第二部分　資產(chǎn)組合理論與實(shí)踐

第5章　風(fēng)險(xiǎn)與收益入門(mén)及歷史回顧

5.1　復(fù)習(xí)筆記

1．利率水平的決定因素

（1）預(yù)測(cè)利率的基本因素

利率水平及其未來(lái)價(jià)值的預(yù)測(cè)是投資決策中最為重要的部分。

預(yù)測(cè)利率首先基于以下一些基本因素：

①存款人特別是居民的資金供給。

②企業(yè)由于購(gòu)置廠(chǎng)房設(shè)備及存貨而進(jìn)行項(xiàng)目融資所引發(fā)的資金需求。

③政府通過(guò)聯(lián)邦儲(chǔ)備銀行運(yùn)作產(chǎn)生的資金凈供給或凈需求。

（2）實(shí)際利率與名義利率

名義利率是貨幣增長(zhǎng)率，實(shí)際利率是購(gòu)買(mǎi)力增長(zhǎng)率，設(shè)名義利率為R，實(shí)際利率為r，通脹率為i，則有下式近似成立r≈R-i，換句話(huà)說(shuō)，實(shí)際利率等于名義利率減去通脹率。

嚴(yán)格上講，名義利率和實(shí)際利率之間有下式成立：

購(gòu)買(mǎi)力增長(zhǎng)值（1＋r）等于貨幣增長(zhǎng)值（1＋R）除以新的價(jià)格水平（1+i），由上式推導(dǎo)得到：

顯然可以看出由r≈R-i得出的近似值高估了實(shí)際利率1＋i倍。

（3）實(shí)際利率與名義利率均衡

①實(shí)際利率均衡

實(shí)際利率均衡由四個(gè)基本因素決定：供給、需求、政府行為和通貨膨脹率。圖5-1描繪了一條向下傾斜的需求圖5-1實(shí)際利率均衡決定因素曲線(xiàn)和一條向上傾斜的供給曲線(xiàn)，橫軸代表資金的數(shù)量，縱軸代表實(shí)際利率。

圖5-1  實(shí)際利率均衡決定因素

供給曲線(xiàn)向上傾斜是因?yàn)閷?shí)際利率越高，居民儲(chǔ)蓄的需求也就越大。這個(gè)假設(shè)基于這樣的原理：實(shí)際利率高，居民會(huì)推遲現(xiàn)時(shí)消費(fèi)轉(zhuǎn)為未來(lái)消費(fèi)并進(jìn)行現(xiàn)時(shí)投資。需求曲線(xiàn)向下傾斜是因?yàn)閷?shí)際利率偏低，廠(chǎng)商會(huì)加大其資本投資的力度。供給曲線(xiàn)與需求曲線(xiàn)的交點(diǎn)形成圖5-1中的均衡點(diǎn)E。政府和中央銀行（聯(lián)儲(chǔ)）可以通過(guò)財(cái)政政策或者貨幣政策向左或向右移動(dòng)供給曲線(xiàn)和需求曲線(xiàn)。例如，假定政府預(yù)算赤字增加，政府需要增加借款，推動(dòng)需求曲線(xiàn)向右平移，均衡點(diǎn)從E點(diǎn)移至E′點(diǎn)。

②名義利率均衡

資產(chǎn)的實(shí)際收益率等于名義利率減去通脹率，因此，當(dāng)通脹率增加時(shí)，投資者會(huì)對(duì)其投資提出更高的名義利率要求，從而保證投資項(xiàng)目所提供的實(shí)際利率不變。

歐文·費(fèi)雪認(rèn)為名義利率應(yīng)當(dāng)伴隨著預(yù)期通脹率的增加而增加。假設(shè)目前的預(yù)期通脹率將持續(xù)到下一時(shí)期，記為E（i），那么費(fèi)雪等式為：R=r＋E（i），這表明如果實(shí)際利率是穩(wěn)定的，名義利率的上漲意味著更高的通脹率。

實(shí)證研究很難證實(shí)費(fèi)雪關(guān)于名義利率的上漲意味著有一更高的通脹率的假設(shè)，這是因?yàn)橥鶎?shí)際利率也在發(fā)生著無(wú)法預(yù)測(cè)的變化。名義利率可以被視為是名義上無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的必要收益率加上通脹的預(yù)測(cè)值。

（4）稅收與實(shí)際利率

假設(shè)稅率為t，名義利率為R，則稅后名義利率為R（1-t）。稅后實(shí)際利率近似等于稅后名義利率減去通貨膨脹率，即：

R（1-t）-i=（r+i）（1-t）-i=r（1-t）-it

因此，稅后實(shí)際利率隨著通貨膨脹率的上升而下降，投資者承受了相當(dāng)于稅率乘以通貨膨脹率的損失。

2．比較不同持有期的收益率

（1）年化收益率

在比較不同持有期的投資收益時(shí)，可以將每一個(gè)總收益換算成某一常用期限的收益率。我們通常把所有的投資收益表達(dá)為有效年利率（EAR），即一年期投資價(jià)值增長(zhǎng)百分比。

對(duì)于一年期的投資來(lái)說(shuō)，有效年利率等于總收益率r_f（1），總收入（1+EAR）是每一美元投資的最終價(jià)值。對(duì)于期限少于一年的投資，我們把每一階段的收益按復(fù)利計(jì)算到一年。對(duì)于投資期長(zhǎng)于一年的投資來(lái)說(shuō)，通常把有效年利率作為年收益率。

總的來(lái)說(shuō)，我們可以把有效年利率與總收益率r_f（T）聯(lián)系在一起，運(yùn)用下面的公式計(jì)算持有期為T(mén)時(shí)的回報(bào)。即：

1+EAR=[1+r_f（T）]^1/T

（2）年化百分比利率

短期投資（通常情況下，T＜1）的收益率是通過(guò)簡(jiǎn)單利率而不是復(fù)利來(lái)計(jì)算的。這被稱(chēng)為年化百分比利率（APR）。通常說(shuō)來(lái)．如果把一年分成n個(gè)相等的期間，并且每一期間的利率是r_f（T），那么，APR=n×r_f（T）。反之，也通過(guò)年化百分比利率得到每個(gè)期間的實(shí)際利率r_f（T）=T×APR。

對(duì)一個(gè)期限為T(mén)的短期投資來(lái)說(shuō)，每年有n=1/T個(gè)復(fù)利計(jì)算期。因此，復(fù)利計(jì)算期、有效年利率和年化百分比利率的關(guān)系可以用下面的公式來(lái)表示：

1+EAR=[1+r_f（T）]ⁿ=[1+r_f（T）]^1/T=[1+T×APR]^1/T

（3）連續(xù)復(fù)利

當(dāng)T趨近于零，我們得到連續(xù)復(fù)利，并且可以用下面的指數(shù)函數(shù)得到有效年利率與年化百分比利率（在連續(xù)復(fù)利時(shí)，用k表示）的關(guān)系：

化簡(jiǎn)得：

ln（1+EAR）=r_cc

3．國(guó)庫(kù)券與通貨膨脹

歷史經(jīng)驗(yàn)告訴我們，即使再溫和的通貨膨脹都會(huì)使低風(fēng)險(xiǎn)投資的實(shí)際回報(bào)偏離其名義值。

4．風(fēng)險(xiǎn)和風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)

（1）持有期收益率

持有期收益率的定義假設(shè)股利在持有期期末支付。如果股利支付提前，那么持有期收益率便忽略了股利支付點(diǎn)到期末這段時(shí)間的再投資收益。來(lái)自股利的收益百分比被稱(chēng)為股息收益率，所以股息收益率加上資本利得收益率等于持有期收益率。

（2）期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差

①期望收益率

期望收益率是在不同情境下收益率以發(fā)生概率為權(quán)重的加權(quán)平均值。假設(shè)p（s）是各種情境的概率，r（s）是各種情境的持有期收益率，情境由s來(lái)標(biāo)記，期望收益率可以寫(xiě)作：

②標(biāo)準(zhǔn)差

收益的標(biāo)準(zhǔn)差σ可以用來(lái)測(cè)度風(fēng)險(xiǎn)，通常它被定義為方差的平方根，而方差是期望收益偏差的期望值。結(jié)果的波動(dòng)程度越強(qiáng)，這些方差的均值也就越大。因此，方差和標(biāo)準(zhǔn)差提供了測(cè)量結(jié)果不確定性的一種方法，也就是：

（3）超額收益和風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)

回報(bào)分為兩種：一種是投資于指數(shù)基金的期望總收益，一種是投資于譬如國(guó)庫(kù)券、貨幣市場(chǎng)工具或銀行存款上的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。兩者之差稱(chēng)為普通股風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。任何特定時(shí)期風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)同無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益之差稱(chēng)為超額收益。所以，風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)也是期望的超額收益。

投資者投資股票的意愿取決于其風(fēng)險(xiǎn)厭惡水平。金融分析師通常假設(shè)投資者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)為零時(shí)，人們不愿意對(duì)股票市場(chǎng)做任何投資。理論上說(shuō)，必須有正的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)來(lái)促使風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者繼續(xù)持有現(xiàn)有的股票而不是將他們的錢(qián)轉(zhuǎn)移到其他無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)中去。

5．歷史收益率的時(shí)間序列分析

（1）時(shí)間序列與情境分析

設(shè)定一組相關(guān)的情境和相應(yīng)的投資回報(bào)，并對(duì)每個(gè)情境設(shè)定其發(fā)生的概率，最后計(jì)算該投資的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和標(biāo)準(zhǔn)差。

（2）期望收益和算術(shù)平均值

使用歷史數(shù)據(jù)時(shí)，我們認(rèn)為每一個(gè)觀測(cè)值等概率發(fā)生。所以如果有n個(gè)觀測(cè)值，則每個(gè)觀測(cè)值發(fā)生的概率為1/n。期望收益可表示為：

（3）幾何（時(shí)間加權(quán)）平均收益

樣本期間內(nèi)的收益表現(xiàn)可以用某一年化持有期收益率來(lái)衡量，由時(shí)間序列中復(fù)利終值反推得到。定義該收益率為g，則有：

變形得：

g=終值^1/n-1

1+g是時(shí)間序列的總收益1+r的幾何平均數(shù)，g是年化持有期收益率。投資者稱(chēng)g為時(shí)間加權(quán)（區(qū)別于貨幣加權(quán)）的平均收益，它強(qiáng)調(diào)了在平均過(guò)程中每個(gè)歷史收益為等權(quán)重的。

兩種平均方法的差別十分重要，因?yàn)橥顿Y經(jīng)理作為投資者常常要經(jīng)歷基金數(shù)目顯著變化的情況，可能需要購(gòu)買(mǎi)或者贖回其投資份額，而規(guī)模大時(shí)比規(guī)模小時(shí)獲得更多的投資回報(bào)（或損失），不能單純看收益率。

收益率波動(dòng)越大，兩種平均方法的差異越大。如果收益服從正態(tài)分布，預(yù)期差異為分布方差的1/2，即

E[幾何平均值]=E[算術(shù)平均值]-1/2σ²

當(dāng)收益率服從正態(tài)分布時(shí)，上式的擬合效果較好。

（4）方差和標(biāo)準(zhǔn)差

當(dāng)人們考慮風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，關(guān)注的是偏離期望收益的可能性。實(shí)際中，無(wú)法直接預(yù)期，所以通過(guò)偏離期望收益估計(jì)值的平方和來(lái)計(jì)算方差。按每個(gè)觀測(cè)值等概率出現(xiàn)，樣本平均值作為E（r），方差=離差平方的期望值，則

使用歷史數(shù)據(jù)，估計(jì)方差為：

（5）收益波動(dòng)性（夏普）比率

收益（風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)）和風(fēng)險(xiǎn)（通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)衡量）之間的權(quán)衡意味著人們需要利用投資的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)與標(biāo)準(zhǔn)差的比率來(lái)度量投資組合的吸引力。

夏普比率=風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)/超額收益率的標(biāo)準(zhǔn)差

這一比率廣泛用于評(píng)估投資經(jīng)理的業(yè)績(jī)。

6．正態(tài)分布

如果投資者對(duì)收益的期望是理性預(yù)期，那么實(shí)際收益率應(yīng)該是服從以此期望為均值的正態(tài)分布。一個(gè)正態(tài)分布的形態(tài)完全由其均值和標(biāo)準(zhǔn)差這兩個(gè)參數(shù)來(lái)決定。

如果收益率的分布可以用正態(tài)分布來(lái)近似擬合的話(huà)，投資管理將變得更加有理有據(jù)。

（1）正態(tài)分布是左右對(duì)稱(chēng)的，也就是說(shuō)，均值左右程度一樣的偏離其發(fā)生的概率也一樣。沒(méi)有對(duì)稱(chēng)性的話(huà)，用收益的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)衡量風(fēng)險(xiǎn)顯然是不合適的。

（2）正態(tài)分布具有穩(wěn)定性，意味著對(duì)于具有正態(tài)性的不同資產(chǎn)，其構(gòu)成的組合的收益同樣服從正態(tài)分布。

（3）當(dāng)資產(chǎn)或資產(chǎn)組合收益分布只有兩個(gè)變量時(shí)，對(duì)其未來(lái)的情境分析因?yàn)樾枰紤]的變量很少而會(huì)變得簡(jiǎn)單許多。

7．偏離正態(tài)分布和風(fēng)險(xiǎn)度量

超額收益的正態(tài)分布大大簡(jiǎn)化了組合選擇的過(guò)程。然而，很多投資者通過(guò)觀察相信資產(chǎn)收益對(duì)正態(tài)分布的偏離已經(jīng)很顯著，不可忽視。正態(tài)偏離可以通過(guò)計(jì)算收益分布的高階矩來(lái)看到。超額收益R的n階中心矩為

，一階矩為0，二階矩為方差的估計(jì)值。

一個(gè)關(guān)于不對(duì)稱(chēng)性的度量，稱(chēng)為偏度，計(jì)算公式如下：

偏差的立方有正有負(fù)。因此，如果分布是右偏，偏度為正。如果分布是左偏則偏度為負(fù)。當(dāng)偏度為正時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差高估風(fēng)險(xiǎn)；當(dāng)偏度為負(fù)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差低估風(fēng)險(xiǎn)。

另一個(gè)正態(tài)偏離的度量考慮分布兩端極端值出現(xiàn)的可能性，這種度量稱(chēng)為峰度，計(jì)算公式如下：

之所以減去3是因?yàn)檎龖B(tài)分布的峰度為3，所以減去3后峰度為正則說(shuō)明存在肥尾現(xiàn)象。

（1）在險(xiǎn)價(jià)值

在險(xiǎn)價(jià)值（VaR）是度量一定概率下發(fā)生極端負(fù)收益所造成的損失。

當(dāng)投資組合的收益率為正態(tài)分布時(shí)，VaR可以從分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差中直接推導(dǎo)出來(lái)。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1）的5%分位數(shù)為-1.65，因此相應(yīng)的VaR為：

VaR（0.05,正態(tài)分布）=均值+（-1.65）×標(biāo)準(zhǔn)差

（2）預(yù)期尾部損失

當(dāng)我們通過(guò)觀測(cè)最壞的5%的情況來(lái)評(píng)估尾部風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，VaR是所有這些情況中收益率最高（損失最小）的。一個(gè)對(duì)損失敞口頭寸更加現(xiàn)實(shí)的觀點(diǎn)是：關(guān)注最壞情況條件下的預(yù)期損失。這樣的一個(gè)值有兩個(gè)名稱(chēng)：預(yù)期損失（ES）或條件尾部期望（CTE），后者強(qiáng)調(diào)了其與左尾分布之間的密切關(guān)系。

（3）下偏標(biāo)準(zhǔn)差與索提諾比率

正態(tài)分布情況下用標(biāo)準(zhǔn)差作為風(fēng)險(xiǎn)的度量存在以下幾個(gè)問(wèn)題：

①分布的非對(duì)稱(chēng)性要求我們獨(dú)立地考察收益率為負(fù)的結(jié)果；

②因?yàn)闊o(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資工具是風(fēng)險(xiǎn)投資組合的替代投資，因而我們應(yīng)該考察收益對(duì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資收益的偏離而不是對(duì)平均投資收益的偏離；

③正態(tài)分布沒(méi)有考慮實(shí)際分布中的尖峰厚尾特征。

下偏標(biāo)準(zhǔn)差（LPSD）可以解決前兩個(gè)問(wèn)題。其計(jì)算方法和普通標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算相似，但它只使用相對(duì)于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率負(fù)偏（而非相對(duì)于樣本均值負(fù)偏）的那些收益率。因此下偏標(biāo)準(zhǔn)差實(shí)際代表的是給定損失發(fā)生情況下的均方偏離。

從業(yè)人員用下偏標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)替代標(biāo)準(zhǔn)差，同樣也用超額收益率對(duì)下偏標(biāo)準(zhǔn)差的比率來(lái)替代夏普比率（平均超額收益率對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的比率）。夏普比率的這一變形被稱(chēng)為索提諾比率。

8．風(fēng)險(xiǎn)組合的歷史收益：股票與長(zhǎng)期政府債券

（1）全球大公司股票組合

該投資組合是所有國(guó)家指數(shù)的組合。每個(gè)國(guó)家指數(shù)由該國(guó)的所有大公司股票的市價(jià)以其總資本（其所有股票的市值）的大小為權(quán)重加權(quán)計(jì)算得到。每個(gè)國(guó)家指數(shù)按照各個(gè)國(guó)家市場(chǎng)資本總額加權(quán)得到全球大公司股票組合。

（2）美國(guó)大公司股票組合

這個(gè)投資組合由美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)中的公司股票按照各個(gè)股票的總市值加權(quán)得到。

（3）美國(guó)小公司股票組合

這個(gè)指數(shù)度量以總資本額排序后1/5的公司的股票收益。

（4）美國(guó)長(zhǎng)期政府債券

長(zhǎng)期國(guó)庫(kù)券收益率由美國(guó)所有期限超過(guò)10年的政府債券構(gòu)成的巴克萊資本（前雷曼兄弟）價(jià)值加權(quán)指數(shù)來(lái)衡量。

（5）多元投資組合

多元投資組合由全球大公司股票、美國(guó)小公司股票、美國(guó)長(zhǎng)期債券三種分別按50%、20%、30%的比例組合而成。不管這個(gè)多元組合是不是最優(yōu)投資組合，它都可以檢驗(yàn)資產(chǎn)品種層面上的分散化投資是否更有利于風(fēng)險(xiǎn)收益決策。

9．長(zhǎng)期投資

（1）長(zhǎng)期投資的風(fēng)險(xiǎn)和對(duì)數(shù)正態(tài)分布

當(dāng)一項(xiàng)資產(chǎn)每一期的復(fù)利都服從同一正態(tài)分布時(shí)，其有效收益率，即實(shí)際的持有期收益率，將服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。當(dāng)期限較長(zhǎng)時(shí)，就必須考慮到連續(xù)復(fù)利服從正態(tài)分布，而持有期收益率服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

假定連續(xù)的年度復(fù)利r是服從幾何均值為g，標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布。如果它是服從正態(tài)分布的，那么算術(shù)平均值所示的預(yù)期年收益，將等于幾何平均值與0.5倍的方差之和。

因此，連續(xù)復(fù)利的期望收益為：

m=g+1/2σ²

因此可以得到預(yù)期的實(shí)際年收益公式

一項(xiàng)預(yù)期年收益率為E（r）的投資在T年后的終值將等于［1+E（r）］T。于是可以得到連續(xù)復(fù)利年均值為m，標(biāo)準(zhǔn)差為σ情況下的終值：

注意到連續(xù)復(fù)利的均值（mT）和方差σ²T都與投資期限同比例增長(zhǎng)。標(biāo)準(zhǔn)差與同比例增長(zhǎng)。隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，投資風(fēng)險(xiǎn)將下降。這是因?yàn)殡S著投資期限的增長(zhǎng)，期望收益的增速大于標(biāo)準(zhǔn)差的增速。

（2）夏普比率回顧

夏普比率（收益風(fēng)險(xiǎn)比）是平均超額收益和標(biāo)準(zhǔn)差的比值。夏普比率是有時(shí)間維度的，一個(gè)投資組合的夏普比率隨持有期系統(tǒng)性地發(fā)生變化。

當(dāng)持有期增加時(shí)，平均連續(xù)復(fù)利收益將等比例地上升，而標(biāo)準(zhǔn)差卻隨時(shí)間的平方根等比例增長(zhǎng)。因此夏普比率也會(huì)隨著持有期以時(shí)間的平方根的速度增長(zhǎng)。比較月收益和年收益的夏普比率時(shí)，必須先將月度的比率乘以

。

（3）長(zhǎng)期未來(lái)收益的模擬

一個(gè)從過(guò)去了解未來(lái)長(zhǎng)期收益分布的方法是從有效樣本中模擬出未來(lái)的收益。實(shí)現(xiàn)這一任務(wù)的一個(gè)流行的方法叫做拔靴法。

拔靴法是一個(gè)可以避免各類(lèi)收益分布假設(shè)的實(shí)驗(yàn)過(guò)程，直接簡(jiǎn)單假設(shè)歷史樣本中的收益結(jié)果發(fā)生的可能性相等。做這一模擬實(shí)驗(yàn)中的主要決策就是應(yīng)該盡可能多地用全部可靠歷史樣本來(lái)包括低概率極值點(diǎn)。

（4）長(zhǎng)期預(yù)測(cè)

Jacquier、Kane和Marcus證明長(zhǎng)期總收益的無(wú)偏預(yù)測(cè)要求計(jì)算所用的復(fù)利采用算術(shù)和幾何平均收益率的加權(quán)值。幾何平均的權(quán)重系數(shù)等于預(yù)測(cè)期的長(zhǎng)度和樣本長(zhǎng)度的比值。例如，用80年的歷史樣本預(yù)測(cè)25年期的投資累積收益，其無(wú)偏估計(jì)應(yīng)采用的復(fù)利利率是：