1.1　復習筆記

一、次數分布表與圖

（一）次數分布及其表達方式概述

1．含義

次數分布，指的是一批數據中各個不同數值所出現的次數情況，或者是指一批數據在量尺上各等距區組內所出現的次數情況。

2．次數分布表與圖

（1）次數分布表：將數據進行分組歸類，考察這批數據在量尺上各等距區組內的次數分布情況，并把這種情況用規范的表格形式加以體現，這就是次數分布表。

（2）次數分布圖：將數據進行分組歸類，考察這批數據在量尺上各等距區組內的次數分布情況，并把這種情況用圖形來表達，即次數分布圖。

（二）次數分布表的編制

1．簡單次數分布表

簡單次數分布表，通常簡稱為次數分布表，其實質是反映一批數據在各等距區組內的次數分布結構。編制次數分布表的主要步驟如下：

（1）求全距

全距也稱為極差，是指一批數據中最大值與最小值之間的差距。觀察全部數據，找出其中的最大值(Max)和最小值(Min)，以符號R表示全距，則全距的計算公式為：

（2）定組數

定組數就是要確定把整批數據劃分為多少個等距的區組。組數用符號K表示。

①組數大小依據數據的多少而定

組數太多，往往會削弱對數據分組整理的功用；太少，又可能會湮沒數據內含的重要信息。一般來說，當一批數據的個數在200個以內時，組數可取8～18組。如果數據來自一個正態的總體，則可利用下述經驗公式來確定組數，即：

公式中的N為數據個數。

②注意

事先計劃的組數可能與實際分組時因考慮組距取整以及最低一組的起點位置不同而略有差異，這種差異是正常的，最終結果應以實際劃歸的組數為準。

（3）定組距

組距用符號i表示，其一般原則是取奇數或5的倍數，如1，3，5，7，9，10……等等。具體的取值過程可通過全距R與組數K的比值來取整確定。

（4）寫出組限

組限是每個組的起始點界限。例如，表1-1中列出的就是關于組限的幾種不同表述方式。

表1-1  組限的五種表述方法(i=5)

建議并一貫采用表1-1中的第三種、第四種或第五種這三種表述方法。對此，作幾點說明如下。

①組限與實際組限是兩個不同的概念，但它們之間有規律性的聯系。

②當各相鄰組的組限已經相互承接而沒有間斷時，便認為已把表述的組限與實際的組限統一起來，且不管這里表述組限中的實下限與實上限是整數還是小數。

（5）求組中值

組中值是各組的組中點在量尺上的數值，其計算公式為：

組中值=(組實上限+組實下限)÷2　 

不同的組距以及不同的組限，必然會產生不同的組中值。如果為了便于有關運算，希望每組的組中值恰好為整數，那么在組距為奇數的情形下，各組的實下限與實上限的值必然帶有小數。為書寫上的簡便起見，建議采用表1-1中的第三種方法。

（6）歸類劃記

我們可以設計一個表的格式來記錄有關結果并對數據進行歸類劃記。具體方法可以類似唱票的方式依次把每個數據準確地劃歸所屬的組別，并以“正”號或“”號的記錄方式體現表內，便于計數檢查。

（7）登記次數

根據劃記結果，點計各組的次數f。

2．相對次數分布表

（1）相對次數

相對次數是指各組的次數f與總次數N之間的比值，若以R_f表示相對次數，則R_f=f/N。

（2）相對次數分布表

當把組別、組中值、次數、相對次數拼在一起時，便構成一個相對次數分布表。閱讀相對次數分布表時，相對次數較大的組，則說明落入該組內的數據個數占全部數據個數的比例也越多。反之，則越少。

（3）相對次數分布表與簡單次數分布表的用途

相對次數分布表與簡單次數分布表各有不同的用途，它們既可單獨使用，又可聯合使用。

①當我們主要對各組的絕對次數感興趣時，則可編制簡單次數分布表。

②相對次數分布表主要能反映各組數據的百分比結構。當我們側重關心各組次數的相對比例結構時，通常要編制相對次數分布表。

③可以同時考察一批數據的簡單次數分布和相對次數分布。

3．累積次數分布表

（1）含義

把組別、組中值以及累積次數拼在一起時，便構成一個累積次數分布表。通過累積次數分布表，可以了解到位于某個數值以下的數據個數有多少。

（2）分類

累積次數分布表分成“以下”累積次數分布表與“以上”累積次數分布表兩種。編制“以下”累積次數分布表時，是從表中下面最低組往最高組方向依次累積。

４．累積相對次數分布表和累積百分數分布表

（1）累積相對次數分布表

累積相對次數是對相對次數進行累積的結果。把組別、組中值、累積相對次數拼在一起，就構成一個累積相對次數分布表。

（2）累積百分數分布表

累積相對次數仍然是小數，把這些小數乘上l00，便得到“百分數”，從而可把累積相對次數分布表等價地轉換為“累積百分數分布表”。把組別、組中值、累積百分數拼在一起，就構成一個累積百分數分布表。

（3）說明

累積相對次數分布和累積百分數分布均有“以下”分布和“以上”分布兩種。在應用時，應根據具體情況決定選用其中的一種。

（三）次數分布圖的繪制

次數分布圖通常有兩種表達方式，包括次數直方圖和次數多邊圖兩種。

1．次數直方圖

（1）含義

次數直方圖是由若干寬度相等、高度不一的直方條緊密排列在同一基線上構成的圖形。

（2）制作步驟

①以細線條標出橫軸和縱軸(取正半軸即可)，使其垂直相交

a．為使圖形美觀，通常使橫軸與縱軸的長度比為5：3。

b．以縱軸為次數的量尺，按比例等間隔地標出刻度。

c．橫軸代表測驗分數的量尺，也按適當的比例等間隔地標出次數分布中各組的組中值。

d．一般說來，縱軸和橫軸的尺度比例不一樣。縱軸刻度往往從0開始，而橫軸刻度則須根據最低一組的下限來確定，為了不影響圖形的美觀，通常不從刻度“0”開始。

②每一直方條的寬度由組距i確定并體現在橫軸的等距刻度上。直方條的高度由相應組別的次數f多少決定。所有的直方條以各組的組中值為對稱點，沿著橫軸，依順序緊密直立排列。

③在直方圖橫軸下邊標上圖的編號和圖的題目，并檢查圖形結構的完整性。

（2）優點與缺點

①優點

次數直方圖比較直觀形象，能很快地看出各組次數之間的相對大小及結構形態。

②缺點

對于次數直方圖，人們不易準確與快速地了解到各組的次數大小。

2．次數多邊圖

（1）含義

次數多邊圖是利用閉合的折線構成多邊形以反映次數變化情況的一種圖示方法。

（2）制作步驟

①畫縱軸和橫軸的方法及要求與制作上述次數直方圖相同，但要求在橫軸上最低組與最高組外各增加一個次數f為0的組。

②在兩軸所在的直角坐標平面上，分別以每個組的組中值為橫坐標，相應的次數為縱坐標，畫出各個點。如果原先把數據分成K個組，那么加上兩端額外增加的兩個次數為0的組后共為（K+2）個組。因此，要在坐標平面上畫出（K+2）個點。

③用線段把相鄰的點依次連接起來，連同橫軸，構成一個閉合的多邊形，即次數多邊圖。

（3）次數分布曲線

從理論上講，當一批數據的個數足夠大時，隨著分組時組距的不斷變小，繪制成的次數多邊圖就越來越連續光滑。若分為無數組時，就形成一條極其光滑的曲線，這種曲線在統計學上稱為次數分布曲線。

3．相對次數直方圖與多邊圖

相對次數分布圖的縱軸是相對次數的量尺。在應用上，有時可能會碰上比較多批不同數據的相對次數，而利用相對次數多邊圖的特點，可允許在同一個圖形中描繪兩個或三個不同的相對次數多邊圖，但要注意：

（1）數據的分組要相同；

（2）要用圖注或不同的顏色來區別幾個不同的次數多邊圖。

4．累積次數分布圖

（1）含義

①累積次數分布圖有直方圖式和曲線圖式兩種，但最為常用的是累積次數曲線圖，它是根據累積次數分布或累積相對次數分布制作而成。

②累積次數曲線圖的形狀不會由于組距的不同而使圖形發生較大的變化，因而由抽樣數據制成的累積次數曲線圖是比較穩定的。

（2）累積次數曲線圖的制作方法要領

①縱軸為累積次數的量尺，橫軸的意義不變。

②對于“以下”分布來講，各個坐標點的位置，其橫坐標是各組的虛上限，縱坐標是累積的次數。

③用連續光滑的曲線把點的軌跡連起來，再與橫軸上最低組的實下限所在點連起來，形成S形曲線。同理，可繪制“以上”累積次數曲線圖，關鍵在于正確地找到坐標點的位置。

5．累積相對次數曲線圖與累積百分數曲線圖

根據累積相對次數分布以及累積百分數分布，可相應地繪制累積相對次數曲線圖和累積百分數曲線圖。它們的制作方法大體上與上述的累積次數曲線圖相同，只是這里的縱軸是關于累積相對次數或累積百分數的量尺。

二、幾種常用的統計分析圖

次數分布表與次數分布圖適用于描述一元連續變量的觀測數據，而對于離散性變量的觀測數據分析以及對二元變量觀測數據之間相關性初探，則要應用其他一些圖示方法。

（一）散點圖

1．含義

散點圖是用平面直角坐標系上點的散布圖形來表示兩種事物之間的相關性及聯系模式。散點圖適合于描述二元變量的觀測數據。

2．作用

散點圖對于探究兩種事物、兩種現象之間的關系起著重要作用。研究人員可以根據散點圖中點群的散布形態，結合自己的專業知識與統計學修養，推測兩種事物或兩種現象之間的相關程度與聯系模式，并進一步采用有關統計技術進行定量描述與深化研究。

3．繪制散點圖的主要要求與注意事項

（1）在平面直角坐標系中，橫軸一般代表自變量，縱軸一般代表因變量；橫軸既可作為連續性變量的量尺，也可作為離散性變量的量尺，但縱軸一般均代表連續變量的量尺。

（2）點的描繪依二元觀測數據而定，但在具體描繪時應注意用細線畫坐標軸，用稍粗黑點描繪各個坐標點，點位置的確定按平面解析幾何學中的方法。

（3）注意圖形的調和比例及必要的圖注說明。

（二）線形圖

1．含義

線形圖是以起伏的折線來表示某種事物的發展變化及演變趨勢的統計圖。

2．適用情況

線形圖適用于描述某種事物在時間序列上的變化趨勢，也適用于描述一種事物隨另一事物發展變化的趨勢模式，適用于比較不同的人物團體在同一心理或教育現象上的變化特征及相互聯系。

3．優點

線形圖對于刻畫各個統計事項之間的關系，確實較形象生動。基于線形圖，我們既可對有關統計事項進行數量比較，又可看出某種事物或現象的變化趨勢。

4．繪制要領

（1）縱橫兩個坐標軸的畫法及量尺設計同上述的散點圖。

（2）根據有關統計事項的具體數據，在由縱橫兩軸所決定的平面上畫記圓點，然后用稍粗一些的線段把相鄰的點依次連接。

（3）在同一個圖形中，允許畫若干條(一般不超過五條)不同的線形圖，以便比較分析。但要用不同形式的折線，如虛線、實線、點畫線或不同顏色的折線等加以區分，并在圖形中的適當位置上標明圖例。

（三）條形圖

條形圖是用寬度相同的長條來表示各個統計事項之間的數量關系。

1．條形圖與次數直方圖的區別

次數直方圖中的直方長條是緊密排列的，適用于刻畫連續性變量的觀測數據。而條形圖通常用于描述離散性變量(如屬性變量)的統計事項。

2．條形圖的種類

（1）簡單條形圖

①含義

簡單條形圖是用同類的直方長條來比較若干統計事項之間數量關系的一種圖示方法，它適用于統計事項僅按一種特征進行分類的情況。

②繪制條形圖的注意事項

a．各個直方長條的寬度要相同，色調要一致。

b．相鄰長條之間的間隔要適當，根據統計項目的多少以及直方長條的寬度來權衡。一般說來，這種間距大約為直方長條寬度的0.5～1倍。

（2）復合條形圖

①含義

復合條形圖，一般是用兩類或三類不同色調的直方長條來表示多特征分類下的統計事項之間數量關系的一種圖示方法。

②繪制復雜條形圖的要求與注意事項。

a．各類直方長條的寬度要相同。

b．不同類型的直方長條宜用不同的色調加以區別，并在圖形右上方適當位置標明圖例。

c．把要比較的統計事項(二重分類)的直方長條靠在一起，而橫軸(基線)上所標明的分類項目(一重分類)的直方長條之間要相互間隔開，其間距一般取長條寬度的0.1～1.5倍。

（四）圓形圖

1．含義

①圓形圖是以單位圓內各扇形面積所占整個圓形面積的百分比來表示各統計事項在其總體中所占相應比例的一種圖示方法。

②整個圓代表所研究事物的總體，各扇形可用不同的色調加以區別，分別代表對總體事物進行分類后的統計事項；扇形的面積比例大小，完全依某一統計事項在其總體事物中的比例大小而定。

③圓形圖特別適用于描述具有百分比結構的分類數據。

2．繪制圓形圖的要求與注意事項

（1）以適當的半徑畫一圓，代表事物總體。

（2）分別以各統計事項在其總體中的比例乘以圓周角(即)，求出各相應扇形的圓心角。

（3）根據上述計算結果，依次用量角器把整個圓分畫成若干個扇形部分，并在其中標上各自的百分比數值。

（4）用不同的色調對不同的扇形加以區分，并在圖形的右邊標上圖例以便閱讀。

（5）在圖形的適當位置上，注明總體事物的數量，以彌補圓形圖中只出現相對數而沒出現絕對數的缺陷(也可把總體事物的數量體現在圖題中)。

（6）注意整個圖形的對稱與協調，在圖形下邊適當位置標上圖號與圖題，則圓形圖繪制完畢。