二　阿拉伯的數學

（一）花拉子米與《代數學》

經過近一個半世紀的翻譯工作，阿拉伯人進入吸收和創造時期，從9世紀到14世紀，先后出現了一批著名的數學家，他們在吸收希臘、印度數學的基礎上，創造了阿拉伯數學，為數學的發展作出了重要貢獻。

阿拉伯原來只有數詞，沒有數字，在征服埃及、敘利亞等國后，先是使用希臘字母記數，后來接受印度數字，經過改進后，在12世紀傳入歐洲，所以歐洲人稱其為“阿拉伯數字”。這些數字主要是通過阿爾·花拉子米（Mo hammad ibn Musa al khowarizmi，約780—850）的著作傳入歐洲的。

阿爾·花拉子米是阿拉伯數學史上早期最重要的代表人物。花拉子米就學于中亞古城默夫（Meve），813年后到巴格達任職，成為“智慧宮”領頭學者。今天的“代數學”（algebra）一詞就起源于花拉子米的數學著作。這部阿拉伯文的數學手稿翻譯為拉丁文后書名為Al jabr w’al muqabala。Al jabr的原意是“還原”，就是指把負項移到方程的另一端變成正項；muqabala意即“對消”，即把方程兩端相同的項消去或合并同類項。清初，西方數學傳入中國，Algebra曾音譯為“阿爾熱巴達”，1859年由清代數學家李善蘭定名為“代數學”。

花拉子米的代數著作用十分簡單的問題說明解方程的一般原理。正如他在序言中所說：

在這本小小的著作里，我選的材料是數學中最容易和最有用途的，是人們在處理下列各項事務中經常需要的：在有關遺囑和繼承遺產的事物中，在分析財產、審理案件時，在買賣和人們的一切商業交易中，在丈量土地、修筑運河的場合中，在幾何計算和其他各種學科中……

花拉子米把這些實際問題化為一次或二次方程的求解問題，他把未知量稱為“硬幣”“東西”或植物的“根”，現在把解方程求未知量叫做“求根”正是來源于此。

花拉子米在《代數學》中系統地討論了六種類型的一次或二次方程問題。這些方程由下列三種量構成：根、平方、數。根就是未知數x，平方就是x2，數就是常數項。花拉子米的書中全用文字來敘述，如：

平方等于根　ax2=bx

平方等于數　ax2=c

根等于數　ax=c

平方和根等于數　ax2+bx=c

平方和數等于根　ax2+c=bx

根和數等于平方　bx+c=ax2

右列是其相應的代數方程，其中a, b，c都是整數。

在《代數學》中，花拉子米還講述了幾種方程的證明。對于方程x2+10x=39，花拉子米給出了兩種不同的幾何證明。他的第一種證法是在邊長為x的正方形的四個邊上向外作邊長為x和5/2的矩形（圖4.1之②），其面積為x2+10x=39，再把這個圖形補充為邊長為x+5的正方形（圖4.1之③），這個大正方形的面積等于x2+10x+25=39+25=64，因此其邊長為8，所以原來較小正方形的邊長x=8-5/2-5/2=3。這種方法就是現在中學數學中的配方法。

花拉子米的講解是這樣的詳盡和系統，對于每一個例子都細致地指明配平方的步驟，使讀者很容易掌握其方法，因而廣為流行。他所列舉的例子如x2+10x=39，x2+21=10x，3x+4=x2一直為后世數學家所沿用。數學史家卡平斯基（Karpinski）稱“方程x2+10x=39就像一條金鏈貫穿著幾百年的代數學”。正是在這個意義上，花拉子米被冠以“代數學之父”的稱號。

（二）阿拉伯的三角學

三角學在阿拉伯數學中占有重要地位，它的產生和發展與天文學有著密切的關系。在阿拉伯人所繼承的數學遺產中，與三角學有關的著作有印度天文名著《歷數書》、托勒密的《天文學大成》和梅內勞斯的《球面論》，這三部著名文獻是阿拉伯三角學發展的基礎。但是，阿拉伯人在希臘“弦表”的基礎上引進了新的三角量，如正割、余割，并揭示了這些三角量的性質和關系，給出了平面三角形和球面三角形的全部解法，并制造了一系列的三角函數表。其中最重要的工作是納速·拉丁（Nasir Eddin，1201—1274）的貢獻，這是因為，納速·拉丁在《論四邊形》中建立了三角學的系統知識，從基本概念到所有類型的問題的解法，從而使得三角學脫離天文學而成為數學的獨立分支。這部著作對于三角學在歐洲的發展有著決定性的影響。數學史家蘇特（H.Suter，1893）感慨地說：“假如15世紀歐洲的三角學者早知道他們的研究，不知還有沒有插足的余地？”

這里還應介紹的一個數學成就是伊朗數學家、天文學家阿爾·卡西（Jamshid Al Kashi，？—1429）在他的代表作《圓周論》中關于π的精彩計算。在圖4.2中，AB是直徑，D是弧BC的中點，卡西的計算依據這樣一個定理

令AC=Cn, AD=Cn+1，則有

記BC=an，直徑為d，則由畢達哥拉斯定理知

卡西取d=2，造了28張大表格，依次計算內接正3×228邊形的邊長，n=1，2，3，……，28，則有

他再以同樣的方法計算外切正3×228邊形的周長，取它們的算術平均值作為圓的周長。最后得到圓周率是3.1415926535897932。這17位數字全是準確數字。近千年來，由祖沖之保持的小數點后7位的紀錄終于被打破了。