1.2　課后習題詳解

1．利用對角線法則計算下列三階行列式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

解：（1）原式

；

（2）原式

；

（3）原式

；

（4）原式

．

2．按自然數(shù)從小到大為標準次序，求下列各排列的逆序數(shù)：

（1）1  2  3  4；　 

（2）4  1  3  2；

（3）3  4  2  1；　 

（4）2  4  1  3；

（4）2  4  1  3；

（5）1  3  …  （2n一l）  2  4  …  （2n）；

（6）1  3  …  （2n一l）  （2n）  （2n一2）  …  2．

解：（1）此排列為自然排列，其逆序數(shù)為0；

（2）此排列的首位元素的逆序數(shù)為0；第2位元素1的逆序數(shù)為l；第3位元素3的逆序數(shù)為1；末位元素2的逆序數(shù)為2，故它的逆序數(shù)為0+1+1+2=4；　 

（3）此排列的前兩位元素的逆序數(shù)均為0；第3位元素2的逆序數(shù)為2；末位元素1的逆序數(shù)為3，故它的逆序數(shù)為0+0+2+3=5；

（4）類似于上面，此排列的從首位元素到末位元素的逆序數(shù)依次為0，0，2，1，故它的逆序數(shù)為0+0+2+1=3；

（5）注意到這2n個數(shù)的排列中，前n位元素之間沒有逆序?qū)Γ趎+1位元素2與它前面的n－1個數(shù)構(gòu)成逆序?qū)Γ仕哪嫘驍?shù)為n－l；同理，第n+2倍元素4的逆序數(shù)為n－2;；末位元素2n的逆序數(shù)為0．故此排列的逆序數(shù)為；

（6）與（5）相仿，此排列的前n+1位元素沒有逆序?qū)Γ坏趎+2位元素（2n一2）的逆序數(shù)為2；第n+3位元素2n－4與它前面的2n－3，2n－l，2n，2n－2構(gòu)成逆序?qū)Γ仕哪嫘驗?；…；末位元素2的逆序數(shù)為

2（n－l），故此排列的逆序數(shù)為．

3．寫出四階行列式中含有因子的項．

解：由行列式定義知這項必還含有分別位于第3行和第4行的某兩元素，而它們又分別位于第2列和第4列，即和或和．注意到排列l(wèi)324與1342的逆序數(shù)分別為1與2，故此行列式中含有的項為與．

4．計算下列各行列式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

解：（1）

=0（因第3、4行成比例）；

（2）

（因有兩行相同）；

（3）

（4）

5．求解下列方程：

（1）=0，（2）=0，其中a，b，c互不相等．

解：（1）左式

．

于是方程的解為：，，；

（2）注意到方程左式為4階范德蒙德行列式，則可得．

因a，b，c互不相等，故方程的解為：,,.

6．證明：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）

證：

=（a－b）3=右式；

（2）將左式按第l列拆開得

左式

其中

于是=右式．

（3）左式：

（因有兩列相同）；

（4）左式：

其中：；

．

故

．

因此，左式=右式．

（5）方法一（遞推法）：按第l列展開，以建立遞推公式，

．

又，歸納基礎(chǔ)為：（注意不是x），于是

　 

　

方法二：按最后一行展開得

　 

7．設(shè)n階行列式把D上下翻轉(zhuǎn)、或逆時針旋轉(zhuǎn)90°、或依副對角線翻轉(zhuǎn)，依次得

，，

證明，．

證：（1）先計算，為此通過交換行將變換成D，從而找出與D的關(guān)系．的最后一行是D的第l行，把它依次與前面的行交換，直至換到第1行，共進行n－1次交換；這時最后一行是D的第2行，把它依次與前面的行交換，直至換到第2行，共進行n－2次交換；…·，直至最后一行是D的第n－l行，再通過一次交換將它換到第n－l行，這樣就把變換成D，共進行次交換，故

．　 

（2）計算，注意到的第l，2，…，n行恰好依次是D的第n，n－l，…，1列，故若把上下翻轉(zhuǎn)得，則的第l，2，…，n行依次是D的第l，2，…，n列，即．于是由（1）

（3）計算，注意到若把逆時針旋轉(zhuǎn)90°得，則的第l，2，…，n列恰好是D的第n，n－l，…，1列，于是再把左右翻轉(zhuǎn)就得到D．由（1）之注及（2），有

8．計算下列各行列式（為k階行列式）：

（1），其中對角線上元素都是a，未寫出的元素都是0；

（2）

（3）提示：利用范德蒙德行列式的結(jié)果．

（4），其中未寫出的元素都是0；

（5），其中；

（6），其中．

解：（1）方法一：化為上三角行列式

上式中最后那個行列式為上三角行列式；

方法二：把按第二行展開，因的第二行除對角線元素外全為零，故有

即．

于是有．

（2）

．

（3）按范德蒙德行列式的結(jié)果，可得

（4）由遞推法

即有遞推公式．

另一方面，歸納基礎(chǔ)為，利用這些結(jié)果，遞推得

（5）

（6）

其中：．于是．

9．設(shè)，D的（i，j）元的代數(shù)余子式記作，求．

解：

10．用克拉默法則解下列方程組：

解：（1）

；

由克拉默法則，得

，，，；

（2）

而；

，

于是；

；

由克拉默法則，得

，，，

11．問，取何值時，齊次線性方程組有非零解?

解：方程組的系數(shù)行列式必須為0．

因

故只有當=0或=1時，方程組才可能有非零解．

當=0，原方程組成為顯然，，是它的一個非零解；

當=1，原方程組成為

顯然，，是它的一個非零解．因此，當=0或=1時，方程組有非零解．

12．問取何值時，齊次線性方程組有非零解?

解：若方程組有非零解，它的系數(shù)行列式D=0．

因

故或或，并且不難驗證：

當時，，，；當時，，，；當時，，，

均是該方程組的非零解．所以當時方程組有非零解．