第12章　能量法

一、填空題

在組合變形情況下，直桿長為l的橫截面上同時存在軸力N（x）、扭矩M_n（x）和彎矩M（x），試寫出組合變形時計算整個桿件總變形能的積分表達式U=______。[武漢理工大學2010研]

【答案】

二、選擇題

某線彈性結構在F₁單獨作用下的外力功，在F₂單獨作用下的外力功W₂=，其中△₁和△₂為沿相應載荷方向的位移，設在F₁和F₂共同作用下的外力功為W_總，則（　　）。[北京航空航天大學2006研]

三、計算題

1．平面剛架如圖12-1所示，剛架各部分截面相同，彎曲剛度是EI。試用能量法求截面A的垂直位移和轉角。[北京科技大學2011研]

結果為正說明位移的方向和所施加單位力的方向一致，為豎直向下。

結果為正說明轉角的方向和所施加單位力偶的方向一致，為逆時針。

2．圖12-3所示平面剛架AB柱受有水平載荷q的作用，BC梁自由端C受有鉛直載荷P的作用，試計算BC梁中點D的鉛直位移δ_D。[武漢理工大學2010研]

BA段：

為求得D截面的鉛垂位移，在D截面施加一豎直向下的單位力，此時剛架的彎矩方程：

CD段：

DB段：

BA段：

2．如圖12-5所示，已知剛架的彎曲剛度為EI，試求支座C的反力并畫出剛架的彎矩圖。[中國礦業大學2009研]

BD段  　

DA段  　

剛架的應變能：

由變形協調條件知B點的鉛垂位移為零，根據卡氏第二定理可得：

解得：。

根據平衡方程可得該剛架的支反力分別為：

圖12-7

解：（1）作剛架彎矩圖

結構為單封閉框架，為三次超靜定結構。取相當系統為以CD軸為對稱軸的上半部分，如圖12-8（a）所示，對稱面（C、D）上的對稱內力F_N、M為零，故C、D截面僅存在內力。而結構又關于AB軸對稱，載荷反對稱，故必同向等值。對相當系統中任一點取矩或取

作上半部分彎矩圖，然后用反對稱性質（結構對稱，載荷反對稱，彎矩圖反對稱）作下半部分彎矩圖，得剛架彎矩圖如圖12-43（b）所示。

（2）求A、B間相對位移

沿AB軸截開，在A、B面加一對單位力并作彎矩圖如圖12-8（c）所示，圖中可以看出，單位力圖沿CD軸上、下對稱，而彎矩圖M_F沿CD軸上、下反對稱，故兩圖相乘可得截面A、B沿AB方向的相對線位移。

（a）  （b）

（c）　 （d）

圖12-8