三、計算題

1．在某一個晚上，J.P.以下列效用函數的形式享用雪茄（C）與喝白蘭地酒（B）

（1）問：他這晚上要抽多少支雪茄，喝多少瓶白蘭地酒才能得到最大效用？（假定他不受預算約束）？

（2）后來，J.P.的醫生告誡他：每天喝的白蘭地與抽的雪茄加起來不能超出5單位，在這一條件下，他會喝多少白蘭地，抽多少雪茄呢？（北京郵電大學2008研）

解：（1）由題意可知，他不受預算約束，要使他的效用最大，則需滿足：

且

解得：。

即不受預算約束時，他這晚上要抽10支雪茄，喝3瓶白蘭地酒才能得到最大效用。

（2）由題意可知，他的約束條件為：，在此約束條件下達到最大效用。

由代入效用函數可得：

效用最大化的一階條件為：

，解得：。

將代入約束條件，可得：。

即如果每天喝的白蘭地與抽的雪茄加起來不能超出5單位，為了獲得最大的效用，他會喝1瓶白蘭地，抽4支雪茄。

2．假定效用函數為，為消費的商品量，為收入。求：

（1）需求函數；

（2）反需求函數；

（3），時的消費者剩余。（東華大學2010研）

解：（1）由效用函數可得：，此即為貨幣的邊際效用。

由效用函數可得：，此即為該商品給消費者帶來的邊際效用。

根據消費者效用最大化的均衡條件，即有：，整理可得需求函數為：。

（2）由需求函數可得反需求函數為：。

（3）消費者剩余。

3．已知效用函數為，收入為，、的價格分別為、，求：

（1）兩種商品的需求函數；

（2）當，，時，求邊際替代率，并求出此時、的需求價格彈性和收入彈性。（山東大學2002、2007研）

解：（1）消費者的預算線方程：。

由消費者的效用函數，可得出商品和的邊際效用，即，

根據消費者效用最大化的條件，可得：。

將上式代入預算線方程，可得：，。

（2）商品對商品的邊際替代率為：

的需求價格彈性，同理可得，的需求價格彈性也等于1。

的需求收入彈性，同理可得，的需求收入彈性也等于1。

4．已知，某消費者的效用函數，請給出均衡條件的需求函數，并證明其收入將均攤于商品，。（中央財經大學2009研）

解：（1）由效用函數，可得：

　①

　②

由消費者效用最大化的均衡條件可得：

　③

聯立①、②、③式可得：

，即：

所以，均衡條件的需求函數為。

（2）證明：設收入為，則有：。

根據均衡條件的需求函數：。

所以，。

即該消費者的收入將均攤于商品，。

5．一個消費者，收入為120元，購買兩種商品，效用為。

（1）設商品價格分別為，，求消費者均衡；

（2）商品1的價格下降為，求商品1的替代效應和收入效應。（華中科技大學2004研）

解：（1）由效用函數可得出商品和商品的邊際效用，即：

，

根據消費者效用最大化的條件，有：

得：

　①

另可得預算線方程為：

　②

聯立①②式可得，。

即消費者均衡時，消費者消費5單位，6單位。

（2）當商品1價格下降為時，同理可求得消費者均衡時，消費者消費6單位商品，6單位商品?，F求價格下降所造成的替代效應，若維持原有效用水平不變，此時：

解得：。

則可得商品1的替代效應為，收入效應為。

6．設一個消費者使用兩種商品（），效用函數為，商品價格元，元。

（1）設他的收入為40元，求消費者均衡；

（2）求恩格爾曲線。（華中科技大學2002研）

解：（1）當達到消費者均衡時，有

即：

得：

　①

另可得預算線方程為：

　②

聯立①②式可得：。

即達到消費者均衡時，消費者消費商品數量為6個單位，消費商品數量為10/3個單位。

（2）假設消費者收入為，則消費者均衡時，，即，又根據預算約束線，有，聯合可得：

恩格爾曲線表示消費者在每一收入水平對某商品的需求量，因此商品的恩格爾函數為，相應的商品的恩格爾曲線為一條向右上方延伸的直線；商品的恩格爾函數為，相應的商品的恩格爾曲線也為一條向右上方延伸的直線。

7．某消費者的偏好由以下效用函數描述：，其中是的自然對數。商品1和商品2的價格分別為和，消費者的收入為。

（1）寫出消費者的最大化問題。

（2）求出需求函數和。

（3）設價格，畫出每種商品與此價格相應的恩格爾曲線，該曲線描述了商品需求和收入之間的關系（經濟學家的習慣是把收入作為縱坐標）。

（4）設，，畫出商品1的需求曲線，該曲線描述了商品需求和價格之間的關系（經濟學家的習慣是把價格作為縱坐標）。

（5）判斷商品1和商品2是正常品還是劣等品，是普通品還是吉芬品，是互補品還是替代品。（復旦大學2004研）

解：（1）消費者的最大化問題即在收入約束下，消費者效用最大化。用數學表達式表示為：

（2）消費者的預算線方程：。

由消費者的效用函數，可得出商品和的邊際效用，即，。

根據消費者效用最大化的一階條件，可得：。

將上式代入預算線方程，可得：，。

（3）當價格時，，。與價格相對應的兩種商品的恩格爾曲線如圖3-16所示。

圖3-16  時兩種商品的恩格爾曲線

（4）當，，商品1的需求函數為：。商品1的需求曲線如圖3-17所示。

圖3-17  商品1的需求曲線

（5）由商品1、商品2的需求函數以及商品的收入彈性可以看出，商品1和商品2都是正常品。根據需求交叉彈性可以得出，，因此商品1和商品2是無關品，不存在相關關系。

8．假設存在一個社會，這個社會由三個消費者組成，他們分別是1，2，3，同時該社會存在著兩種商品，分別是和。經濟學家Debreu對這三個消費者的消費行為進行分析，他認為1，2，3的偏好可以分別用如下的效用函數來表示：

①；

②，其中；

③，其中。

（1）請畫出消費者1的無差異曲線以及偏好的上等值集；

（2）假如商品和商品的價格分別是2單位貨幣和3單位貨幣，同時消費者1擁有120單位貨幣，試計算他對和的最優消費量；

（3）證明：消費者2和消費者3的偏好是一致的；

（4）現在假設商品和商品的價格分別是和，消費者2擁有單位貨幣，請計算他的消費選擇；

（5）用公式和圖像給出消費者3對于商品的收入—消費路徑。（復旦大學2007研）

解：（1）根據序數效用理論，無差異曲線是維持效用不變的商品組合的軌跡，偏好的上等值集就是無差異曲線右上方部分。根據消費者1的效用函數，其無差異曲線及上等值集如圖3-18所示。

圖3-18  消費者1的無差異曲線及上等值集

（2）消費者1的預算線方程：。

由消費者1的效用函數，可得出商品和的邊際效用，即。

根據消費者效用最大化的一階條件，可得：。

將上式代入預算線方程，可得：。

即消費者1對和的最優消費量為（30，20）。

（3）根據效用函數的性質：效用函數的線性變換依然是同一偏好的效用函數。對消費者2的效用函數進行取自然對數的線性變換，可得：。

令，，因此。

因此，消費者2和消費者3的效用函數是同一偏好的效用函數，即消費者2和消費者3的偏好是一致的。

（4）消費者2的預算線方程：。

由消費者2的效用函數，可得出商品和的邊際效用，即。

根據消費者效用最大化的一階條件，可得：。

將上式代入預算線方程，可得：，。

即消費者2對和的最優消費量為，。

（5）消費者3的偏好和消費者2的偏好是一致的，因此消費者3的最優化問題和消費者2是相同的。

消費者3的恩格爾曲線方程為：，其中的價格為常數。恩格爾曲線方程就是商品的收入—消費路徑，如圖3-19所示。

圖3-19  消費者3對于商品的收入—消費路徑

9．市場上黃瓜價格元，西紅柿價格元，張三的收入為50元，其效用函數為的平方根。

（1）根據上述條件計算張三的最大效用；

（2）作出張三的無差異曲線和預算線的圖，分析張三的最優消費組合，與（1）對比，說明其有何區別并說明理由。（中國人民大學2010研）

解：（1）由題意得預算約束方程為。

由效用函數得，。

邊際替代率：。

可見邊際替代率是隨著的增加而增加的，所以不能根據消費者均衡條件去求效用最大化時的消費組合（最大化的二階條件不滿足）。

此時效用最大化的點只能在預算線上的兩個端點處獲得，在點處的效用為，在另外一個點的效用為，因此張三的最大效用是。

（2）張三的無差異曲線和預算線如圖3-20所示。

可以看出，無差異曲線是以原點為中心的一條條圓弧，而預算線是一條直線，一條無差異曲線與預算線相切于點，而另一條無差異曲線與預算線相交于點，點是張三效用最小化的那一點，而點是張三效用最大化的那一點，不難算出張三的最優組合為，這和（1）的結果一致。

圖3-20  張三的無差異曲線和預算線

10．小李在時期1的收入為1000元，在時期2的收入為1200元，他跨期的效用函數為，利率為25%。請回答以下問題：

（1）畫出小李的預算線，并標明其斜率和收入稟賦點；

（2）求小李兩個時期的最優消費，并標注在上圖中；

（3）如果政府加征20%的利息收入稅，請重新計算小李的預算線以及跨期最優消費，并標注在圖中。（南開大學2007研）

解：（1）由題意知：，，，則：

小李第1時期的最大的消費量；

小李第2時期的最大消費量。

因此，小李的預算線如圖3-21所示，其斜率。

收入稟賦點為點（1000，1200）。

（2）把相關參數代入小李預算線方程可得：。

小李第1期邊際效用為：；

小李第2期邊際效用為：。

根據消費者效用最大化的條件，可得。

將上式代入預算線方程，可得：，，小李的最優消費點為點（1568，490），如圖3-21所示。

圖3-21  跨期預算約束與最優選擇

（3）如果政府加征利息收入稅，則此時小李的預算約束為：

代入有關參數可得預算約束方程：。

把預算約束方程代入效用函數可得：。

效用最大化的一階條件為：

求解可得：。

將代入預算約束方程，可得：。

因此，消費者的最優選擇點為B點（440，1760），如圖3-21所示。