第1章　多項式[視頻講解]

1.1　本章要點詳解

本章要點

■數域及其性質

■多項式運算及其運算性質

■整除的判別與性質

■最大公因式的存在性與求法

■不可約多項式與因式分解唯一性定理

■重因式的判別

重難點導學

一、數域

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1定義

設P是由一些復數組成的集合，其中包括0與1，如果P中任意兩個數（這兩個數也可以相同）的和、差、積、商（除數不為零）仍然是P中的數，則稱P為一個數域．

全體有理數組成的集合、全體實數組成的集合、全體復數組成的集合都是數域，這三個數域分別用字母Q，R，C來代表．全體整數組成的集合不是數域．

注：（1）如果數的集合P中任意兩個數作某一運算的結果都仍在P中，則數集P對這個運算是封閉的．

（2）數域的等價定義：如果一個包含0，l在內的數集P對于加法、減法、乘法與除法（除數不為0）是封閉的，則稱P為一個數域．

2性質

任意數域P都包括有理數域Q．

二、一元多項式

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1一元多項式的概念

（1）一元多項式的概念

設x是一個符號（或稱文字），n是一非負整數，形式表達式…，

其中a₀，a₁，…，a_n全屬于數域P，稱為系數在數域P中的一元多項式，或者簡稱為數域P上的一元多項式．

在多項式中，用f（x），g（x），…或f，g，…來代表多項式．

注：在多項式…中

①a_ixⁱ稱為i次項，a_i稱為i次項的系數；

②如果a_n≠0，則稱a_nxⁿ為多項式的首項，a_n稱為首項系數，n稱為多項式的次數，多項式f（x）的次數記為：；

③系數全為零的多項式稱為零多項式，記為0．零多項式是唯一不定義次數的多項式．

（2）多項式相等

如果在多項式f（x）與g（x）中，除去系數為零的項外，同次項的系數全相等，則稱f（x）與g（x）相等，記為f（x）＝g（x）．

（3）多項式的運算

設…，…是數域P上兩個多項式，即

，

①和運算：在表示多項式f（x）與g（x）的和時，如n≥m，在g（x）中令b_n＝b_n-1＝…＝b_m＋1＝0．則f（x）與g（x）的和為

  ②積運算：f（x）與g（x）的乘積為

其中s次項的系數是

所以f（x）g（x）可表成

（4）多項式運算性質

①數域P上的兩個多項式經過加、減、乘等運算后，所得結果仍然是數域P上的多項式．

②對于多項式的加減法

③對于多項式的乘法，多項式乘積的首項系數就等于因子首項系數的成積；如果f（x）≠0，g（x）≠0，故f（x）g（x）≠0，并且．

④加法交換律：f（x）＋g（x）＝g（x）＋f（x）．

⑤加法結合律：（f（x）＋g（x））＋h（x）＝f（x）＋（g（x）＋h（x））．

⑥乘法交換律：f（x）g（x）＝g（x）f（x）．

⑦乘法結合律：（f（x）g（x））h（x）＝f（x）（g（x）h（x））．

⑧乘法對加法的分配律：f（x）（g（x）＋h（x））＝f（x）g（x）＋f（x）h（x）．

⑨乘法消去律：如果f（x）g（x）＝f（x）h（x）且f（x）≠0，那么g（x）＝h（x）．

2一元多形式環

所有系數在數域P中的一元多項式的全體，稱為數域P上的一元多項式環，記為P[x]，P稱為P[x]的系數域．

三、整除的概念

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1帶余除法

對于P[x]中任意兩個多項式f（x）與g（x），其中g（x）≠0，一定有P[x]中的多項式q（x），r（x）存在，使f（x）＝q（x）g（x）＋r（x）成立，其中或者r（x）＝0，并且這樣的q（x），r（x）是唯一決定的．

帶余除法中所得的q（x）通常稱為g（x）除f（x）的商，r（x）稱為g（x）除f（x）的余式．

2整除定義

數域P上的多項式g（x）稱為整除f（x），如果有數域P上的多項式h（x）使等式

f（x）＝g（x）h（x）成立．g（x）整除f（x）記為g（x）丨f（x），g（x）不能整除f（x）記為．

當g（x）丨f（x）時，g（x）稱為f（x）的因式，f（x）稱為g（x）的倍式．

3整除的判別

對于數域P上的任意兩個多項式f（x），g（x），其中g（x）≠0，g（x）丨f（x）的充分必要條件是g（x）除f（x）的余式為零．

注：任一個多項式f（x）一定整除它自身；任一個多項式f（x）都整除零多項式；零次多項式，能整除任一個多項式．

4整除的性質

（1）若f（x）丨g（x），g（x）丨f（x），則f（x）＝cg（x），其中c為非零常數；

（2）整除的傳遞性：若f（x）丨g（x），g（x）丨h（x），則f（x）丨h（x）；

（3）若f（x）丨g_i（x），i＝1，2，…，r，則f（x）丨（u₁（x）g_l（x）＋u₂（x）g₂（x）＋…＋u_r（x）g_r（x）），其中u_i（x）是常數域P上任意的多項式．

（4）整除不變性：兩多項式的整除關系不因系數域的擴大而改變．

四、最大公因式

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1公因式和最大公因式

（1）公因式

若多項式既是f（x）的因式，又是g（x）的因式，則稱為f（x）與g（x）的一個公因式．

（2）最大公因式

設f（x），g（x）是P[x]中兩個多項式，P[x]中多項式d（x）稱為f（x），g（x）的一個最大公因式，若它滿足下面兩個條件

①d（x）是f（x），g（x）的公因式；

②f（x），g（x）的公因式全是d（x）的因式．

若等式f（x）＝q（x）g（x）＋r（x）成立，則f（x），g（x）和g（x），r（x）有相同的公因式．

2最大公因式的存在性與求法

（1）定理

對于P[x]中任意兩個多項式f（x），g（x），在P[x]中存在一個最大公因式d（x），且d（x）可以表成f（x），g（x）的一個組合，即有P[x]中多項式u（x），υ（x）使

d（x）＝u（x）f（x）＋υ（x）g（x）

（2）求法

可用輾轉相除法來求最大公因式．

注：兩個多項式的最大公因式在可以相差一個非零常數倍的意義下是唯一確定的．

3互素

（1）定義

P[x]中兩個多項式f（x），g（x）稱為互素（也稱互質）的，若（f（x），g（x））＝1．

（2）互素的判定與性質

①P[x]中兩個多項式f（x），g（x）互素的充分必要條件是有P[x]中的多項式u（x），v（x）使u（x）f（x）＋υ（x）g（x）＝1．

②若（f（x），g（x））＝1，且f（x）丨g（x）h（x），則f（x）丨h（x）．

③如果f₁（x）丨g（x），f₂（x）丨g（x），且（f₁（x），f₂（x））＝1，則f₁（x）f₂（x）丨g（x）．

五、因式分解定理

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1不可約多項式

（1）定義

數域P上次數≥l的多項式p（x）稱為域P上的不可約多項式，如果它不能表成數域P上的兩個次數比p（x）的次數低的多項式的乘積．

注：一次多項式總是不可約多項式．

（2）重要性質

①如果p（x）是不可約多項式，對于任意的兩個多項式f（x），g（x），若p（x）丨f（x）g（x），則p（x）丨f（x）或者p（x）丨g（x）．

②如果不可約多項式p（x）整除一些多項式f₁（x），f₂（x），…，f_s（x）的乘積f₁（x），f₂（x），…，f_s（x），則p（x）一定整除這些多項式之中的一個．

2因式分解及唯一性定理

（1）唯一性定理

數域P上每一個次數≥1的多項式f（x）都可以唯一地分解成數域P上一些不可約多項式的乘積．唯一性表示，如果有兩個分解式f（x）＝p₁（x）p₂（x）…p_s（x）＝q₁（x）q₂（x）…q_s（x），則必有s＝t，并且適當排列因式的次序后有p_i（x）＝c_iq_i（x），i＝1，2，…，s，其中c（i＝1，2，…，s）是一些非零常數．

（2）標準分解式

f（x）總可分解為

其中c是f（x）的首項系數，p₁（x），p₂（x），…，p_s（x）是不同的首項系數為1的不可約多項式，而r₁，r₂，…，r_s是正整數，這種分解式稱為標準分解式．

六、重因式

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1重因式

不可約多項式p（x）稱為f（x）的k重因式．如果，而．

如果k＝0，則p（x）根本不是f（x）的因式；如果k＝1，則p（x）稱為f（x）的單因式；如果k＞1，則p（x）稱為f（x）的重因式．

2重因式的判別

（1）如果不可約多項式p（x）是f（x）的k重因式（k≥1），則它是微商的k－1重因式．

（2）不可約多項式p（x）是f（x）的重因式的充分必要條件為p（x）是f（x）與的公因式．

（3）多項式f（x）沒有重因式的充分必要條件是f（x）與互素．