第2篇　選擇與需求

第3章　偏好與效用

1．畫出下列效用函數的無差異曲線，并判斷它們是否是凸狀的（即邊際替代率是否隨著的增加而遞減）。

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

答：（1）無差異曲線如圖3-1所示，為一組直線。邊際替代率為：，為一常數，因而無差異曲線不是凸狀的。

圖3-1  完全替代型的無差異曲線

（2）無差異曲線如圖3-2所示，為性狀良好的無差異曲線。邊際替代率為：，隨著的遞增，將遞減，因而有凸的無差異曲線。

圖3-2  凸狀的無差異曲線

（3）無差異曲線如圖3-3所示。邊際替代率為：，因而邊際替代率遞減，無差異曲線是凸狀的，此為擬線性偏好的效用函數。

圖3-3  擬線性型的無差異曲線

（4）無差異曲線如圖3-4所示。

邊際替代率為：，因而邊際替代率遞增，無差異曲線不是凸狀的。

圖3-4  凹狀的無差異曲線

（5）無差異曲線如圖3-5所示。

邊際替代率為：，因而邊際替代率遞減，無差異曲線是凸狀的。

圖3-5  凸狀的無差異曲線

2．在第3章的腳注7中，我們已經證明：為例使得一個關于兩個商品的效用函數有嚴格遞減的（即該函數嚴格擬凹），則如下的條件必須成立：

利用該條件檢驗第1題中的每個效用函數相應的無差異曲線的凸性。描述此過程中你發現的任何捷徑。

答：在第1題中，由于所有的一階偏導數都是正的，所以僅需要檢驗二階偏導數。

（1）因為，所以該效用函數不是嚴格擬凹的。

（2）因為，，，所以該效用函數是嚴格擬凹的。

（3）因為，，，所以該效用函數是嚴格擬凹的。

（4）盡管僅考察時的情形，但是二階偏導數的符號是不確定的，所以效用函數不一定是嚴格擬凹的。

（5）因為，，，所以效用函數是嚴格擬凹的。

3．對于如下效用函數：

（1）

（2）

（3）

證明：盡管這些效用函數具有遞減的，但是它們分別顯示出邊際效用不變、遞增、遞減。你能從中得出什么結論？

證明：（1），，，，；

（2），，，，；

（3），，，，。

從以上分析可知，單調變化會影響遞減的邊際效用，但是不會影響邊際替代率。

4．如圖3-6所示，一種證明無差異曲線的凸性的方法是，對于特定無差異曲線上的任何兩點（，）和（，），兩點的中點相應的效用至少與一樣大。利用此方法來討論如下效用函數的無差異曲線的凸性。務必圖示你的結論。

圖3-6  利用圖形判斷凸性

答：（1）如果兩個商品組合的數量相等，則有：

如果兩個商品組合的數量不同，不失一般性，可設：，因而有：

從而可知無差異曲線如圖3-7所示，是凸狀的。

（2）由（1）可知，兩個商品組合的數量相等，則有：

如果兩個商品組合的數量不同，不失一般性，可設：，因而有：

，

從而可知無差異曲線如圖3-7所示，不是凸狀的，而是凹狀的。

（3）在完全替代型的效用函數下，有：

因而無差異曲線既不是凹狀的，也不是凸狀的，而是線性的。

圖3-7  利用圖形來判斷無差異曲線的性狀

5．Phillie Phanatic總是喜歡以一種特定的方式來吃BallparkFranks牌的熱狗：他將1英尺長的熱狗，恰好配以半塊小圓面包，1盎司芥末以及2盎司的咸菜調味品同時食用。

他的效用是以上四種物品的函數，并且額外一種物品的數量增加而其他成分不變是不會增加他的效用的。

（1）Phillie Phanatic對于這四種物品的效用函數的形式是什么？

（2）我們可以如何將Phillie Phanatic的效用視為一種商品的函數來簡化問題？這種商品是什么？

（3）假設每英尺熱狗的價格為1美元，小圓面包價格為0.5美元，每盎司芥末的價格為0.05美元，每盎司咸菜調味品的價格為0.15美元，則（2）問中定義的商品的價格是多少？

（4）如果每英尺熱狗的價格增加50%（即增至1.5美元），則該商品的價格增加的百分比是多少？

（5）小圓面包的價格上漲50%將如何影響該商品的價格？你的答案與（4）問中有何不同？

（6）如果政府對Phillie Phanatic購買的每單位商品征稅1美元，則稅收將如何在這四種商品中分擔，從而使Phillie Phanatic的效用成本最小化？

解：（1）如果代表熱狗，代表小圓面包，代表芥末，代表調味品，則Phillie Phanatic的效用函數可以表示為：

這是完全互補效用函數。

（2）可以將Phillie Phanatic的效用視為一種商品的函數來簡化問題，即將上述四種物品的組合視為是一種完全調配好的熱狗。

（3）該種商品的價格是：（美元）。

（4）如果熱狗的價格增至1.5美元，則該商品的價格為：

（美元）

因此，該種商品的價格上漲幅度為：。

（5）如果小圓面包的價格增至（美元），則該種商品的價格為：

（美元）

因此，該種商品的價格上漲幅度為：。

（6）提高價格以使完全調配好的熱狗的價格增至2.6美元，從而在征稅1美元的情況下，這將等價于購買力的總額減少。為使Phillie Phanatic的效用成本最小化，增收的1美元稅收應該在各種商品之間按固定比例分擔，即按進行分擔。即對每英尺熱狗征稅0.22美元，每單位小圓面包征收0.44美元，每盎司芥末征收0.22美元，每盎司咸菜征收0.11美元，此時Phillie Phanatic的效用成本最小。

6．許多廣告語似乎表明了人們的某些偏好。你將如何利用效用函數來描述下列廣告語？

（1）人造黃油與真黃油一樣好。

（2）飲可口可樂，萬事如意。

（3）你不能僅吃Pringle牌的薯條。

（4）Krispy Kreme牌的油炸餅圈就是比Dunkin牌的好。

（5）Miller Brewing建議我們“負責任地”喝（啤酒）。（什么是“不負責任地”喝酒呢？）

答：（1）如果用代表人造黃油消費量，代表真黃油消費量，則效用函數可以表示為：

這表示人造黃油和真黃油是完全替代品，它們之間的替代比率是1∶1。

（2）如果用代表其他商品的消費量，代表可口可樂的消費量，則效用函數可以表示為：，且滿足：。

例如效用函數就可以表示這種偏好。

（3）如果用代表Pringle牌的薯條的消費量，代表其他商品的消費量，則效用函數可以表示為：

，對于所有的以及成立。

（4）如果用代表Krispy Kreme牌的油炸餅圈的消費量，代表Dunkin牌的油炸餅圈的消費量，代表其他商品的消費量，則效用函數可以表示為：，對于所有的成立。

（5）如果用代表其他人的效用水平，代表其他商品的消費量，代表啤酒的消費量，則效用函數可以表示為：，且滿足（這表示有利他偏好，說明他喝酒是負責任的），一個人喝酒會影響別人的效用水平。

7．假設某人起初擁有一定數量的兩種商品，這兩種商品都會給他（她）帶來效用。兩種商品的初始數量分別為：和。

（1）在此人的無差異曲線圖中畫出初始的商品組合。

（2）如果此人可以用與其他人交換（或用交換），則他（她）將自愿進行何種類型的交換？他（她）將不愿進行何種類型的交換？這些交換如何與此人在點（，）處的有關？

（3）假設此人對其擁有的初始商品數量較為滿意，并且僅考慮那些能使其效用增加的交換。你將在無差異曲線圖中如何反映這一點？

答：（1）此人無差異曲線如圖3-8所示，它的初始商品擁有量為圖中的點。

（2）任何不同于在（，）處的的交易機會都有可能提高效用水平。如圖3-8所示，代表了提高效用的交換。

（3）對初始商品組合的偏好要求交換活動能夠大幅度提高效用才能促使交換發生。因而交換活動只有在交換后的顯著不同于在（，）處的時才更有可能發生，如圖3-8所示。

圖3-8  無差異曲線及交換活動對效用的影響

8．柯布-道格拉斯效用函數的邊際替代率為：

（1）這個結果是否取決于？它與選擇理論有無關系？

（2）對于一組商品，其邊際替代率如何取決于和？為什么時，？請圖示你的直觀解釋。

（3）與為給定的最低生活水平，假設某人的效用僅僅是由超過這一最低水平的與的數量來決定，在這種情況下，

這是一個位似函數嗎？

答：（1）邊際替代率為：

這個結果與生產理論不同，不取決于的值。在消費理論中無關緊要，因為效用惟一取決于單調變換。

（2）對于一組商品，邊際替代率為：，如果，則消費者對的評價相對更高，從而

。

（3）該函數關于（）和（）是位似的，而關于和不是位似的。

9．如果效用函數滿足：



則稱它的兩種商品具有獨立的邊際效用。試證明當我們假定每一種商品的邊際效用為遞減時，具有獨立邊際效用的效用函數都會有遞減的邊際替代率。舉例證明其逆命題是錯的。

證明：意味著只要，，則遞減。原命題得證。

原命題的反命題是：如果具有獨立邊際效用的任一效用函數都會有遞減的邊際替代率，則每一種商品的邊際效用是遞減的。下面來證明此命題不一定成立。

在兩種消費商品的效用函數下，遞減的邊際替代率意味著下式成立：

當時，上式變為。顯然，這無法推出，的結論。

10．（1）證明：CES函數

是位似函數。如何取決于？

（2）證明：從（1）問中所得的結論與我們對（完全替代）和（柯布-道格拉斯）情形下的討論相符。

（3）證明：對于所有的，是嚴格遞減的。

（4）證明：如果，則這個函數的僅取決于和相對值的大小。

（5）計算或情況下，當，時，這一函數的？當在附近變動時，它的變動程度如何？你如何從幾何圖形上給予解釋？

證明：（1）邊際替代率為：

因而該函數是位似的。

又因為：，所以當時，，即隨著的遞增，遞減；

當時，，即隨著的遞增，遞增；

當時，，即隨著的遞增，不變。

（2）如果，為一常數；如果，，這與第8題的結論相符。

（3）對于所有的，有：，所以遞減。

（4）當時，，所以僅取決于、相對值的大小。

（5）當時，，；

當時，，。

因此，在時比在時變化得更快。越小，無差異曲線更為陡峭。特別地，當時，無差異曲線為表示固定比例偏好的L型。