§3.1　多元回歸模型的定義

一、多元回歸模型的意義

我們在第二章中探討了一元線性回歸模型的理論與應用。在一元線性回歸模型中，我們假定影響被解釋變量的因素只有一個，即解釋變量X，這種情形在計量經(jīng)濟分析中往往是不適宜的。因為在經(jīng)濟系統(tǒng)中，影響被解釋變量的重要變量往往不止一個。例如在收入-消費模型中，除了收入影響消費外，還有其他因素明顯地影響消費，很明顯財富就是影響消費的重要變量。在勞動力市場上，影響工資的變量不僅僅是工作年限，受教育程度也是影響工資的一個重要變量。因此，在回歸分析模型中，就需要引進更多的解釋變量。

多元回歸分析與一元回歸分析相比有如下優(yōu)點：

（1）多元回歸分析可以研究多個影響因素對被解釋變量的影響。

（2）在模型中增加一些有助于解釋Y的因素，Y的變動就能更好地予以解釋。因此，多元回歸分析有助于更好地預測。

（3）多元回歸模型更具有一般性。一元回歸模型中，只能有一個解釋變量，其函數(shù)形式不一定恰當。而多元回歸模型具有較大的靈活性，有利于對總體回歸模型做出正確的判斷。

多元回歸模型是經(jīng)濟學和其他社會科學進行計量分析時使用最為廣泛的一個工具。

二、含有兩個解釋變量的多元回歸模型

含有兩個解釋變量的多元回歸模型是最簡單的多元回歸模型。模型形式為

其中Yi是被解釋變量，X2i和X3i是解釋變量，ui是隨機干擾項，i指第i項觀測。

式（3.1）中的β1是截距頂。表面上看，β1代表X2和X3均取0時的Y的均值，但這僅僅是一種機械的解釋，實際上β1是指所有未包含到模型中來的變量對Y的平均影響。系數(shù)β2

和β3為偏回歸系數(shù)，β2表示在保持X3不變的條件下，X2每變化一個單位，Y的均值的變化。類似地，β3表示在保持X2不變的條件下，X3每變化一個單位，Y的均值的變化。

例如在汽車需求分析中，可設(shè)定模型為

其中Yt為汽車需求量，Pt為汽車價格，It為居民收入，t代表第t次觀測。（3.2）式中，汽車需求量主要受到價格和收入這兩個變量的影響。

又如在勞動力市場中，工資水平模型為

其中Wi為工資，ei為受教育水平，EPi為工作經(jīng)驗。式（3.3）表示工資水平主要受受教育水平和工作經(jīng)驗兩個變量的影響。

在含有兩個解釋變量的多元回歸模型中，經(jīng)典線性回歸模型的假定條件如下：

假定1　ui零均值，即

假定2　ui無序列相關(guān)，即

假定3　ui同方差，即

假定4　ui與每一個解釋變量無關(guān)，即

假定5　無設(shè)定偏誤。

假定6　解釋變量X之間無完全的共線性。即X2與X3之間無完全的共線性關(guān)系。

無完全的共線性的含義是，不存在一組不全為零的數(shù)λ2和λ3，使得

如果這一關(guān)系式存在，則該X2和X3是共線的或線性關(guān)系。例如，X2i=2X3i或X2i+X3i=0，則兩變量就是完全線性關(guān)系。

三、含有多個解釋變量的模型

多個解釋變量的多元回歸模型是一元回歸模型和二元回歸模型的推廣。含被解釋變量Y和k-1個解釋變量X2，X3，……，Xk的多元總體回歸模型表示如下：

其中β1為截距，β2，β3，……，βk為偏斜率系數(shù)，u為隨機干擾項，i為第i次觀測。式（3.9）的均值表達式為

把式（3.10）表示為增量形式則為

X2的系數(shù)β2的意義為：在所有其他變量X3i,X4i，……，Xki保持不變的條件下，X2改變一個單位而導致Yi的均值的變化量。即在保持X3，X4，……，Xk不變的條件下，有

其他斜率系數(shù)的意義與此類似。

例如，在汽車需求分析中，要研究競爭性市場中某一品牌汽車的需求。據(jù)需求理論，影響汽車需求的因素除了價格和收入外，還有與之競爭的其他品牌汽車的價格。因此，該品牌汽車的需求模型為

其中Yt為某品牌汽車需求量，Pt為該品牌汽車價格，It為居民收入為競爭性品牌汽車價格。

β2代表當居民收入It與競爭性品牌汽車價不變時，該品牌汽車價格降低1元，需求量增加的數(shù)量。

對于含有多個解釋變量的總體回歸模型，經(jīng)典假定表述如下：

假定1　E（ui）=0。

假定2　Cov（ui,uj）=0，其中i≠j。

假定3　Var（ui）=σ2。

假定4　X2，X3，……，Xk是非隨機變量，且Cov（ui,Xj）=0，其中j=2，3，……，k。

假定5　X2，X3，……，Xk之間無完全的多重共線性。

假定6　無設(shè)定偏誤。

假定7　為了假設(shè)檢驗ui～N（0，σ2）。

四、多元線性回歸模型的矩陣表達

對總體回歸模型（3.9）做n次觀測，可以得到樣本數(shù)據(jù)形式的多元線性回歸模型。這個模型包括n個方程和k個未知參數(shù)β1，β2，……，βk，即

（3.14）式的矩陣表達式為

其中

這里，Y是被解釋變量觀測值的n×1階列向量，X是解釋變量觀測值的n×k階矩陣，矩陣的每個元素Xji表示第j個變量的第i個觀測值。矩陣的每一列表示一個解釋變量的n個觀測值，截距項β1對應的觀測值均為1，β是未知參數(shù)的k×1階列向量，U是隨機誤差項的n×1階列向量。

與一元回歸相同，據(jù)樣本觀測值就可以得到樣本回歸函數(shù)。假設(shè)得到了未知參數(shù)β1，β2，……，βk的估計值，，……，，則樣本回歸函數(shù)可表示為

其隨機表達式為

式（3.16）和（3.17）的矩陣表達式分別為

其中

這里，是被解釋變量Y的n×1階擬合值列向量；是未知參數(shù)β的k×1階估計值列向量；e是殘差e的n×1階列向量。

經(jīng)典假定的矩陣表達如下：

假定1　ui（i=1，2，……，n）零均值假定

即

假定2　ui無序列相關(guān)假定

假定3　ui同方差假定

假定2和假定3的矩陣表達式是

稱Var（U）為隨機誤差項向量U的方差-協(xié)方差矩陣。

假定4　ui與每一個解釋變量無關(guān)

假定5　無設(shè)定偏誤。

假定6　解釋變量X之間無完全的共線性，解釋變量的樣本觀測矩陣X是滿秩矩陣，即R（X）=k。