第四章　正態分布和極限定理

第一節　什么是正態分布

第二章談到，為了全面了解變量，必須研究它的分布。分布的圖形是多種多樣的，有單峰、雙峰、對稱、非對稱、偏態、U形、J形等等。但在自然、經濟、社會等領域內，如人的身高、體重、一片森林的高度、學生成績、人的智商、測量的誤差、甚至公共入口門檻的磨損、海浪的高度等等隨機變量，都服從一類確定的分布規律，這類分布規律叫做正態分布。這種分布除了在自然界、社會經濟生活中大量存在外，還由于任何變量，不管其原有分布如何，如果把它們n個加在一起，當n大于一定數之后，例如大于30（n＞30），那么，其和的分布必然接近正態分布。這就是有名的中心極限定理。它在抽樣、統計推論中都占有很重要的位置。因此，可以說，在各種分布中，正態分布居于首要的地位。

正態分布（又稱常態分布或高斯分布），是最初由德國數學家高斯在研究誤差理論時發現的。現在通過實例來闡述導出正態分布的思想和方法，這是很有啟發性的。

[例]1.以下是100人初婚年齡的統計。根據統計分為七個區間，如表4-1所示。

表　4-1

根據表中數據，它的頻率直方圖，如圖4-1所示。

圖中橫軸為變量x，縱軸為頻率密度=頻率/組距。由于年齡是連續型的變量，我們可以把區間越分越細，不是用兩歲作為一個區間，而是用一歲，半歲……甚至更小到無窮小，作為一個區間，于是直方圖寬度越變越細，最終只剩下了中心值形成的線段，現在把這些緊挨著的中心值連接起來，就成了一條平滑的曲線，它稱作為正態分布的密度曲線，可見，分布密度曲線φ（x）實際上就是頻率直方圖的極限分布或理論分布。

分布密度曲線也可稱作概率密度曲線，因為分布密度下任意兩點x1-x2之間的面積，從直方圖來說，就是變量x在取值區間x1-x2的頻率，區間的頻率越高，人們從總體中抽取到該區間的可能性越大，而可能性大小是用概率來度量的，因此，對于平滑了的分布密度曲線，我們把頻率引申為概率P，縱軸的單位把頻率密度引申為概率密度。（頻率和概率的關系，在本章后面的大數定理中，還會進一步說明。）把分布密度曲線稱為概率密度曲線。而概率的概念對抽樣調查更為重要。

從圖（4-1）上可以看到，這條分布密度曲線φ（x）具有對稱起伏的形狀，形成“鐘形”曲線。它具有如下三個特征。

1.一個高峰：曲線是單峰，有一個最高點。

當x向左或向右遠離時，曲線不斷地降低。“中間高，兩邊低”與一個尖塔或古鐘相似。

2.一個對稱軸。曲線在高峰處有一個對稱軸，在軸的左右兩邊是對稱的。對稱軸是直線x=μ。

3.一個漸近線。曲線無論向左或向右延伸，都愈來愈接近橫軸，但不會和橫軸相交，以橫軸為漸近線。

由于正態分布曲線是單峰、對稱的。因此具有這種分布的變量，它的眾值、中位值和均值三者必然是重疊的。

根據實踐的經驗和理論的分析，正態分布的分布密度（概率密度）表達式（4-1）為：

其中π=3.14，e=2.72。

從正態分布的數學表達式，可以看出，當μ和σ確定后，正態曲線的圖形也就唯一地被確定了。μ和σ稱作正態分布曲線的兩個參數。

下面分別討論這兩個參數對曲線形狀的影響。

1.φ（x）在x=μ處達到峰值，在x=μ±σ處有拐點，且以直線x=μ為對稱軸（圖4-2）。

因此，在σ2一定的情況下，若μ增大，則圖形右移，反之μ減小，則圖形左移，但整個圖形形狀不變（圖4-3）。

其中μ3＞μ2＞μ1?

2.改變σ2值：當μ不變的情況下，σ越小，則對應的圖形越尖瘦。圖4-4給出了σ=2，σ=1，σ=0.5三種正態分布密度曲線。

綜合圖4-3和圖4-4，說明正態分布曲線的位置，是由μ決定的。而正態分布曲線的形狀“高、矮、胖、瘦”的特點，則是由σ所決定。

那么，參數μ和σ代表的意義是什么呢？實際上，通過積分，可以發現，μ和σ不是別的，μ正是正態分布曲線的均值，σ正是正態分布曲線的標準差。由于分布對應的是變量的總體描述，所以正態分布的μ和σ，是正態分布的總體均值和總體標準差。

以上μ和σ對圖形影響的討論，也正好反映了均值和標準差對分布影響的一般特征。

三、正態曲線下的面積

為了形象地理解正態曲線下面積所代表的含義，我們把正態曲線看做是一種極限的直方圖。它的組距甚小，以至于中心值頂點的連線已是一條平滑的曲線。而正態曲線下的面積，實際就是由這無數個小直方形拼接而成的（圖4-5）。

每一小塊面積根據直方圖的定義，代表的是隨機變量ξ在該小塊取值Δxi所出現的概率，或者說代表了總體中隨機變量ξ在該小塊取值Δxi的概率?

因此任意兩點x1-x2曲線下的概率，就是把從x1到x2點所有這些小塊面積加起來：

當然Δxi要非常之小，小到Δxi?0，只有這樣才能正確算出正態曲線下任意兩點x1-x2間的面積，一般它要通過積分才能算出，這里給出正態分布幾個典型取值間的面積或概率值：

1.變量取值在區間[μ-σ，μ+σ]之間的概率（圖4-6）：

P（μ-σ≤ξ≤μ+σ）=0.6827

圖4-6表明，變量取值在范圍[μ-σ，μ+σ]之間的概率為0.6827，其中μ、σ正如正態曲線的數學式（4-1）所表達的：μ代表總體的均值；σ代表總體的標準差。

2.變量取值在區間[μ-2σ，μ+2σ]之間的概率（圖4-7）：

P（μ-2σ≤ξ≤μ+2σ）=0.9545

圖4-7表明，變量取值在[μ-2σ，μ+2σ]之間的概率為0.9545。

3.變量取值在區間[μ-3σ，μ+3σ]之間的概率（圖4-8）：

P（μ-3σ≤ξ≤μ+3σ）=0.9973

圖4-8表明，變量取值在[μ-3σ，μ+3σ]之間的概率為0.9973。

根據正態分布圖形的對稱性，如果用σ作為取值的組距，那么，圍繞著μ，各σ所代表的概率將如圖4-9所示[6]。