六、計算題

1．假定某消費者的效用函數為，，。如果給定效用水平為100，那么，該消費者應該如何選擇、兩商品的需求數量、，才能使自己實現這一效用水平的支出最小化？相應的最小支出又是多少？

解：第一種解法：根據消費者的均衡條件，其中，可得：

整理得：

將代入效用約束等式，得：

，

將，代入目標支出等式，得最小支出為：

第二種方法：用拉格朗日函數法求解如下：

極小值的一階條件為：

  （1）

  （2）

　  （3）

由式（1）、式（2），整理可得。將代入式（3），解得：

，

再將，代入目標函數即支出等式，得最小支出為：

2．某消費者消費兩種商品和，假定無差異曲線在各點斜率的絕對值均為，、為兩種商品的數量。

（1）說明每一種商品的需求數量均不取決于其他另一種商品的價格。

（2）每一種商品的需求的價格彈性均等于1。

（3）每一種商品的需求的收入彈性均等于1。

（4）每一種商品的恩格爾曲線的形狀如何？

解：（1）根據題意可得，該消費者在效用最大化均衡點上有：

整理得：

代入預算約束等式，有：

解得：

代入預算約束等式，得。

由此可見，商品的需求教量與商品的價格無關，商品的需求數量與商品的價格無關。

（2）商品和商品的需求的價格彈性分別為：

每一種商品的需求的價格彈性均等于1。

（3）商品和商品的需求的收入彈性分別為：

每一種商品的需求的收入彈性均等于1。

（4）由商品的需求函數，可得，即商品的恩格爾曲線的斜率為；由商品的需求函數，可得，即商品的恩格爾曲線的斜率為。兩商品的恩格爾曲線的斜率均為正的常數。而且，當收入為零時，兩商品的需求數量均為零。由此可見，和商品的恩格爾曲線均為一條從原點出發且斜率為正的直線，即每一種商品均有一條從原點出發的斜率為正的線性恩格爾曲線。

3．某消費者的效用函數為，收入為20000元，、分別表示對商品和的消費量。他將全部收入購買和兩種商品，這兩種商品的價格分別為，。假定政府征收的個人所得稅稅率為10%，商品的銷售稅稅率為20%，商品的銷售稅稅率為0。求該消費者實現效用最大化時兩種商品的購買量。

解：根據題意，該消費者的可支配收入為。

購買兩商品實際支付的價格為：

于是，消費者的預算約束等式為：

整理得：

將上式預算約束條件代入效用函數，得：

效用最大化的一階條件為：

由此求得：，。

比較，，顯然符合題意，故舍去；且當時，有，所以，

是效用最大化的解。將代入預算約束等式得。

4．已知某消費者關于、兩商品的效用函數為，其中、分別為對商品、的消費量。

（1）求該效用函數的邊際替代率表達式。

（2）在總效用水平為6的無差異曲線上，若，求相應的邊際替代率是多少？

（3）在總效用水平為6的無差異曲線上，若，求相應的邊際替代率是多少？

（4）該無差異曲線的邊際替代率是遞減的嗎？

解：（1）根據題意，該效用函數的邊際替代率的表達式為：

（2）當，時，則有。于是，該商品組合點（3，12）的邊際替代率為：

（3）當，時，則有。于是，該商品組合點（4，9）的邊際替代率為：

（4）在無差異曲線上，當商品組合由點（3，12）移動到點（4，9）時，邊際替代率由4下降為2.25。顯然，該效用函數符合邊際替代率遞減規律。

5．設某人消費商品和商品的無差異曲線為，試問：

（1）組合（27，71）點的斜率是多少？

（2）組合（64，68）點的斜率是多少？

（3）是否有遞減的性質？

解：根據無差異曲線方程，可知其斜率為。

（1）當時，由于斜率，故無差異曲線在（27，71）點的斜率是，邊際替代率為。

（2）當時，由于斜率，故無差異曲線在（64，68）點的斜率是，邊際替代率為。

（3）點（27，71）的邊際替代率為，而點（64，68）的邊際替代率為，因而該無差異曲線存在邊際替代率遞減的可能性。且由于邊際替代率為，而邊際替代率的導數為，所以該無差異曲線存在邊際替代率遞減規律。

6．某個學生即將參加研究生考試，現只有6天時間復習，每門課的復習時間與對應的預期成績如表3-1：

表3-1  每門課的復習時間與對應的預期成績

問：為使三門課的預期成績總分最高，應如何安排復習時間？并說明你的理由。

解：（1）為使三門課的預期成績總分最高，該學生應用三天復習數學，用兩天復習英語，用一天復習經濟學。

（2）該題可以運用消費者效用最大化條件解答。在6天的時間預算約束下，為了使分數最高，學生應該選擇最優的時間組合，使得三門功課的時間安排符合以下的條件：學生復習每一門功課最后一天的邊際分數相等。該學生復習每門功課的邊際分數如表3-2所示。

表3-2  復習每門功課的邊際分數

天數          O  1 2 3 4 5 6

數學分數        30 14 21 10 8 5 2

英語分數       40 12 10 8 7 6 5

經濟學分數     70 10 8 2 1 1 1

所以，在用三天復習數學，用兩天復習英語，用一天復習經濟學時，每一門功課的邊際分數都為10，這時的總分最高，為217分（），其他的組合都不能達到這個分數。

7．設有一居民李四，其效用函數為，其中，為食品消費量；為其他商品消費量。另外，該居民的收入為5000元，與的價格均為10元，請計算：

（1）該居民的最優消費組合。

（2）若政府提供該居民2000元的食品兌換券，此兌換券只能用于食品消費，則該居民的消費組合有何變化？

解：（1）李四的預算約束方程為

根據消費者效用最大化的一階條件：

其中，，。

將邊際效用函數和商品價格代入一階條件，可得：。

將上式代入預算約束方程，可以得到：，。

（2）政府提2000元的食品兌換券，消費者效用最大化時，食品消費量不能低于200單位。

假設政府提供該居民2000元的食品兌換券為2000元現金，此時李四的預算約束方程為：

則李四的最優消費組合為：，。

從李四的最優消費組合可以知道，即李四不僅消費了2000元的食品兌換券，還花費單位收入用于食品消費。因此，，為政府提供了2000元食品兌換券后的最優消費組合。

8．假設一個消費者的效用函數為：

其中，為食品的消費量；表示所有其他商品的消費量。

假設食品的價格為，所有其他商品的價格為，消費者的收入為元。

（1）求最優的食品需求量。食品對該消費者來說是低檔物品嗎？食品對消費者來說是吉芬商品嗎？

（2）在許多國家，窮人的食品消費會得到政府的補貼，常見的補貼辦法是政府向窮人出售食品券。當然，食品券的價格要低于食品的市場價格。假如我們這里考慮的消費者是一個受補貼的窮人，食品券的價格為，而食品的市場價格為，所有其他商品的價格被標準化為，消費者的收入為。在得到補貼后，消費者的消費行為會發生怎樣的變化？

解：（1）消費者最優選擇條件為：

其中，，。

由此，可以得到：，再聯立消費者預算約束：。

可以得到：，。

由于，因此食品對消費者來說不是吉芬商品；

由于，因此食品對消費者來說不是低檔物品。

（2）在政府補貼前，消費者的預算約束方程為：。

消費者的最優消費組合為：

在政府補貼后，消費者的預算約束方程為：

消費者的最優消費組合為：，。

9．已知效用函數為：

若收入為，商品和商品的價格分別為、，求：

（1）兩種商品的需求函數。

（2）當，，時，求邊際替代率，并求出此時商品和商品的需求價格彈性及收入彈性。

解：（1）消費者效用最大化問題為：

構造拉格朗日函數：

一階條件為：

聯立求解可得商品與商品的需求函數分別為：，。

（2）商品對商品的邊際替代率為：

商品的需求價格彈性為：

商品的收入彈性為：。

同理，可以得到商品的需求價格彈性，商品的收入彈性。

10．某人僅消費商品和商品兩種商品，其效用函數為：

其收入，。

（1）推導出此人對商品的需求函數。

（2）如果，此人將消費多少商品？

（3）在均衡狀態下，計算此人對商品的需求收入點彈性。

解：（1）由效用函數，可得：

商品的邊際效用為：；

商品y的邊際效用為：。

消費者效用的最大化條件為：

代入有關參數可得：

將約束條件代入均衡條件，推導出此人對的需求函數為：

（2）如果將代入均衡條件，可得：

化簡得：，把約束條件代入，求得此人將消費商品的數量為：。

（3）由于在均衡狀態下，和兩種商品的消費量滿足。

代入約束條件：，可得：。

由于，所以此人對商品的需求收入點彈性為：

11．已知效用函數為：

，

求需求函數，其中，，分別為常量的價格和收入，。

解：消費者效用最大化問題為：

構造拉格朗日函數：

效用最大化的一階條件為：

則消費者的需求函數分別為：，，。

12．假定某消費者的效用函數，商品和商品的價格分別為，收入元。

（1）該消費者的均衡購買量是多少？最大的效用是多少？

（2）若降為1，替代效應使其購買的兩種商品數量變為多少？收入效應使其購買的兩種商品數量變為多少？

解：（1）消費者效用最大化問題為：

構造拉格朗日函數：

效用最大化的一階條件為：

解得：，可得最大效用為：。

（2）商品降價后的效用最大化問題變為：

求解可得：，，即商品價格下降后對商品和商品購買量的總效應。

替代效應是指消費者效用保持100不變的條件下，商品的價格下降導致商品的消費量的變化，即

求解可得：，。

因此，替代效應使商品的消費量增加為：，使商品的消費量減少為：。

收入效應使商品的消費量增加為：，使商品的消費量增加為：。

13．已知某君每月收入120元，全部花費于商品和商品兩種商品，他的效用函數，商品的價格是2元，商品的價格為3元。求：

（1）為使獲得的效用最大，他購買的商品和商品各為多少？

（2）貨幣的邊際效用和他獲得的總效用各為多少？

（3）假如商品的價格提高44%，商品的價格不變，為使他保持原有的效用水平，其收入必須增加多少？

（4）假如某君原有的消費品組合恰好代表全社會的平均數，因而他原來的購買可作為消費品價格指數的加權數，當商品的價格提高44%時，消費品價格指數提高多少？

（5）為使他保持原有效用水平，他的收入必須提高多少個百分比？

（6）你關于（4）和（5）的答案是否相同？假如不同，請解釋為什么某君的效用水平能保持不變。

解：（1）由效用函數可得：，。

商品和商品的價格分別為，，代入消費者效用最大化條件：

可得：，代入消費者預算方程，求解可得：，。

因此，為使消費者獲得最大效用，他應購買30單位的商品和20單位的商品。

（2）由于商品的邊際效用為：

商品的價格為，因此，貨幣的邊際效用為：

總效用為：。

（3）現在，商品的價格為：。

代入消費者效用最大化條件可得：。

而消費者的效用水平保持不變，為，求解可得：，。

將，代入預算方程，可得該消費者應該擁有的收入為：

（元）

收入增加為：（元），因此，為保持原有的效用水平，收入必須增加24元。

（4）消費品價格指數提高的百分率為價格指數增加額與原有價格指數之比，代入有關參數可得：

（5）消費者收入提高的百分率為。

（6）消費品價格指數提高22%，而收入提高20%，兩者明顯不同。因為商品的價格提高了44%，在商品的價格不變的情況下，為取得同樣效用，均衡購買量發生了變化。一方面，商品的購買量從30降為25，因而減少的支出為：

（元）

另一方面，商品的購買量從20增加到24，因而增加的支出為：

（元）

兩者相抵，凈節省2.4元（），占原有收入120元的2%。因此，當價格指數提高22%時，收入只需要提高20%就夠了。

14．若消費者效用函數，，那么收入—消費曲線是一條直線。

解：收入—消費曲線是在商品價格和消費者偏好不變的情況下，隨著消費者收入變動，無差異曲線和預算線切點的軌跡，它經過原點。設商品的價格為，商品的價格為。

對于效用函數，邊際效用分別為：

代入效用最大化條件，可得：，變形整理得：。

由于、是固定不變的，為常數，且，故是一個大于零的常數。因此，是大于零的常數。又因為收入—消費曲線過原點，所以就是曲線的斜率，而又是大于零的常數。因此，該消費者的收入—消費曲線是一條過原點且向右上方傾斜的直線。

15．設某君的效用函數，這里的代表貨幣量。如果他在一次抽獎活動中，有20%的幾率獲得200元，有80%的幾率獲得75元，抽獎的費用為100元，試問他會不會參加這一活動？

解：根據消費者的效用函數，可得：

因此，該君是風險偏好者。

抽獎活動的期望收入為100元（）。而抽獎的費用也為100元，對于風險偏好者來說，確定性的100元的效用小于有風險的100元，所以他會參加抽獎。

16．某消費者的效用函數。其中，為效用，為收益（千元）。他有1萬元錢，如果存在銀行里，年利率為2%；如果全部投資于股票，估計一年中有40%的概率獲得8000元的投資收益，有60%的概率損失5000元。

（1）該消費者是風險偏好者、風險厭惡者還是風險中性者？

（2）他是否會選擇投資股票？

（3）如果投資股票，他的效用是多少？

解：（1）根據個人面對風險的態度不同，可將人們對風險的態度分為三類，即風險厭惡型、風險中性型、風險偏好型。具體說來，主要根據在不確定情況下期望值的效用和效用期望值的大小關系來區分這三種類型。

風險厭惡者的期望效用小于期望值的效用，即：；

風險中性者的期望效用等于期望值的效用，即：；

風險偏好者的期望效用大于期望值的效用，即。

如果該消費者把1萬元都投資于股票，則他的期望收益為：

期望收益的效用為：。

獲得8000元的效用為：；

獲得-5000元的效用為：；

期望效用為：。

因此，對于該消費者來說，有，所以他是風險偏好型。

（2）該消費者是將1萬元投資于股票還是存銀行取決于哪種投資渠道帶來的效用更大，如果該消費者把1萬元存銀行，得到投資收益200元（），此時的效用為0.54（）；如果該消費者把1萬元都投資于股票，由（1）可知，期望效用為，因此該消費者會選擇投資股票。

（3）該消費者投資于股票的期望效用為41.1。

17．如果某種商品的需求函數是，供給函數是。求均衡時的價格、交易量、需求價格彈性、消費者剩余。

解：市場均衡時，需求價格等于供給價格，代入需求函數、供給函數可得

求解可得均衡交易量和價格分別為：，。

根據需求價格彈性定義可得，此時的需求價格彈性為：

需求曲線與價格軸的交點為（0，30），消費者剩余為：