9.3　名校考研真題詳解

一、判斷題

1．若對(duì)任意的自然數(shù)p都有，則收斂．（　　）[東南大學(xué)研]

【答案】錯(cuò)

【解析】根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的Cauchy收斂準(zhǔn)則，舉出反例：例如，對(duì)任意的自然數(shù)p，有

，但是發(fā)散．正確的說法應(yīng)該是，關(guān)于p一致有

．

2．若，且對(duì)任意的n，有，則收斂．（　　）[重慶大學(xué)研]

【答案】錯(cuò)

【解析】舉反例：例如，雖然對(duì)任意的n，有，但是發(fā)散．n必須足夠大，才可以成立．

二、解答題

1．設(shè)收斂，證明：[華東師范大學(xué)研]

證明：記級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和S_n．則

對(duì)上式兩邊取極限，從而

即

2．證明下列級(jí)數(shù)收斂．

[東北師范大學(xué)研]

證明：（1）方法一

所以

所以收斂．

方法二

由于

所以

而收斂，從而收斂．

（2）

由比值判別法知收斂，再由比較判別法知收斂，即收斂．

3．證明：[浙江大學(xué)研]

證明：因?yàn)?img alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/FB9AC0/15436375004473606/epubprivate/OEBPS/Images/image841.jpg?sign=1753567598-QVvp91O2jjXMSKZF4v5BisRcongiVMxC-0-3f884894c3ee40791ca0eea1669abdca">且單調(diào)減，

所以

反復(fù)利用分部積分法，

又

所以

將②代入①得

4．討論級(jí)數(shù)的斂散性．[復(fù)旦大學(xué)研]

解：（1）若p、q＞1，則

絕對(duì)收斂．

（因?yàn)椋鏿＞q，則為優(yōu)級(jí)數(shù)）；

（2）若0＜p=q≤1，應(yīng)用萊布尼茲定理知級(jí)數(shù)收斂，且是條件收斂；

（3）當(dāng)p、q＞0，原級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)同時(shí)斂散，若p＞1，0＜q≤1或q＞1，0＜p≤1時(shí)級(jí)數(shù)一斂一散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散．

若0＜p＜q＜1，則，且與同階（當(dāng)）；故級(jí)數(shù)

發(fā)散，從而原級(jí)數(shù)發(fā)散．

同理可證，若0＜q＜p＜1，原級(jí)數(shù)發(fā)散．

5．若一般項(xiàng)級(jí)數(shù)與都收斂且下列不等式成立

證明：級(jí)數(shù)也收斂．又若與都發(fā)散，試問一定發(fā)散嗎？[汕頭大學(xué)研、北京工業(yè)大學(xué)研]

證明：由于級(jí)數(shù)與都收斂，所以由Cauchy收斂準(zhǔn)則知對(duì)任意的ε＞0，存在N∈N，使得當(dāng)n＞N及對(duì)任意的正整數(shù)p，都有

又，所以，從而由Cauchy收斂準(zhǔn)則知級(jí)數(shù)也收斂．

若與都發(fā)散，不一定發(fā)散．反例：．

6．設(shè)，證明：收斂．[浙江大學(xué)2006研]

證明：因?yàn)?/p>

令，則

易知，所以

因?yàn)?img alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/FB9AC0/15436375004473606/epubprivate/OEBPS/Images/image882.jpg?sign=1753567598-Ld87p0ioBSz5VMU6486OxDDNuqolZNSi-0-e9022a7b08509145c871cc9baab2f770">，而收斂，所以收斂．

7．設(shè)，舉例說明存在（從而級(jí)數(shù)收斂），但，從而級(jí)數(shù)收斂的D’Alember判別法失效．[天津工業(yè)大學(xué)2006研]

解：級(jí)數(shù)．由于

故，所以用D’Alember判別法無法判別其斂散性．又

，所以由根式判別法知收斂．

8．判斷級(jí)數(shù)的斂散性．[青島科技大學(xué)研]

解：令，則

故由Raabe判別法知收斂．

9．設(shè)f（x）在[1，＋∞）上單調(diào)，證明：若廣義積分收斂，則級(jí)數(shù)也收斂．[北京化工大學(xué)研]

證明：不妨設(shè)f（x）在[1，＋∞）上單調(diào)遞減．先證明f（x）在[1，＋∞）上非負(fù)，若存在，使得．

由于當(dāng)時(shí)，，又發(fā)散，故由比較判別法知發(fā)散，矛盾，所以f（x）在[1，＋∞）上非負(fù)．

因?yàn)閒（x）在[1，＋∞）上非負(fù)且單調(diào)遞減，對(duì)任意的正數(shù)A，f（x）在[1，A]上可積，從而有

依次相加可得

由于收斂，于是對(duì)任意正整數(shù)m，有

即非負(fù)級(jí)數(shù)部分和有界，故收斂．

10．設(shè)是嚴(yán)格遞減的正數(shù)列，且，證明：級(jí)數(shù)收斂．[南京農(nóng)業(yè)大學(xué)研、上海理工大學(xué)研]

證明：因?yàn)?img alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/FB9AC0/15436375004473606/epubprivate/OEBPS/Images/image915.jpg?sign=1753567598-ATbBv6qkSgzltGbL558AxjQeSXzUKX1f-0-ecf58cb73481617c48dadfb9338d3abd">是嚴(yán)格遞減的正數(shù)列，所以

即是嚴(yán)格遞減的數(shù)列．又由極限的性質(zhì)知

故由Leibniz判別法知收斂．

11．討論級(jí)數(shù)的收斂性．[廈門大學(xué)研]

解：利用帶Peano余項(xiàng)的Taylor公式（當(dāng)x→0時(shí)），有

于是．所以當(dāng)x＞1－p時(shí)收斂，當(dāng)x≤1－p時(shí)發(fā)散．

12．，證明：存在，并求之．[上海大學(xué)研]

證明：令，則

從而

因?yàn)?img alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/FB9AC0/15436375004473606/epubprivate/OEBPS/Images/image929.jpg?sign=1753567598-u2iSIq1Fjs9A6ZVE4rtPHfysvgyfLNaT-0-64a234985f7e90f83a91eaee9824e63f">，所以

故有

13．求級(jí)數(shù)的和.[浙江師范大學(xué)2005研]

解：因，故

為了求，作，

則

于是

因此，原式．

14．判斷級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性和相對(duì)收斂性．[武漢大學(xué)2005研]

解：（1）絕對(duì)收斂性（主要使用放縮法）

（2）相對(duì)收斂性：（A-D判別法）

①；

②．

15．表格填空

[中山大學(xué)2014研]

解：