第7章　定積分

1設f（x）和g（x）在[a，b]上連續，證明：其中

[哈爾濱工業大學研]

證明：不妨令.當M=0時，f（x）≡0，結論顯然成立，所以不妨設M＞0.

∵g（x）在[a，b]上連續，從而一致連續，所以，當時，

由ε的任意性，可知

2設f（x）及g（x）在[a，b]上連續，f（x）≤g（x），且證明：在[a，b]上，

f（x）≡g（x）．[湖南大學研]

證明：設F（x）=f（x）-g（x），從而在[a，b]上，F（x）≤0，且下證F（x）≡0，

反證法：若不然，，則存在，使在[x₁，x₂]上F（x）＜0.從而其中，得出矛盾．

故在[a，b]上，F（x）=0，即f（x）≡g（x）.

3計算．[上海交通大學研]

解：作變換，則，當時，，當時，，所以

4設f（x）連續，且有，求x≥0時f（x）的值．[北京航空航天大學研]

解：由得，方程兩邊對x求導，得

而x＞0時，f（x）＞0，所以，從而

（c為常數）.

又因為，且f（x）連續，故

5給出有界函數f（x）在閉區間[a，b]上Riemann可積的定義．試舉出一個在[a，b]上有界但不可積的例子，并給出證明．[上海大學研]

證明：Riemann可積的定義：設f（x）是定義在[a，b]上的一個函數，J是一個確定的實數．若對任意給定的正數ε，總存在某一正數δ，使得對[a，b]的任何分割T，以及在其上任意選取的點集，只要，就有

則稱函數f（x）存區間[a，b]上Riemann可積．

在[a，b]上有界但不可積的例子：

在區間[a，b]的任何部分區間上均有，所以，它不趨于0．因此f(x)在[a，b]上不可積．

6求定積分．[上海大學2006研]

解：由于是奇函數，故，從而

7求．[南京理工大學2006研]

解：做變量替換，則

8設f（x）為[a，b]上的有界單調函數，證明：（1）函數至多只有可數個間斷點；（2）討論函數在[a，b]上的可積性．[江蘇大學2006研]

證明：（1）設D是f（x）的第一類間斷點集，令，，則

，故只需證明A、B為可數集即可．以A為例，對任意的，選取有理數，使得．再選取有理數和，，使當時，；而當時，（此由f（x）在X有單側極限可知）．因此，對應法則是從A到的一個映射，而且是單射，這是因為若有，，使，，，則．注意到，不妨設，于是可取，那么由前面的不等式，就得出的矛盾．這說明A與的一個子集對等，由可數，則A可數．

（2）設f（x）為增函數，且f（a）＜f（b）（若f（a）=f（b），則f（x）為常量函數，顯然可積）．對[a，b]的任一分割T，f（x）為增函數，f（x）在T所屬的每個小區間上的振幅為

于是有

由此可見，任給ε＞0，只要，就有

所以f（x）在[a，b]上可積．

9設f（x）在[0，＋∞）上連續有界，證明：

[華東師范大學2006研]

證明：記．顯然有，又，故對任意的

ε＞0，存在，使得

由上確界的定義知，對上述的ε＞0，存在，．因為f（x）在處連續，由連續函數的局部保號性知存在δ＞0，使得，．于是

由于，所以存在，使得

取，則有

即．

10設函數f（x）在[a，b]上非負、連續、嚴格遞增，g（x）在[a，b]上處處大于零、連續且．由積分中值定理，對任意自然數n，存在，使得

求極限．[北京師范大學研]

解：因為g（x）在[a，b]上處處大于零、連續，所以存在c＞0使得當時，有g(x)≥c．從而對任意的ε＞0，有

由于，又f（x）在[a，b]嚴格遞增，故由極限的保號性知，存在N＞0，使得當

n＞N時，有，于是．又由f（x）在[a，b]上嚴格遞增知，當n＞N時，有成立，故．

11設函數f（x）是[－1，1]上的連續函數，且有，，證明：至少存在兩個不同元素，使得．[北京師范大學2006研]

證明：反證法．假設f（x）在（－1，1）內至多只有一個零點．若f（x）在（－1，1）內沒有零點，不妨設f（x）在（－1，1）內恒正．由于f（x）在處連續，故由連續函數的局部保號性知，存在充分小的δ＞0使得當時．有．于是

矛盾．

若f（x）在（－1，1）內只有一個零點c，則f（x）在內恒不為零．若f(x)在內恒正或恒負，可以類似前面的證明推出矛盾．若f（x）在（－1，c）內恒正，在（c，1）內恒負（f（x）在（－1，c）內恒負，在（c，1）內恒正的情況完全類似）．由于，，所以．令

，則，且g（x）在內恒正，往后類似前面的證明即可推出矛盾．

12設f（x）在[0，1]上Riemann可積，且，求．[浙江大學研]

解：因為f（x）在[0，1]上Riemann可積，所以存在M，使得，則

．則．

13利用可積函數條件證明：在[0,1]上可積．[南京師范大學2006研]

證明：對[0，1]做任意分割T，注意到f（x）在[0，1]上有界，其不連續點為且f（x）在[0，1]的任意區間上的振幅w≤1．對任意的ε＞0，由于f（x）在上只有有限個間斷點，故可積．因此，存在η＞0，對的任意分法，只要，就有．顯然，，則對于[α，β]的任意分法，只要，就有．

令，設是在[0，1]上滿足的任意分法．設，由上述證明，有，顯然又有，所以．于是，則f（x）在[0,1]上可積．

14設a＞0，求星形線，的全長．[汕頭大學研]

解：由，，可得

于是全長

15求由拋物線與直線所圍圖形的面積．[浙江師范大學研]

解：因為的交點為（1，－1）與（9，3），所以由這兩條曲線所圍圖形的面積為，其中，所以．

16求由圓柱體與所圍立體的體積．[重慶大學研]

解：垂直于x軸上任意一點（x，0）的任意截面面積，則由對稱性可得

17設擺線，有均勻密度，求它的重心．[中國科技大學研]

解：設重心坐標為，則．