第10章　模擬與數字濾波器

1．某因果數字濾波器的零、極點如圖10-1（a）所示，并已知其。試求：

 

圖10-1

（1）它的系統函數及其收斂域，且回答它是IIR還是FIR的什么類型（低通、高通、帶通、帶阻或全通）濾波器?

（2）寫出圖10-1（b）所示周期信號的表達式，并求其離散傅里葉級數的系數；

（3）該濾波器對周期輸入的響應。[中國科學院2006研]

解：（1）由該因果濾波器的零極點圖，可以寫出它的系統函數為

其中，k為常數。由于收斂域包含單位圓，因此，系統的頻率響應為

已知，因此

可得常數k=－0.5

由此，濾波器的系統函數為

其頻率響應為

顯然，該濾波器是FIR濾波器，且是帶阻濾波器。

（2）周期為4的周期信號的表達式為

可得的離散傅里葉級數的系數

因此，其一個周期內的系數分別為

。

（3）由該濾波器零極點圖可知，在頻率和處，頻率響應為零，即

而在頻率處，頻率響應為：

因此，當濾波器輸入為時，輸出只有直流分量，即。

2．已知連續時間信號是一個實的周期信號，其傅里葉級數表達式為：

（1）試確定系數a，b，c，d；

（2）若將該信號誦討圖10-2所示的理摁低通濾波器，求系統的輸出信號。[大連理工大學研]

圖10-2

解：（1）根據指數形式傅里葉級數展開式

因為f（t）是實信號，所以

　

又因為

所以

（2）只有頻率成分通過

所以，有

其余

所以

3．序列x（n）作用于單位樣值響應為h（n）的零狀態線性時不變離散系統，系統輸出為y（n）。

（1）若x（n）的幅度譜則和分別為和的自相關函數。請予以證明。

（2）若已經確知能否唯一確定?為什么? [清華大學研]

解：（1）因為

所以

又因為

故

（2）由于故只能確定的幅度，而相位無法確定，從而不能確定唯一

4．利用復指數載波幅度調制能夠實現可變中心頻率的帶通濾波器，如圖10-3所示。

其中：

整個系統的輸v（t）是復信號r（t）的實部。

（1）試證明該系統實現了理想低通濾波器，并確定該濾波器的中心頻率。截至頻率

和

（2）假定若輸入求系統的輸出[電子科技大學研]

解：（1）因為

設；因為；所以

所以等效系統的單位沖激響應

其頻響：

故該系統實現了理想帶通濾波器，如圖10-4所示。

其中心頻率

截至頻率為：

圖10-3

圖10-4

（2）因為是周期為T=2的周期信號。

所以

所以

所以

取

因為

所以

故