第2章　矩陣及其運算

2.1　復習筆記

一、矩陣

1．矩陣的定義

由個數排成的行列的數表

稱為行列矩陣，簡稱矩陣．

為表示它是一個整體，總是加一個括弧，并用大寫黑體字母表示它，記作

Ａ＝（1）

這個數稱為矩陣Ａ的元奏，簡稱為元，數位于矩陣Ａ的第行第列，稱為矩陣Ａ的元，以數為元的矩陣可簡記作()或，矩陣Ａ也記作Ａ_m×n．

2．矩陣的類型

（1）元素是實數的矩陣稱為實矩陣，元素是復數的矩陣稱為復矩陣，本書中的矩陣除特別說明者外，都指實矩陣．

（2）行數與列數都等于的矩陣稱為階矩陣或階方陣．階矩陣也記作.

（3）只有一行的矩陣稱為行矩陣，又稱行向量．為避免元素間的混淆，行矩陣也記作

.只有一列的矩陣

稱為列矩陣，又稱列向量．

（4）兩個矩陣的行數相等、列數也相等時，就稱它們是同型矩陣．如果與是同型矩陣，并且它們的對應元素相等，即

那么就稱矩陣與矩陣相等，記作=．

（5）元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作．注意不同型的零矩陣是不同的．

（6）階方陣=叫做階單位矩陣，簡稱單位陣．這個方陣的特點是：從左上角到右下角的直線(叫做(主)對角線)上的元素都是1，其他元素都是O，即單位陣的元為

（7）階方陣這個方陣的特點是：不在對角線上的元素都是0．這種方陣稱為對角矩陣，簡稱對角陣．對角陣也記作

3．矩陣與線性變換

個變量與個變量之間的關系式

表示一個從變量到變量的線性變換，其中為常數．線性變換的系數構成矩陣

.

給定了線性變換，它的系數所構成的矩陣(稱為系數矩陣)也就確定．反之，如果給出一個矩陣作為線性變換的系數矩陣，則線性變換也就確定．在這個意義上，線性變換和矩陣之間存在著一一對應的關系．

二、矩陣的運算

1．矩陣的加法

（1）定義

設有兩個矩陣和，那么矩陣與的和記作+，規定為

+

應該注意，只有當兩個矩陣是同型矩陣時，這兩個矩陣才能進行加法運算．

（2）加法性質

①；

②；

③（－稱為矩陣的負矩陣）；

④．

2．數與矩陣相乘

（1）定義

數與矩陣的乘積記作或,規定為

=

（2）基本性質

①；

②；

③.

矩陣相加與數乘矩陣合起來，統稱為矩陣的線性運算．

3．矩陣與矩陣相乘

（1）定義

設是一個矩陣，是一個矩陣，那么規定矩陣A與矩陣B的乘積是一個矩陣其中

并把此乘積記作

.

說明：一個行矩陣與一個列矩陣的乘積是一個1階方陣，也就是一個數

由此表明：乘積矩陣的元就是的第行與的第列的乘積．

注意：①只有當第一個矩陣(左矩陣)的列數等于第二個矩陣(右矩陣)的行數時，兩個矩陣才能相乘．

②矩陣的乘法不滿足交換律，即在一般情形下，.

③對于兩個階方陣，，若=．則稱方陣與是可交換的．

④若有兩個矩陣，滿足,不能得出或的結論，若而也不能得出的結論．

（2）性質

①；

②(其中為數)；

③

（3）單位矩陣的性質

①對于單位矩陣，有可見單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數1．

②矩陣

稱為純量陣．由可知純量陣與矩陣的乘積等于數與的乘積．并且當為階方陣時，有，表明純量陣與任何同階方陣都是可交換的．

③矩陣的冪

設是階方陣，定義其中為正整數，這就是說，就是個連乘．顯然只有方陣，它的冪才有意義．且矩陣的冪滿足以下運算規律：

其中為正整數．又因矩陣乘法一般不滿足交換律，則對于兩個行階矩陣與，一般說來

只有當與可交換時，才有.

類似可知，例如,等公式，也只有當與可交換時才成立．

4．矩陣的轉置

（1）定義

把矩陣的行換成同序數的列得到一個新矩陣，叫做的轉置矩陣，記作^T

（2）運算規律(假設運算都是可行的)

①

②

③

④

（3）對稱陣

設為階方陣，如果滿足,即

那么稱為對稱矩陣，簡稱對稱陣．對稱陣的特點是：它的元素以對角線為對稱軸對應相等．

5．方陣的行列式

（1）定義

由階方陣的元素所構成的行列式(各元素的位置不變)，稱為方陣的行列式，記作或.

注意：方陣與行列式是兩個不同的概念，階方陣是個數按一定方式排成的數表，而階行列式則是這些數(也就是數表Ａ)按一定的運算法則所確定的一個數．

（2）由確定的這個運算滿足下述運算規律(設，為階方陣，為數)：

①(行列式性質1)；

②

③（對于階矩陣，一般來說，但總有.）

（3）伴隨矩陣

行列式的各個元素的代數余子式所構成的如下的矩陣

稱為矩陣的伴隨矩陣，簡稱伴隨陣．且有

6．共軛矩陣

（1）定義

當為復矩陣時，用表示的共軛復數，記

稱為的共軛矩陣．

（2）共軛矩陣滿足下述運算規律(設，為復矩陣，為復數，且運算都是可行的：

①

②；

③.

三、逆矩陣

1．定義

對于階矩陣，如果有一個，階矩陣，使則說矩陣是可逆的，并把矩陣稱為的逆矩陣，簡稱逆陣．的逆陣記作.即若即

如果矩陣是可逆的，那么的逆陣是惟一的．

2．性質

（1）若矩陣可逆，則.

（2）若,則矩陣可逆，且其中為矩陣的伴隨陣．

（3）當時，稱為奇異矩陣，否則稱非奇異矩陣．

由上面可知：是可逆矩陣的充分必要條件是,即可逆矩陣就是非奇異矩陣．

3．方陣的逆陣的運算規律

（1）若A可逆，則亦可逆，且

（2）若A可逆，數,則可逆，且

（3）若為同階矩陣且均可逆，則亦可逆，且

（4）當A可逆時，為整數時，有

4．多項式

（1）定義

設為的次多項式，為階矩陣，記

稱為矩陣的次多項式．

因為矩陣和都是可交換的，所以矩陣的兩個多項式和總是可交換的，即總有

（2）性質

①如果則 

②如果為對角陣，則從而

四、矩陣分塊法

1．定義

將矩陣用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣，每一個小矩陣稱為的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣．

2．分塊矩陣的運算規則

（1）設矩陣與的行數相同、列數相同，采用相同的分塊法，有

其中與的行數相同、列數相同，那么

（2）設，為數，那么

．

（3）設為矩陣，為矩陣，分塊成

其中的列數分別等于的行數，那么．

,

其中

（4）設則

（5）設為階矩陣，若的分塊矩陣只有在對角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，且在對角線上的子塊都是方陣，即

其中都是方陣，那么稱為分塊對角矩陣．分塊對角矩陣的行列式具有下述性質：

由此性質可知，若，則，并有

.

3．矩陣分塊的意義

對矩陣分塊時，有兩種分塊法應予特別重視，這就是按行分塊和按列分塊：

（1）行，列向量的定義

矩陣有行，稱為矩陣的個行向量．若第行記作則矩陣便記為

矩陣有列，稱為矩陣的個列向量，若第列記作

則．

（2）矩陣相乘的定義

以對角陣左乘矩陣時，把按行分塊，有

可見以對角陣左乘的結果是的每一行乘以中與該行對應的對角元．

以對角陣右乘矩陣時，把按列分塊，有

可見以對角陣右乘的結果是的每一列乘以中與該列對應的對角元．

結論：①矩陣的充分必要條件是方陣,

②列向量的充分必要條件是.

4．線性方程組的不同表示方式

對于線性方程組

記

其中稱為系數矩陣，稱為未知數向量，稱為常數項向量，稱為增廣矩陣．按分塊矩陣的記法，可記

或.

（1）利用矩陣的乘法，此方程組可記作

該方程以為未知元，它的解稱為方程組的解向量．

（2）如果把系數矩陣按行分成塊，則線性方程可記作

或

這就相當于把每個方程

記作

（3）如果把系數矩陣按列分成塊，則與相乘的應對應地按行分成塊，從而記作

即

上述3種表示方式是線性方程組的各種變形，它們將混同使用而不加區分，并都稱為線性方程組或線性方程．