，導數，積分和無窮級數。它是人類經過長期積累和發展的結果，特別是17世紀，由于牛頓和萊布尼茨所做的關鍵性工作，從而宣布了微積分的最終誕生。

（二）微積分的發展的四個階段

1．1000年之前

在這個階段數學的基本計算和符號系統逐漸完善，這對于微積分的成熟是必需的。

2．1000年至1600年

這是微積分的積累時期或準備時期。

3．從1600年至1900年

這是微積分的成熟期，形成了數學的基本學科：分析學。

4．由1900年至今

可以稱作微積分的深化期，在這個階段，微積分向著深化的方向發展。

九、數系的擴充與運算

（一）數系的擴展

數系的擴展有兩個基本動力：實際的需要和運算的需要。邏輯上來說，數系的擴展主要經歷了從自然數→分數、負數→有理數→實數→復數等。

（二）自然數的意義與運算

（1）自然數具有基數作用，可以刻畫一個集合元素個數的多少。

（2）由集合的交、并產生了減法和加法。

（3）由集合的包含關系產生了除法，乘法是加法的簡便運算。

（二）有理數的意義與運算

1．有理數發展的動力

（1）實際的需求。

（2）運算的需求。

2．分數和負數的產生

除法運算和減法運算分別是產生分數和負數的來源之一。分數可以表示除法的結果、表示新的單位，表示比值或兩個量的比。

（三）實數的意義和運算

（1）無理數的建立使得原來密密麻麻的直線，變成了光滑的直線，填滿了數軸上缺少的數。這樣實數體系逐步建立和完善起來；

（2）實數的建立極大地推動了數學形式化的發展，使數學變得更加嚴格，基礎更加牢固。

（四）復數的意義和運算

運算是分數、負數、無理數產生的動力之一，直到建立起完備的實數理論之后，盡管曾遭人反對，但是有了復數確實使得自然界的很多現象能夠得到很好的解釋。

十、字母運算與常見公式

（一）從算術到代數

看這樣一個問題：一個籠子里有雞和兔子共16只，共有52條腿，那么雞和兔子分別有多少只？

1．算術方法

這里有三種解決該問題的算術方法：試逼近法；窮舉法；分析法。

2．代數方法（雞兔同籠型解體模型）

（二）多項式乘法與二項式定理

1．基本公式

；；

；。

2．多項式乘法法則

（1）若干個多項式相乘，它的展開式可以由多項式乘法法則確定。

（2）展開式的一項是由每一個多項式中的某個單項式為因子組成的單項式。

3．計算二項式的展開式

求的展開式：

（1）展開式中的每個單項式都由若干個與若干個相乘得到，和的個數的總和為n，形如：（k=0，1，2，3，…，n）；

（2）展開式中單項式是通過以下方法得到的：

①先從n個多項式中選出k個，在這k個多項式中只取a不取b，在余下的n-k個多項式中只取b不取a，這樣就得到了；

②因為從n個多項式）中選出k個的方法總數就是的同類項的個數，記作。

（3）展開式中有n+1個不同類型的單項式；

（4）根據上面的討論，可以得到二項式的展開式，如下：

（k=0，1，2，…，n）。

（5）為了簡化二項式的展開式，可以引入新的符號∑來表示若干項相加，即：

（k=0，1，2，…，n）。

（三）多項式除法與余數定理

1．代數式

當時，由上式可以得到以下3個結果：

（1）可以被整除；

（2）是的一個因式；

（3）是的一個根。

2．余數定理

由以上3個結果分別可以得到，因此，這3個結果是等價的，即互為充分必要，這就是余數定理，它是高等代數中最重要的基本定理。

十一、向量

（一）向量代數

向量是代數的研究對象，向量運算是向量的重點內容。向量的代數運算大大拓展了運算的對象和結果。

（二）向量幾何

1．點、線、面、超平面

向量可以描述、刻畫和替代幾何中的基本研究對象：

（1）點

在空間直角坐標系中，以原點為向量的起點，空間中的點就與向量建立起一一對應關系，給出一點的坐標，就可以用向量=來刻畫。

（2）直線

一點和一個非零向量（作為直線的方向向量）可以惟一確定一條直線，直線通過這個點且與給定向量平行。

（3）平面

一個點和一個非零向量，可以惟一確定一個平面，平面過這個點且與給定向量（平面的法向量）垂直。

（4）超平面

給出n維空間一點M的坐標和法向量那么超平面內任一點M：還滿足：。坐標表示為·=0。

2．位置關系和度量關系

（1）關注幾何中的度量關系和位置關系

①向量可以刻畫空間中點、線、面之間的基本位置關系：判斷線線、線面、面面的平行與垂直。

②向量也可以刻畫基本的度量關系：計算長度、角度、面積、體積等。

（2）用向量解決距離問題

在高中階段空間幾何中主要的距離問題包括六類：

①點到直線的距離；

②平行直線間的距離；

③點到平面的距離；

④平行于平面的直線到平面的距離；

⑤平行平面的距離；

⑥異面直線的距離。

（三）向量的物理意義

向量具有豐富的物理背景，物理學研究的基本量之一是矢量，物理中的矢量問題都可以通過向量運算來解決。

（四）向量是搭建幾何、代數和物理的天然橋梁

對向量的認識要從三個基點出發：把它看作代數的；把它看作幾何的；考慮它的物理背景。

（五）向量與代數結構

1．向量

（1）二維向量與向量的加法構成一個交換群（R²，+）

交換群應該滿足以下條件：

設G是一個非空集合，*是它的一個（二元）代數運算：

①封閉性：群內任意兩個元素或兩個以上的元素（相同的或不同的）的結合（積）都是該集合的一個元素。即若n和是G中的元素，則它們的乘積*也是G中的元素。

②結合律：雖然群元素不一定要求滿足交換律，但必須滿足結合律，即對G中任意元素，，都有（*）*=*（*）；

③單位元素：集合G內存在一個單位元素，它和集合中任何一個元素的積都等于該元素本身，即對于G中每個元素都有*=；

④逆元素：對G中每個元素在G中都有元素^-1，稱作的左逆元，使^-1*=，元素的集合如果滿足上述四個條件就稱為群。

⑤在此基礎上若還滿足交換律，即對G中任意元素，，都有*=*，非空集合G和其上代數運算*構成交換群。

（2）向量作為線性空間的實例

①設是一個非空集合，是一個數域。在集合的元素之間定義了一種代數運算，稱作加法；也就是說，給出了一個法則，對于V中任意兩個元素和，在V中都有惟一的一個元素與它們對應，稱為與的和，記為=+；

②在數域與集合的元素之間還定義了一種運算，稱作數量乘法，即對于數域中任一數k與中任一元素，在V中都有惟一的一個元素與它們對應，稱為k與的數量乘積，記為=k。

③如果加法與數量乘法滿足下述法則，那么V稱為數域上的線性空間。

a．加法滿足的四條規則

第一，+=+；

第二，（+）十=+（β+）；

第三，在V中有一個元素0，對于V中任一元素都有+0=0。具有這個性質的元素0稱為V的零元素；

第四，對于V中每一個元素，都有V中的元素，使得+=0。稱為的負元素。

b．數量乘法滿足的兩條法則

第一，1·=；

第二，。

c．數量乘法與加法滿足的兩條法則

第一，；

第二，。

所有的二維向量與向量加法構成一個交換群。若再加上實數域R中的實數與向量的數乘運算；可以構成一個線性空間，記作（R²，R，+，·）。

（3）向量也是一個線性賦范空間的實例。

十二、矩陣與變換

（一）矩陣與變換

1．幾何變換

圖形變換從本質上來講，這些變換都是點（圖形）的移動。由于可以用過原點的向量來刻畫平面上的點，因此，平面上點的變換也是平面上向量的變換。

2．用矩陣刻畫幾何變換

（1）二階矩陣作用在一個向量上可以得到一個新的向量。

（2）二階矩陣把平面上的每一個點都變成惟一的點。它是平面到平面的映射。等價地，它是平面向量到平面向量的映射。

@@@（3）用矩陣來刻畫人們熟悉的幾何變換：反射、壓伸、切變、旋轉、投影等。

3．矩陣的積

（1）連續實施兩個線性變換相當于一個新的線性變換，這就是變換的復合（合成）。

（2）當連續實施一系列變換時，改變變換的次序將改變變換的結果，矩陣乘法不滿足交換律。

4．逆矩陣

函數是特殊的映射，如果一個函數是——映射（從幾何的角度也可以說是一一對應），那么這個函數有反函數。在矩陣與變換內容中也有類似的概念——逆矩陣。

（1）如果變換是一一對應的，變換就有逆變換，這種逆變換就對應矩陣的逆矩陣。

（2）但像投影變換就沒有逆變換。例如， =的逆變換就是再作一次關于Y軸的反射。用矩陣表示即為 =。

（3）變換的逆和矩陣的逆本質上體現了一一對應的思想。

5．矩陣的應用

一般地，給定矩陣M，若存在一個非零向量α和實數A，滿足Mα=λα，則稱λ為矩陣M的特征值，α為矩陣M的屬于特征值λ的特征向量。即特征向量在矩陣的作用下具有某種“不變性”，即特征向量變換后的像與原向量是共線的。

（二）多角度認識線性方程組

1．代數的角度

是一個二元一次方程組。

（1）通過消元可以求解線性方程組，消元法還可以求出系數行列式的值，發現克萊姆法則。

（2）消元是求解線性方程組的基本方法，不僅適用于解二元一次方程組，也是解n元一次方程組的方法。

2．解析幾何的角度

將求解二元一次方程組的問題，可以看成是兩條直線的位置關系問題，這兩條直線的斜率分別為，；

（1）若≠，則兩直線相交，方程組有惟一解，即交點坐標；

（2）若=，且，則兩條直線平行，則方程組沒有解；

（3）若=，且，兩條直線重合，則有無窮多解。

從解析幾何的角度是通過看方程組系數矩陣的行向量的共線關系來判斷方程的解。

3．向量幾何的角度

上述方程組還可以改寫為。

（1）如果和線性無關，且可以用和線性表示，則存在惟一的，使得成立，即方程組有惟一解；

（2）如果向量、和共線，方程組有無窮多解；

（3）當不能用和線性表示時，方程組無解。

可以看到，從向量幾何的角度是通過看方程組系數矩陣的列向量的共線關系來判斷方程的解。

（4）矩陣的角度

上述方程組可以用矩陣表示為 解方程的問題就變成：已知變換和某個點在這變換下的像，求該點（原像）的問題。

（三）從中學數學看線性代數作用

中學數學中的方程組與線性代數的關系，如圖1-2-2所示。

圖1-2-2

十三、字母運算的應用——方程與不等式

（一）方程與韋達定理

一元二次方程的三個系數，，決定了這個一元二次方程，也就決定了該方程的根。說明一元二次方程根與系數的關系的方法有兩種。

1．求根法

證明：對于方程來說，若，滿足和，那么，就是方程的根。

上面的結果就是著名的韋達定理，即方程有兩個根，的充分必要條件為，。

2．假設法

假設方程的兩根分別是，根據前面的結果有將上式的右端展開得

，

因此， ，

所以，　 ，。

反之，如果已知二元一次方程以及存在兩個數，滿足，， ，是方程的根嗎？

只需將，，代入方程即和是否成立？

由知，，所以，

即，即，因此是方程的一個根。同理可證是它的另一個根。

（二）函數應用與方程的近似求解

二分法依賴以下結果：如果函數在上連續，，則在內存在一個值，。

（三）不等關系與基本不等式

無論是在數學中，還是在生活中，不等關系與相等關系都一樣重要。在數學上，不等關系主要有這樣兩種情況：一是恒不等關系；二是條件不等關系。運用基本不等式求最值時需要注意的條件：

（1）兩個變量必須是正變量；

（2）當它們的和為定值時，其積取得最大值；當它們的積是定值時，其和取得最小值；

（3）當且僅當兩個數相等時取最值。即必須同時滿足“正數”“定值”“相等”三個條件，才能求得最值。