第4章附錄　需求理論——一種數(shù)學(xué)的處理方法

課后練習(xí)題詳解

1．下面的效用函數(shù)中哪些符合凸的無差異曲線，哪些并不符合？

（1）；

（2）；

（3），式中是和兩個(gè)數(shù)值中的最小值。

答：（2）中效用函數(shù)符合凸的無差異曲線，（1）和（3）中的都不符合。

三者的無差異曲線分別如圖4-1（1）、4-1（2）和4-1（3）所示。

圖4-1（1）  效用函數(shù)（1）的無差異曲線

圖4-1（2）  效用函數(shù)（2）的無差異曲線

圖4-1（3）  效用函數(shù)（3）的無差異曲線

2．證明下面的兩個(gè)效用函數(shù)導(dǎo)出的商品和的需求函數(shù)是相同的。

（1）；

（2）。

證明：用和分別表示商品的價(jià)格和數(shù)量，和分別表示商品的價(jià)格和數(shù)量，用表示收入。

（1）效用函數(shù)為：。

預(yù)算約束方程為：。

對應(yīng)的拉格朗日函數(shù)為：

就和求的微分，使偏導(dǎo)數(shù)等于零，即可得到效用最大化條件：

通過解上面三個(gè)方程，可以得到需求函數(shù)：

（2）預(yù)算約束方程為：。

效用函數(shù)為：。

對應(yīng)的拉格朗日函數(shù)為：

就和求的微分，使偏導(dǎo)數(shù)等于零，即可得到效用最大化條件：

通過解上面三個(gè)方程，可以得到需求函數(shù)：

所以，兩個(gè)效用函數(shù)導(dǎo)出的是相同的需求函數(shù)。

3．假設(shè)效用函數(shù)由給出，如本章附錄第1題（3）中的那樣。那么將因?yàn)?img alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/93D425/15436328504300406/epubprivate/OEBPS/Images/image621.png?sign=1753946067-3Fj5f3o2g3tElcfAPyWXSA9f6eDXATSM-0-7efe7341d71474537cadc53c745dc078">價(jià)格的變化而引起的需求的變化進(jìn)行分解的斯拉茨基方程是什么呢？什么是收入效應(yīng)？什么是替代效應(yīng)？

答：斯拉茨基方程是：

其中第1項(xiàng)是替代效應(yīng)，第2項(xiàng)是收入效應(yīng)。由于這一類型的效用函數(shù)，即完全互補(bǔ)型產(chǎn)品不存在作為價(jià)格變化的替代，所以替代效用為零。因此，此時(shí)的斯拉茨基方程改寫為：。

如圖4-2所示，X的價(jià)格下降，使得消費(fèi)者的預(yù)算約束線圍繞Y軸向外旋轉(zhuǎn)到，作與原無差異曲線相切并與新預(yù)算線平行的補(bǔ)償預(yù)算線。因、與相交于同一點(diǎn)，因此可知替代效應(yīng)為0。替代效應(yīng)則是由預(yù)算線從移動到決定的，即與的交點(diǎn)和與的交點(diǎn)之間所對應(yīng)的X需求量的增加。

圖4-2

4．莎倫有如下的效用函數(shù)：

式中，是她對棒棒糖的需求量，美元，是她對濃咖啡的需求量，美元。

（1）推導(dǎo)莎倫對棒棒糖和濃咖啡的需求函數(shù)。

（2）假定其收入為100美元，莎倫會消費(fèi)多少棒棒糖，多少濃咖啡？

（3）收入的邊際效用為多少？

解：（1）莎倫的效用最大化問題為：

對應(yīng)的拉格朗日函數(shù)為：。

效用最大化的一階必要條件為：

  ①

  ②

 ③

聯(lián)立解得：

（2）假定其收入為100美元，即。

所以，莎倫會消費(fèi)75個(gè)單位的棒棒糖，8.3個(gè)單位的濃咖啡。

（3）①②聯(lián)立可得：，將相關(guān)數(shù)據(jù)代入可得收入的邊際效用為。這一數(shù)據(jù)表明隨著莎倫消費(fèi)增加一美元，其效用增加0.058。

5．莫里斯的效用函數(shù)如下：

式中，為他對CD的消費(fèi)量，價(jià)格為1美元；為錄像帶的消費(fèi)量，租金價(jià)格為2美元。他計(jì)劃在這兩種形式的娛樂上花41美元。求最大化莫里斯效用的CD與錄像帶租賃數(shù)量。

解：莫里斯的效用最大化問題為：

拉格朗日方程為：

效用最大化的一階條件為：

　 （1）

  （2）

　  （3）

從而可得最優(yōu)的CD與錄影帶租賃數(shù)量分別為：。