第1章　行列式

1.1　復習筆記

一、二階與三階行列式

1．二階行列式

（1）定義

把這四個數按一定的位置，排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數表：

 

表達式稱為數表所確定的二階行列式，并記作：

 

數稱為行列式的元素或元；元素的第一個下標稱為行標，表明該元素位于第行，第二個下標稱為列標，表明該元素位于第列；位于第行第列的元素稱為行列式的

（，）元．

（2）記憶方法

可用對角線法則來記憶．參看圖1-1，把到的實聯線稱為主對角線，到的虛聯線稱為副對角線，于是二階行列式便是主對角線上的兩元素之積減去副對角線上兩元素之積所得的差．

圖1-1

（3）二階行列式的應用

利用二階行列式的概念，再解二元方程時，解的分子也可寫成二階行列式，即

若記

那么方程的解可寫成

注意：這里的分母是由方程組（1）的系數所確定的二階行列式（稱系數行列式），的分子是用常數項替換中的系數，所得的二階行列式，的分子是用常數項，替換中的系數

所得的二階行列式．

例：求解二元線性方程組

解：由于

，

因此　  

2．三階行列式

（1）定義 

設有9個數排成3行3列的數表

記

 

該式稱為數表所確定的三階行列式．

說明：三階行列式含6項，每項均為不同行不同列的三個元素的乘積再冠以正負號．

（2）記憶方法

如下圖所示的對角線法則：圖中有三條實線看做是平行于主對角線的聯線，三條虛線看做是平行于副對角線的聯線，實線上三元素的乘積冠正號，虛線上三元素的乘積冠負號．

圖1-2

二、全排列及其逆序數

1．全排列

把個不同的元素排成一列，叫做這個元素的全排列（也簡稱排列）．個不同元素的所有排列的種數，通常用表示．

2．逆序數

（1）定義

對于n個不同的元素，先規定各元素之間有一個標準次序（例如，個不同的自然數，可規定由小到大為標準次序），于是在這n個元素的任一排列中，當某兩個元素的先后次序與標準次序不同時，就說有1個逆序．一個排列中所有逆序的總數叫做這個排列的逆序數．

逆序數為奇數的排列叫做奇排列，逆序數為偶數的排列叫做偶排列．

（2）計算方法

設n個元素為l至n這n個自然數，并規定由小到大為標準次序．設為這n個自然數的一個排列，考慮元素，如果比大的且排在前面的元素有個，就說這個元素的逆序數是．全體元素的逆序數之總和：

即是這個排列的逆序數．

三、階行列式的定義

1．定義

設有個數．排成行列的數表

作出表中位于不同行不同列的個數的乘積，并冠以符號，得到形如的項，其中為自然數的一個排列，為這個排列的逆序數．由于這樣的排列共有個，因而該式共有

項．所有這項的代數和稱為階行列式，記作

簡記作其中數為行列式的元．

注意：當時，一階行列式注意不要與絕對值記號相混淆．

2．常用結論

階行列式：

（1）對角行列式：

其中未寫出的元素都是0．

（2）上（下）三角形行列式

四、對換

1．定義

在排列中，將任意兩個元素對調，其余的元素不動，這種作出新排列的手續叫做對換．將

相鄰兩個元素對換，叫做相鄰對換．

2．對換的性質

（1）一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性．

（2）奇排列變成標準排列的對換次數為奇數，偶排列變成標準排列的對換次數為偶數．

3.n階行列式的定義

階行列式可定義為

其中為行標排列的逆序數．

五、行列式的性質

1．轉置行列式

記

,

行列式稱為行列式的轉置行列式．

2．行列式的性質

（1）行列式與它的轉置行列式相等．

（2）互換行列式的兩行（列），行列式變號．

推論：如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式等于零．

（3）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數時，等于用數去乘此行列式：第行（或列）乘以，記作或

推論：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式記號外的外面.第行（或列）提出公因子

，記作或

（4）行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零．

（5）若行列式的某一列（行）的元素都是兩數之和 ．

（6）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數然后加到另一列（行）對應的元素上去，行列式不變．（以數乘第行加到第行上，記作

說明：①當某一行（或列）的元素為兩數之和時，行列式關于該行（或列）可分解為兩個行列式．若階行列式每個元素都表示成兩數之和，則它可分解成個行列式．例如二階行列式：

②介紹了行列式關于行和關于列的三種運算，即和利用這些運算可簡化行列式的計算，特別是利用運算（或）可以把行列式中許多元素化為0．計算行列式常用的一種方法就是利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．

六、行列式按行（列）展開

1．余子式和代數余子式

在階行列式中，把元以所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元的余子式，記作；記作：

叫做元的代數余子式.

2．常用結論

（1）一個階行列式，如果其中第行所有元素除元外都為零，那么這行列式等于與它的代數余子式的乘積，即

　（2）行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即

或 　 

這就叫做行列式按行（列）展開法則．

推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等于零，即

或   　　　

綜合結論2可得有關于代數余子式的重要性質：

或

其中　

3．范德蒙德（Vandermonde）行列式

其中記號“”表示全體同類因子的乘積．

4．求余子式及代數余子式和的有用方法：代替法

用依次代替可得

類似地，用代替中的第列，可得

七、克拉默法則

1．克拉默法則的定義

含有個未知數的個線性方程的方程組

　 　　　　　　  　 （1）

與二、三元線性方程組相類似，它的解可以用階行列式表示，即有

克拉默法則  如果線性方程組（1）的系數行列式不等于零，即

那么，方程組（1）有惟一解

　  　　　　　　　　　　   （2）

其中是把系數行列式D中第列的元素用方程組右端的常數項代替后所得到的階行列式，即

2．克拉默法則的應用

（1）應用在線性方程

克拉默法則可敘述如下：

定理 如果線性方程組（1）的系數行列式，則（1）一定有解，且解是惟一的．

該定理逆否定理為：如果線性方程組（1）無解或有兩個不同的解，則它的系數行列式必為零．

線性方程組（1）右端的常數項不全為零時，線性方程組（1）叫做非齊次線性方程組，當全為零時，線性方程組（1）叫做齊次線性方程組．

（2）應用于齊次線性方程組

對于齊次線性方程組

　  　　　　　　　  （3）

一定是它的解，這個解叫做齊次線性方程組（3）的零解，如果一組不全為零的數是（3）的解，則它叫做齊次線性方程組（3）的非零解．齊次線性方程組（3）一定有零解，但不一定有非零解．

定理 如果齊次線性方程組（3）的系數行列式，則齊次線性方程組（3）沒有非零解．即如果齊次線性方程組（13）有非零解，則它的系數行列式必為零．

該定理說明系數行列式是齊次線性方程組有非零解的必要條件．