2.2　配套考研真題解析

一、判斷題

判斷下列命題是否正確．[武漢大學(xué)2003研]

（1）單調(diào)序列{a_n}中有一個(gè)子序列收斂，則{a_n}收斂；

（2）序列{a_n}的子序列{a_2n}和{a_2n＋1}收斂，則{a_n}收斂；

（3）序列{a_n}收斂，則序列收斂，其逆命題也成立；

（4）收斂，則；

（5）函數(shù)序列滿足對(duì)任意自然數(shù)p及有

則{u_n（x）}一致收斂．

解：（1）對(duì)．不妨設(shè){a_n}單增，即又設(shè)則

（2-1）

可證．

用反證法．

若，那么．所以．這與式（2-1）矛盾，因此{(lán)a_n}單調(diào)遞增有上界a，從而有極限，即證{a_n}收斂．

事實(shí)上還可證時(shí)，有

再由．對(duì)上述ε，存在N₂，當(dāng)n_k＞N₂時(shí),有

再令當(dāng)n＞N時(shí)，有

所以．

（2）錯(cuò)．比如數(shù)列1，0，1，0，1，0……．{a_2n}和{a_2n＋1}都收斂，但{a_n}不收斂．

（3）錯(cuò)．逆命題并不成立，比如{∣（－1）ⁿ∣}收斂，但{（－1）ⁿ}不收斂．

（4）錯(cuò)．比如收斂，但

（5）錯(cuò)．比如{xⁿ}在[0，1]上滿足條件，但{xⁿ}在[0，1]上不一致收斂．

二、證明題

1．設(shè)Rⁿ中數(shù)列{a_n}，{b_n}，滿足a_n＋1＝b_n－qa_n，n＝1，2，…，0＜q＜1．證明

（1）若：{b_n}有界，則{a_n}有界；

（2）若{b_n}收斂，則{a_n}一定收斂．[清華大學(xué)2001研]

證：（1）由a_n＋1＝b_n－qa_n知，．由此式及{b_n}的有界性0＜q＜1，即可知{a_n}有界．

（2）由{b_n}收斂知，對(duì)任意的ε>0，存在N＞0，當(dāng)m、n＞N時(shí)，有∣b_m－b_n∣＜ε．又由a_n＋1＝b_n－qa_n，可得，所以當(dāng)m＞n時(shí)有

因此{(lán)a_n}收斂．

2．證明：不存在．[武漢大學(xué)研]

證：用反證法．

假設(shè)，則，有

即

于是

即，但是，矛盾．即

不存在．

　 三、計(jì)算題

1．計(jì)算下列極限

．[武漢大學(xué)2004研]

解：（1）

（2）

2．設(shè)，其中β≠0，∞，求α，β．[復(fù)旦大學(xué)研]

解：

當(dāng)α＝3時(shí)，原式＝