第三章　概率基礎(chǔ)

第一節(jié)　概率

前面談到社會(huì)調(diào)查中最常用的方法是抽樣調(diào)查。抽樣調(diào)查是通過(guò)對(duì)抽樣（局部）的研究，達(dá)到對(duì)全體的判斷或推論，也就是以小看大的研究方法，它屬于歸納法的范疇，歸納法與演繹法所不同的，在于歸納法的結(jié)論大于前提，因此結(jié)論與前提間不是包含關(guān)系。歸納法的結(jié)論不能有百分之百的可靠性。它除了推理所預(yù)言的結(jié)果外，還可能存在其他結(jié)果。而研究各種可能出現(xiàn)的結(jié)果，及其所對(duì)應(yīng)出現(xiàn)可能性的大小，正是概率論所要研究的問(wèn)題。可見(jiàn)，對(duì)于通過(guò)抽樣調(diào)查，研究局部推論到總體，必須通過(guò)概率論作為工具或媒介。這也是學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)推論必須首先學(xué)習(xí)概率論的緣故。通過(guò)概率論，可以知道在一定條件下，總體的各種抽樣結(jié)果所具有的概率特性。而統(tǒng)計(jì)推論則是研究在發(fā)生了某種抽樣結(jié)果的情況下，判斷它來(lái)自何種總體更為合理。因此可以說(shuō)，統(tǒng)計(jì)推論是概率論研究的逆問(wèn)題。為了學(xué)習(xí)概率論，首先要了解概率論的研究對(duì)象。簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)，概率論的研究對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象。

一、什么是隨機(jī)現(xiàn)象

客觀現(xiàn)象可以分為確定性現(xiàn)象和非確定性現(xiàn)象。在很長(zhǎng)一段歷史時(shí)期內(nèi)，由于生產(chǎn)水平的限制，人們只限于研究確定性現(xiàn)象。例如，在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓的情況下，溫度上升到100℃，水必然沸騰。同樣，在社會(huì)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域內(nèi)，一個(gè)國(guó)家每年要支付多少薪金也是確定的。但除了確定性現(xiàn)象外，在自然、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)領(lǐng)域內(nèi)還存在另一類現(xiàn)象。這類現(xiàn)象的特點(diǎn)是在一定條件下，它無(wú)法像“水必然沸騰”那樣預(yù)言其必然發(fā)生。例如，我們無(wú)法預(yù)言某天將有多少人死亡；多少嬰兒將誕生；多少人因車禍而身亡；多少人結(jié)婚；多少人離婚；多少人從北京到上海；多少人晚間收看哪些電視節(jié)目等等。所有這些現(xiàn)象都有一個(gè)共同的特點(diǎn)，那就是在一定條件下（例如某天）事物的出現(xiàn)只具有可能性但不具有必然性。所謂可能而又不必然，則意味著在一定條件下出現(xiàn)的結(jié)果不止一種，因此對(duì)其中任一種結(jié)果的出現(xiàn)，都只能說(shuō)具有一定的可能性、偶然性或稱隨機(jī)性。而且這種非確定性的存在，并不取決于對(duì)事物事先了解的程度。例如一個(gè)競(jìng)技再好的運(yùn)動(dòng)員，也無(wú)法預(yù)言在比賽中是否一定會(huì)取勝。

隨機(jī)現(xiàn)象具有非確定性、隨機(jī)性，但絕不是說(shuō)隨機(jī)現(xiàn)象是雜亂無(wú)章、無(wú)規(guī)律可循或無(wú)法研究的。實(shí)際上，隨機(jī)現(xiàn)象是存在著規(guī)律性的。人們通過(guò)大量的實(shí)踐與觀察，是能認(rèn)識(shí)其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的。例如人口學(xué)中的性別比問(wèn)題，說(shuō)明了從局部的、瞬時(shí)的、小范圍來(lái)看，嬰兒的性別比可能波動(dòng)性很大，但長(zhǎng)期或大面積的統(tǒng)計(jì)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)男、女性別比穩(wěn)定地保持在，這正是概率論所要研究的隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。

從命題來(lái)分，確定性現(xiàn)象的研究屬于必然命題，它表示為：

若……則……

而非確定性現(xiàn)象的研究屬于隨機(jī)命題。它表示為：

若……可能……

在社會(huì)學(xué)的研究中，常見(jiàn)的多為隨機(jī)命題，必然命題是十分少見(jiàn)的。但從另一方面，也應(yīng)該看到確定與非確定都是相對(duì)而言的，其間并無(wú)不可逾越的鴻溝。實(shí)際上，隨著問(wèn)題研究的深入和精確程度的提高，原先認(rèn)為是確定性的現(xiàn)象也會(huì)成為非確定性的現(xiàn)象。比如以國(guó)家的工資總額來(lái)說(shuō)，似乎是確定的。但如果要求數(shù)字的精確度進(jìn)一步提高，那么每月隨著職工人員的增加，退休、死亡、工傷、離職以及工資的變動(dòng)，其工資總額也是不斷變化的。因此，可以說(shuō)非確定性是普遍的，只是程度不同而已。同時(shí)，在社會(huì)生活中，由于任何一種社會(huì)現(xiàn)象、社會(huì)行為，其產(chǎn)生的原因都是十分復(fù)雜的，人們往往無(wú)法準(zhǔn)確地掌握其全部原因，這也正是為什么社會(huì)學(xué)命題多為隨機(jī)命題的緣故。當(dāng)人們對(duì)事物發(fā)生的原因知之甚少時(shí)，事物的發(fā)生總是具有某種非確定性或偶然性的。但在看到社會(huì)現(xiàn)象具有偶然性一面時(shí)，還應(yīng)該注意到，對(duì)于大量現(xiàn)象的研究，由于平衡與排除了單個(gè)孤立事件所具有的偶然性，從而呈現(xiàn)出了內(nèi)部所隱蔽著的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，正如恩格斯所指出：“在表面上是偶然性在起作用的地方，這種偶然性始終是受內(nèi)部的隱蔽著的規(guī)律支配的，而問(wèn)題只是在于發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律。”[4]偶然事件的概率（即發(fā)生可能性的大小）就是偶然事件隱蔽著的規(guī)律。

二、概率的概念

前面談到了隨機(jī)現(xiàn)象具有在一定條件下，呈現(xiàn)多種可能結(jié)果的特性。而到底出現(xiàn)哪種結(jié)果，卻又是無(wú)法預(yù)言的。因此，隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果以及這些結(jié)果的集合就稱作隨機(jī)事件，或簡(jiǎn)稱事件。

例如：

●某人在運(yùn)動(dòng)會(huì)上將得金牌。

●某人將活到80歲以上。

●明年報(bào)考醫(yī)學(xué)院的學(xué)生將超過(guò)一萬(wàn)人。

●明天將下雨。

以上列舉的事件都并非一定會(huì)發(fā)生的，而只是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的非確定性事件，稱隨機(jī)事件。而概率則是這些隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量表示。實(shí)際上，人們?cè)谌粘Ｉ钪谐Ｓ谩氨容^級(jí)”粗略地來(lái)表示隨機(jī)事件發(fā)生可能性的大小。

例如：

●某生明年不可能考上大學(xué)。

●某生明年可能會(huì)考上大學(xué)。

●某生明年很可能考上大學(xué)。

●某生明年一定會(huì)考上大學(xué)。

句中“不可能”“可能”“很可能”“一定”都是對(duì)可能性大小的粗略的估計(jì)。而概率就其表達(dá)的實(shí)質(zhì)來(lái)說(shuō)，和這些“比較級(jí)”是一樣的，只是在數(shù)量上對(duì)可能性大小表達(dá)得更為精確而已。

數(shù)學(xué)上一般約定用英文字母P表示概率，并用括號(hào)說(shuō)明P是哪一個(gè)事件的概率。例如：

P（A）——表示事件A所具有的概率

P（B）——表示事件B所具有的概率

進(jìn)一步，為了使可能性的大小能進(jìn)行比較，概率的度量必須標(biāo)準(zhǔn)化。也就是確定概率的最大值是什么和最小值是什么。為此，我們把不可能發(fā)生的事件稱作不可能事件（記作），發(fā)生的概率P（）定作0：

把一定發(fā)生的事件（S）稱作必然事件，發(fā)生的概率P（S）定作1：

而一般隨機(jī)事件E，由于它發(fā)生的可能性介于“必然”與“不可能”之間，因此它發(fā)生的概率P（E）為：

可見(jiàn)，如果我們按可能性的大小順序排列事件的話，則有：

那么，對(duì)應(yīng)事件的概率為：

也就是一般說(shuō)來(lái)，任何隨機(jī)事件E發(fā)生的概率介于0、1之間，是個(gè)非負(fù)數(shù)：

概率的最大值是1，當(dāng)P（E）=1時(shí)，事件E是必然發(fā)生的。概率最小值是0，當(dāng)P（E）=0時(shí)，事件E是不可能發(fā)生的。而當(dāng)概率界于0至1之間，事件發(fā)生的可能性隨P值而變化，例如，當(dāng)P（E）=0.1時(shí)，表示事件E雖然有可能發(fā)生，但發(fā)生的可能性不大；當(dāng)P（E）=0.9時(shí)，事件E雖然并非必然發(fā)生，但發(fā)生的可能性就很大了；但當(dāng)P（E）=0.5時(shí)，事件E發(fā)生與否，各占0.5，這種情況下，決策者對(duì)做進(jìn)一步的取舍就比較困難了。

下面舉例分析哪些是必然事件，哪些是不可能事件或隨機(jī)事件：

[例]1.某企業(yè)有青工100名，其中20名為已婚者。今任抽25名，那么，其中含有5名為已婚者的事件則為隨機(jī)事件。因?yàn)槿纬?5名可能恰有5名已婚，也可能已婚人數(shù)不是5名。

[例]2.接例1：若任抽25名，那么，其中至少有5名為未婚者的事件則為必然事件。（想想看為什么？）

[例]3.接例1：若任抽25名，其中有21名為已婚者的事件則為不可能事件。（想想看為什么？）

三、概率的計(jì)算方法

概率是反映隨機(jī)事件內(nèi)在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的。所謂統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，是指在一定條件下，就其個(gè)別一次的結(jié)果來(lái)說(shuō)都具有偶然性，但大量重復(fù)的試驗(yàn)或觀察，則其結(jié)果無(wú)不呈現(xiàn)必然的規(guī)律性，這種規(guī)律性，稱作統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。統(tǒng)計(jì)規(guī)律性是事物本身所固有的，是事物的客觀屬性，而概率P正是這種事物客觀屬性的數(shù)量表現(xiàn)。那么，如何求得這種概率屬性呢？最直觀、最簡(jiǎn)單的想法就是和“頻率”聯(lián)系在一起的。人們憑借生活經(jīng)驗(yàn)的直觀感覺(jué)可以知道，若事件E出現(xiàn)的可能性愈大，則實(shí)際觀測(cè)結(jié)果的頻率也愈大，反之亦然。而概率是事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量表示，因此，可以把事件E的概率P（E）定義為試驗(yàn)或觀察次數(shù)N趨于無(wú)窮時(shí)相應(yīng)頻率n/N的穩(wěn)定值。

其中N為在相同條件下試驗(yàn)或觀察總次數(shù)，n為隨機(jī)事件E出現(xiàn)的n次。

這里強(qiáng)調(diào)實(shí)驗(yàn)次數(shù)N要足夠大，甚至理論上N應(yīng)趨于無(wú)窮的原因是，如果重復(fù)試驗(yàn)或觀察的次數(shù)N不太大時(shí)，其頻率f（E）取值，不僅可能不相同，而且可以相互差別較大，這是隨機(jī)事件偶然性的表現(xiàn)；但當(dāng)試驗(yàn)或觀察次數(shù)N足夠大時(shí)，偶然因素被排除，頻率f（E）將穩(wěn)定于某一常數(shù)p，從而體現(xiàn)了隨機(jī)事件統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一面。

為了說(shuō)明當(dāng)N→∞時(shí)頻率f（E）的穩(wěn)定值是反映了隨機(jī)事件自身固有的性質(zhì)和規(guī)律。下面列舉統(tǒng)計(jì)學(xué)家蒲豐和皮爾遜所作經(jīng)典的大量投擲硬幣的試驗(yàn)結(jié)果（表3-1），可以看出，當(dāng)N很大時(shí)，f（E）十分穩(wěn)定地趨近于0.5。

表　3-1

在實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)概率不易求出時(shí)，往往就取當(dāng)N充分大的頻率作為概率的近似值。例如當(dāng)我們要了解全國(guó)人口的出生率、死亡率、初婚年齡、離婚率等等，如果用抽樣調(diào)查的結(jié)果來(lái)代替普查，那實(shí)際就是用頻率代替了概率。但應(yīng)該看到，由于頻率是個(gè)試驗(yàn)值，它是隨著試驗(yàn)或觀察而變化的，因此具有隨機(jī)性。它只能近似地反映事件出現(xiàn)可能性的大小。而概率是個(gè)理論值，它由事件的本質(zhì)所決定，其值是唯一的，能精確地反映事件出現(xiàn)可能性的大小。所以，從理論上講，概率比頻率要“完美”，它是反映事件出現(xiàn)可能性大小的唯一精確數(shù)值；但在實(shí)際中經(jīng)常碰到的卻是頻率而不是概率。但另一方面，雖然我們經(jīng)常用頻率近似地代替概率，但并不能否定概率這個(gè)概念的作用。有了概率，它可以把隨機(jī)事件與一個(gè)精確反映事件出現(xiàn)可能性大小的數(shù)量緊密地聯(lián)系起來(lái)，這就是概率論所要研究的內(nèi)容。