第7章　最優風險資產組合

7.1　復習筆記

1．分散化與資產組合風險

（1）系統性風險與非系統性風險

分散化能夠降低風險，但是當共同的風險來源影響所有的公司時，分散化就不能消除風險了。資產組合的標準差隨著證券種類的增加而下降，但是，它不能降至零。在最充分的分散條件下還存在著市場風險，它來源于與市場有關的因素，這種風險亦被稱為“系統風險”或“不可分散風險”。而那些可被分散化消除的風險被稱為“獨特風險”、“特有公司風險”、“非系統風險”或“可分散風險”。

（2）兩種風險資產的資產組合

①資產組合的風險與收益

資產組合的期望收益是資產組合中各種證券的期望收益的加權平均值，即：

E（r_P）=w_DE（r_D）+w_EE（r_E）

兩種資產的資產組合的方差是：

②表格法計算組合方差

表7-1顯示可以通過電子表格計算資產組合的方差。其中a表示兩個共同基金收益的相鄰協方差矩陣，相鄰矩陣是沿著首排首列相鄰每一基金在資產組合中權重的協方差矩陣?？梢酝ㄟ^如下方法得到資產組合的方差：斜方差矩陣中的每個因子與行、列中的權重相乘，把四個結果相加，就可以得出給出的資產組合方差。

表7-1  通過協方差矩陣計算資產組合方差

③相關系數與資產組合方差

具有完全正相關（相關系數為1）的資產組合的標準差恰好是資產組合中各證券標準差的加權平均值。

相關系數小于1時，資產組合的標準差小于資產組合中各證券標準差的加權平均值。

通過調整資產比例，具有完全負相關（相關系數為-1）的資產組合的標準差可以趨向0。

④資產組合比例與資產組合方差

當兩種資產負相關時，調整資產組合比例可以得到小于兩種資產方差的最小組合方差。若某個資產比例為負值，表示借入（或賣空）該資產。

⑤機會集

機會集是指多種資產進行組合所能構成的所有風險收益的集合。

2．資產配置

（1）最優風險資產組合

最優風險資產組合是使資本配置線的斜率（報酬-波動比率）最大的風險資產組合，這樣表示邊際風險報酬最大。最優風險資產組合為資產配置線與機會集曲線的切點。

（2）最優完整資產組合

最優完整資產組合為投資者無差異曲線與資本配置線的切點處組合，最優完整組合包含風險資產組合（債券和股票）以及無風險資產（國庫券）。

（3）完成一個完整的資產組合的步驟

①確定所有各類證券的收益特征（例如：期望收益、方差、協方差等）。

②建造風險資產組合：

a．計算最優風險資產組合P；

b．運用步驟a中確定的權重計算資產組合P的資產。

③把基金配置在風險資產組合和無風險資產上：

a．計算資產組合P（風險資產組合）和國庫券（無風險資產）的權重；

b．計算出完整的資產組合中投資于每一種資產和國庫券上的投資份額。

3．馬科維茨的資產組合選擇模型

組合構造問題可以歸納為多個風險資產和一個無風險資產的情況。首先，確認可行集的風險收益權衡；然后，通過計算使資本配置線斜率最大的各資產權重確認最優風險組合；最后，確認最合適的投資組合，由無風險資產和最優風險組合構成。

（1）構造組合的步驟

①決定投資者面臨的風險-收益機會

投資者面臨的風險-收益機會，由風險資產的最小方差邊界給出。這條邊界線是在給定組合期望收益下方差最低的組合點描成的曲線。所有單個資產都在該邊界的右方，至少當存在賣空機制時是這樣的。這說明由單個資產構成的風險組合不是最有效的。分散化投資可以提升期望收益降低風險。

落在全局最小方差以上的邊界被稱為風險資產的有效邊界。因為對于所有低于最小方差邊界的資產組合，都可以在它正上方找到一個相同的標準差，但收益更大的資產組合。因此在全局最小方差邊界以下部分的資產組合是無效的。

②確認最優風險資產組合

圖7-1  風險資產有效邊界和最優資本配置線

這條資本配置線優于其他資本配置線，與有效邊界相切，切點是最優風險組合P。

③在最優風險資產P和短期國庫券之間選擇合適的比例構成最終組合

最優完整資產組合為投資者無差異曲線與資本配置線的切點處組合，最優完整組合包含風險資產組合（債券和股票）以及無風險資產（國庫券）。

（2）可能的限制

在進行最優的風險組合決策時，可能會遇到各種限制，例如賣空限制和最低收益率限制，或者是從政治上或道德上排除在某一特定產業或特定國家的投資。這些限制能夠影響有效邊界和最優風險組合。

4．分散化的威力

組合的方差為：

當證券之間的平均協方差為零時，組合方差在n變大時趨近于零，即分散化降低組合風險的威力是無窮的。

然而，經濟層面的風險因素使股票收益有正相關性。在這種情況下，當組合高度分散化后，組合方差為正。因此分散化組合不可消除的風險取決于不同證券間收益率的協方差，這反過來就是經濟中系統性因素的顯現。

相關系數為正時，組合風險隨著證券數量上升而下降的速度相對慢很多，因為證券間的相關性限制了分散化的空間。

5．資本配置與分離定理

（1）分離定理

分離定理是指資產組合管理人將給所有客戶提供相同的風險資產組合P，而不顧他們的風險厭惡程度。不同的風險厭惡程度可通過在資本配置線上選擇不同的點來實現，不同客戶的選擇體現在風險厭惡者在無風險資產中多投資，少投資于最優風險資產組合。但是，所有客戶都使用資產組合P作為最優風險投資工具。

于是資產組合選擇問題可分為兩個相互獨立的工作。第一項工作是決定最優風險資產組合，這是完全技術性的。第二項工作是根據個人的偏好，決定資本在國庫券和風險資產組合中的分配，這時客戶是決策者。

（2）資產配置與證券選擇

證券選擇的理論與資產配置的理論都是要構造一個有效邊界，沿這一邊界選擇一個特有的資產組合，但是兩者存在一定的差別。

①對儲蓄有更大的需要與能力促進了更復雜的投資管理的激烈增長。

②金融市場的擴大和金融工具的增加已經使復雜的投資超出的業余投資者的能力。

③大規模投資管理的收益豐厚。

這些投資更多的是研究資產配置，最終的結果是一個有競爭力的投資公司將與行業一起成長，組織的效率是一個重要因素。

（3）最優組合和非正態收益

此前使用的組合最優化技術是建立在收益正態分布的假設下的。然而，收益率可能的非正態性要求我們關注諸如在險價值、預期損失這類強調最壞情況損失的風險度量方法。

目前，估計在險價值和預期損失一個實用的方法是自舉法（拔靴法）。此時我們可以比較最優風險組合和其他組合的在險價值與預期損失，如果某個組合的值比最優組合低的話，我們可能會傾向于這一組合。

6．具有無風險資產限制的最優資產組合

（1）不存在無風險資產

如果不存在無風險資產，就沒有一個相切的資產組合適合所有的投資者。在這種情況下，投資者將在風險資產的有效邊界上選擇資產組合。每一個投資者都要通過自己在有效邊界上的無差異曲線集合來找到最優風險資產組合。

（2）當無風險資產存在，但投資者不能借入

此時資本配置線存在，但只限于在圖7-2中的線段FP上。任何由無差異曲線代表其偏好的投資者，這些無差異曲線與資本配置線上的FP線相切的資產組合，譬如資產組合A，將不受借入限制的影響。這些投資者以r_f的利率作為凈貸款人。冒險型投資者在無借入限制條件下，將選擇資產組合B，但現在受到借入限制的影響，這些投資者只能選擇在有效邊界的資產組合，譬如資產組合Q，投資者將不投資于無風險資產。

圖7-2  具有無風險借出但無借入情況下的資產組合選擇

（3）借貸無風險資產的利率不同

現實中，個人如果要借款投資于風險資產組合，必須付出比國庫券利率高的利率。當投資者面臨借款利率高于貸款利率時，他們的資本配置線分為三部分。如圖7-3所示，CAL₁，相對于線段FP₁，代表風險厭惡型投資者的有效資產組合。風險厭惡型投資者把部分基金以r_f的利率水平投資于國庫券，其選擇的最優風險資產組合為P₁，完整的資產組合為A點處的資產組合。

圖7-3  借貸利率不同時的機會集

圖7-4  借貸利率不同時風險厭惡者的最優資產組合

CAL₂在資產組合P₂的右邊代表冒險型投資者的有效資產組合。這條線從借款利率出發，但是在

P₂段是不可行的，因為借出利率為風險利率r_f而非。如圖7-5所示，冒險型投資者的無差異曲線在CAL₂上，投資者選擇資產組合P₂作為最優風險資產組合并借款進行投資，完整的資產組合為B點處的資產組合。

圖7-5  借貸利率不同時冒險型投資者的最優資產組合

風險中性投資者，他們從有效邊界上選取P₁P₂段進行資產組合的選擇，如圖7-6所示。投資者的無差異曲線與有效邊界的資產組合相切，得到資產組合C。

圖7-6  借貸利率不同時風險中性投資者的最優資產組合

7．風險集合、風險共享與長期投資風險

（1）風險集合和保險原理

風險集合是指將互不相關的風險項目聚合在一起來降低風險。應用到保險行業，風險集合主要為銷售風險不相關的保單，即眾所周知的保險原理。傳統理念認定風險集合降低風險，并成為保險行業風險管理的背后推動力。

（2）風險集合

假設一個投資者持有組合P，其中投資風險組合A的比例為y，剩余1-y投資于無風險資產。A的風險溢價是R，標準差是σ。

P的風險溢價R_P=yR，標準差σ_P=yσ，夏普比率S_P=R/σ。

現有另一個風險資產B和A有相同的風險溢價和標準差，且與A的相關系數為0。于是重新構造資產組合Z：A資產比例y，B資產比例y，無風險資產比例1-2y。注意到這一策略是純粹的風險集合。

R_Z=yR+yR+（1-2y）0=2yR  （R_P的2倍）

=y²σ²+y²σ²+0=2y²σ² （組合P方差的2倍）

σ_Z==yσ  （=1.41乘以組合P的標準差）

S_Z=R_Z/σ_Z=2yR/yσ=R/σ （=1.41乘以組合P的夏普比率）

夏普比率提升為倍，但風險資產的規模擴大后標準差也變為倍。這一分析說明單純的風險集合帶來了機會，但同時也有局限，因為風險集合增加了風險投資的規模。風險集合并不降低總體風險。

（3）風險共享

風險共享是指賣掉一部分風險資產來限制風險的同時保持夏普比率的策略。假設每次一個新的風險資產加到原組合中，投資者都先賣出他風險頭寸的一部分，保證風險投資比例不變，即A和B的比例均為y/2，無風險資產比例仍為1-y，記這一投資組合為V。

V和Z的夏普比率相同，但是V的波動性低。風險共享和風險集合構成了保險行業的關鍵核心。投資于多種風險資產，但是風險資產比例保持不變，這才是真正的分散化。

（4）長期投資

考慮投資一個風險組合，期限為兩年，看作是“長期投資”。在同一期限即2年內考慮風險組合，也就是說，短期投資一年后繼續轉為無風險投資1年。假設第一年的風險收益和第二年無關，“長期”策略和組合Z是一回事。長期投資累積了投資風險。將一項分析投資期限拓展提升了夏普比率，同時也提升了風險。因此“時間分散化”并不是真正的分散化。

投資者可以通過長期投資來提升夏普比率，同時通過降低風險投資的比例來控制風險。因此，投資較小比例于風險資產組合并持有較長時間要優于將較大比例資金投資于短期風險資產，而后剩余期限將資金投資于無風險資產。