5.2　課后練習(xí)題詳解

1．考察一種有三種可能結(jié)果的彩票：

●獲得125美元的概率為0.2；

●獲得100美元的概率為0.3；

●獲得50美元的概率為0.5。

（1）該彩票的期望收益是多少？

（2）結(jié)果的方差是多少？

（3）一個風(fēng)險中性者愿意花多少錢購買這種彩票？

解：（1）期望收益（美元）。

（2）收益方差。

（3）一個風(fēng)險中性者愿花80美元購買這種彩票，即他愿意支付的價格等于期望收益。

2．假設(shè)你正投資于一家新成立的計算機公司，該公司的盈利取決于兩個方面：（1）美國國會是否會通過關(guān)稅議案，從而提高日本產(chǎn)計算機的價格；（2）美國經(jīng)濟增長的快慢。你要關(guān)注的四種相互排斥的情形分別是什么？

答：四種可能處于的狀態(tài)為：

3．理查德正在決定要不要購買州發(fā)行的彩票，每張彩票的價格為1美元，取得回報的概率如下所示：

（1）如果理查德購買了一張彩票，它的期望收益是多少？方差呢？

（2）理查德的綽號是“無風(fēng)險的草堆”，因為他對風(fēng)險極度地規(guī)避。他會購買彩票嗎？

（3）理查德獲得了1000張彩票。討論一下你將怎樣確定他愿意賣出這1000張彩票的最低價格？

（4）從長期來看，給定彩票的價格和回報/概率表，你認(rèn)為該州可以從該活動中得到什么？

解：（1）期望收益（美元）。

方差。

（2）理查德是不可能購買彩票的，盡管期望收益大于價格，即：

1.025美元＞1.00美元

因為對于理查德來說，從彩票中獲得的期望回報并不足以補償他所冒的風(fēng)險。

現(xiàn)假定他有10美元，買了一張彩票，在四種情況下，他可能得到的收入為：9.00美元，10.00美元，11.00美元和16.50美元，假定他的效用函數(shù)為，那么期望效用為：

此時，他得到的期望效用小于他不買彩票時的效用：，因此他不會買彩票。

（3）理查德獲得1000張彩票，他的期望收益為1025美元，但他從這些彩票中可能獲得的收益從0美元（所有彩票回報都為0的極端情況）一直到7500美元（所有彩票回報都為7.5美元的極端情況）。基于這種不確定性和理查德是風(fēng)險極度規(guī)避者的條件，可以知道理查德會愿意在期望收益不足1025美元情況下出售所有彩票，更準(zhǔn)確的說是1025美元減去他的風(fēng)險溢價。為了找到這個價格，首先要計算彩票給他帶來的期望效用，再利用他的效用函數(shù)，可以找到給他帶來同樣效用所對應(yīng)的收益值，這一準(zhǔn)確數(shù)值即為所求。

（4）從長期來看，每張彩票將會損失0.025美元，該州將會破產(chǎn)。給定了彩票價格和報酬概率，發(fā)行者應(yīng)該提高彩票的價格；降低彩票正收益的概率，提高彩票0收益的概率。

4．假設(shè)一位投資者關(guān)心的某項商業(yè)項目可能有三個前景——其概率與回報如下表所示。

這項不確定性投資的期望收益、方差各是多少？

解：期望收益（美元）。

方差。

5．你是一名保險代理人，正與一個新顧客山姆簽訂合同。他的公司生產(chǎn)蛋黃醬的替代品，目前正致力于為三明治佐料行業(yè)研制一種低脂低膽固醇的蛋黃醬。生產(chǎn)三明治的廠商愿意為最先的發(fā)明者支付高額的費用以獲得這樣一種蛋黃醬的專利權(quán)。山姆的公司對你而言很具風(fēng)險性，你算出了他的可能收益表，如下所示。

（1）山姆這個項目的期望收益是多少？方差呢？

（2）山姆最多愿意付出多少錢來購買保險？假定他是風(fēng)險中性的。

（3）假設(shè)你發(fā)現(xiàn)日本正計劃于下月推出他們自己的蛋黃醬替代品，而不知此情的山姆剛剛拒絕了你提出的保險費為1000美元的方案。假定山姆告訴你他們公司將在6個月內(nèi)推出新產(chǎn)品，以及你知道日本的上述計劃，那么在你與山姆接下來的談判中，你是提高還是降低保單費用？山姆在他已有信息的基礎(chǔ)上，會接受你的建議嗎？

解：（1）期望收入（美元）。

方差。

（2）當(dāng)保險費是1000美元時，并且期望收入為1000美元，因為山姆是風(fēng)險中性的，期望收入與保險后的確定收益相等時，兩者對他而言沒有區(qū)別，所以他不會付任何保險費。

（3）日本公司的進入將降低山姆獲得高收益的可能性。例如，假設(shè)他獲得10億美元收益的可能性降為0.0001，那么山姆的期望收入為：

（美元）

這樣，保險代理人應(yīng)該把保險費提到很高的水平。但是，如果山姆不知道日本公司的進入，那么他將繼續(xù)拒絕保險代理人的提議。

6．假設(shè)娜塔莎的效用函數(shù)為給出，式中，為以千美元為單位的年收入。

（1）娜塔莎是風(fēng)險偏好型的、風(fēng)險中性的，還是風(fēng)險規(guī)避型的？請解釋。

（2）假設(shè)娜塔莎現(xiàn)在的收入為40000美元（），同時明年也肯定可以獲得同樣的收入。她現(xiàn)在面臨另外一個工作機會，該工作獲得44000美元收入的概率為0.6，獲得33000美元收入的概率為0.4。她會選擇這個新工作嗎？

（3）在（2）中，娜塔莎為了規(guī)避新工作對應(yīng)的收入的波動，愿意購買保險嗎？如果愿意，她愿意支付多少保費？（提示：風(fēng)險溢價是多少？）

解：（1）娜塔莎是風(fēng)險規(guī)避型的。

效用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)是負(fù)的（），即收入的邊際效用是遞減的，因此娜塔莎是風(fēng)險規(guī)避型的。

（2）娜塔莎目前工資的效用是；

新工作收入的期望效用是：。

因為新工作收入的期望效用小于目前工資的效用，所以她不會換工作。

（3）她愿意購買保險。

如果娜塔莎接受了新工作，其期望收入為（美元）。

如果娜塔莎接受了新工作，那么她將愿意為新工作收入的期望效用與新工作的期望收入的效用差距支付保險費，以保證獲得期望收入水平下的效用。

在（2）中已經(jīng)求出新工作收入的期望效用是19.85，假設(shè)它相當(dāng)于一項數(shù)額為的穩(wěn)定收入帶來的效用，即，解得：（美元）。

所以，娜塔莎愿意支付的保險費為：39600－39402＝198（美元）。

7．假定兩個投資項目有相同的三個支付，但是每個支付相對應(yīng)的概率各不相同，如下表所示：

（1）求每個投資項目的期望報酬和標(biāo)準(zhǔn)差。

（2）吉爾的效用函數(shù)為，式中，為支付。她會選擇哪個投資項目？

（3）肯恩的效用函數(shù)為，他會選擇哪個投資項目？

（4）勞拉的效用函數(shù)為，她會選擇哪個投資項目？

解：（1）投資項目A的期望收益為：

（美元）

該項目方差為：

因而投資項目A的標(biāo)準(zhǔn)差為：。

投資項目B的期望報酬為：

（美元）

該項目方差為：

因而投資項目B的標(biāo)準(zhǔn)差為：。

（2）吉爾從項目A中獲得的期望效用值為：

吉爾從項目B中獲得的期望效用值為：

因此，兩個投資項目帶給吉爾的期望效用都是相等的，而吉爾又是風(fēng)險中性的，所以她對這兩個投資項目沒有差異。

（3）肯恩從項目A中獲得的期望效用值為：

肯恩從項目B中獲得的期望效用值為：

肯恩將會選擇投資項目A，因為投資項目A能帶給他較高的期望效用。此外，肯恩是風(fēng)險規(guī)避的，因而他偏好波動性更小的投資項目。

（4）勞拉從項目A中獲得的期望效用值為：

勞拉從項目B中獲得的期望效用值為：

勞拉將會選擇投資項目B，因為投資項目B能帶給她較高的期望效用。勞拉是風(fēng)險愛好的，因而她偏好波動性更大的投資項目。

8．作為一位擁有25萬美元財富的農(nóng)場主，你要在坐等這個季節(jié)過去、將上年的收入（20萬美元）投入一個報酬為5%的無風(fēng)險貨幣市場基金上與種植夏季玉米之間作選擇。種植的成本為20萬美元，6個月之后可以收割。如果雨水充足，那么種植夏季玉米在收割時將獲得50萬美元的收入；如果遇到干旱，那么收益將為5萬美元。第三種選擇是你可以購買農(nóng)業(yè)公司的抗干旱夏季玉米，成本為25萬美元，如果雨水充足，將會有50萬美元的收益，如果遇到干旱，那么收益為35萬美元。你是風(fēng)險規(guī)避型的，同時你對家庭財富（）的偏好由關(guān)系式

具體給出。這個夏季發(fā)生干旱的概率為0.30，而雨水充足的概率為0.70。

你將選擇上述三個投資項目中的哪一個？請解釋。

答：第一個投資項目所能帶來的期望效用為：

第二個投資項目所能帶來的期望效用為：

第三個投資項目所能帶來的期望效用為：

因而最終將選擇第一個投資項目，因為第一個投資項目所帶來的期望效用最高。

該題中，種植玉米的周期為6個月，而貨幣市場基金的利率5%。如果是年利率，應(yīng)該將三個投資項目放在同一個時間周期內(nèi)考查。因此，貨幣市場基金6個月的利率為2.5%，從而第一個投資項目帶來的期望效用為：

。此時，第一個投資項目帶來的期望效用仍是最高的，但比第三個投資項目的期望效用只高出很小的幅度。

9．畫出這樣一個人的以收入為變量的效用函數(shù)曲線：他在收入較低時為風(fēng)險偏好型的，但在收入較高時為風(fēng)險規(guī)避型的。你能說明為什么這樣一個效用函數(shù)可能合理地描述了一個人的偏好嗎？

答：假設(shè)一人維持生活的最低收入為。如圖5-1所示，當(dāng)收入大于時，其邊際效用是遞減的，此時他是風(fēng)險規(guī)避者，為了避免損失他可能會購買保險；當(dāng)收入小于時，他是風(fēng)險愛好者，為維持生活他會冒險從事高風(fēng)險的投機活動以獲取較大的收入。所以，這樣一種效用函數(shù)能夠合理地解釋該投資者的偏好。

圖5-1  表示收入高低情況下不同風(fēng)險偏好的效用曲線

10．市政當(dāng)局正在考慮花多少錢去雇傭人員來監(jiān)控停車計時器。當(dāng)局知道的信息有：

●雇傭一個計時器監(jiān)視人員每年需花費1萬美元；

●雇傭一個監(jiān)視人員時，違章者受到處罰的概率為0.25；

●雇傭兩個監(jiān)視人員時，受到處罰的概率變?yōu)?.5；三個時概率為0.75；四個時等于1；

●目前有兩個監(jiān)視人員，違章超時停車的罰款為20美元。

（1）假設(shè)所有的司機都是風(fēng)險中性的，為了在最小成本下維持現(xiàn)在的處罰率，市政當(dāng)局會對每次違章開出多少罰款？雇傭多少監(jiān)視人員（1，2，3還是4）？

（2）假設(shè)所有司機都是風(fēng)險規(guī)避型的，那么你對（1）的回答又如何？

（3）（討論）如果司機為規(guī)避違章停車處罰的風(fēng)險購買了保險，情況又會怎樣呢？從公共政策的角度而言，準(zhǔn)許這樣的保險服務(wù)合理嗎？

答：（1）如果司機是風(fēng)險中性的，則他們的行為僅取決于期望的罰款數(shù)額。雇傭兩人時，處罰率為0.5且罰款為20美元，此時期望罰款為10美元。為了維持期望的罰款數(shù)額，雇傭一人時，罰款應(yīng)定為40美元，雇傭三人時，罰款定為13.33美元，雇傭四人時，罰款定為10美元。

為了在保持目前的處罰率下維持最小成本，市政當(dāng)局要盡量少雇傭監(jiān)視員，所以市政當(dāng)局可以只雇傭一人，對每次違章的罰款定為40美元。

（2）如果司機是風(fēng)險規(guī)避型的，不到40美元的罰款將保持目前的處罰率。

（3）司機可以采取多種方法來逃避罰款，例如在他們目的地旁邊不受監(jiān)視的停車點停車，或者使用公共交通工具。如果私人保險公司可以為司機受到的處罰買單，司機們就不會再采取其它形式來避免罰單，他們可以在自己需要的區(qū)域任意停車，因為他們的私人成本為0，從而導(dǎo)致司機們獲得更多超時停車罰單，此時道德風(fēng)險問題難以避免，最終可能導(dǎo)致違章停車處罰的保險市場崩潰。

從公共政策的角度而言，允許提供這種保險是不合理的。對違章停車進行處罰鼓勵人們對相對稀缺的停車場有效率的使用，當(dāng)司機為規(guī)避違章停車處罰的風(fēng)險購買了保險，他們就不再有激勵使用公共交通方式、尋找偏僻的停車地點或盡可能縮減停車時間來避免被處罰，這就使得無法找到停車位的人受到損害，停車場資源的配置不能達到最優(yōu)化。允許提供這種保險對停車場的有效使用產(chǎn)生不利影響，并不是一項好的公共政策。

11．有一位投資者對風(fēng)險的規(guī)避程度適中，其投資組合50%投資于股票，另50%投資于無風(fēng)險的國庫券。分別說明下述各個事件對該投資者的預(yù)算線以及股票在投資組合中的比重會有怎樣的影響：

（1）股票市場報酬的標(biāo)準(zhǔn)差增加了，但是期望收益保持不變；

（2）股票市場的期望收益增加了，但是報酬的標(biāo)準(zhǔn)差保持不變；

（3）無風(fēng)險國庫券的收益增加了。

答：（1）預(yù)算線方程為：

是資產(chǎn)組合的期望報酬，是風(fēng)險資產(chǎn)的期望收益，是無風(fēng)險資產(chǎn)的期望收益，是風(fēng)險資產(chǎn)報酬的標(biāo)準(zhǔn)差，是資產(chǎn)組合報酬的標(biāo)準(zhǔn)差，預(yù)算線方程展示了資產(chǎn)組合報酬和標(biāo)準(zhǔn)差的正向變化關(guān)系。

在這種情況下，如果股票市場上的報酬標(biāo)準(zhǔn)差增加，也即預(yù)算線的斜率變小，預(yù)算線將更加平滑。給定任何資產(chǎn)組合報酬的水平，該報酬水平將會對應(yīng)更大的標(biāo)準(zhǔn)差，所以投資者會減少股票在資產(chǎn)組合中所占的比例。

（2）如果股票市場上的期望收益增加，預(yù)算線的斜率會發(fā)生變化，預(yù)算線變得更加陡峭。給定報酬的標(biāo)準(zhǔn)差，將會對應(yīng)更高的資產(chǎn)報酬。在這種情況下，股票的期望收益增加而風(fēng)險不變，變得相對具有吸引力，投資者會增加股票在資產(chǎn)組合中所占的比例。

（3）無風(fēng)險國庫券的報酬增加，預(yù)算線會向上移動，而且變得更加平滑。股票在資產(chǎn)組合中所占的比例可能增加也可能減少。

一方面，投資者可以從國庫券上獲得更大的報酬，所以可以減少對國庫券或股票的持有而仍然保持原來的報酬水平；另一方面，投資者可能愿意把更多的儲蓄用于風(fēng)險資產(chǎn)的購買，這取決于該投資者的偏好和這兩種資產(chǎn)的總報酬規(guī)模。這種情況類似于利率增加對儲蓄的影響，一方面因為報酬增加所以增加儲蓄；但另一方面由于可以減少儲蓄而仍然保持原來的儲蓄規(guī)模下的報酬水平，所以可能減少儲蓄。