§4　點、直線和平面之間的度量關系

本節均在右手直角坐標系中討論.

4.1　點到直線的距離

設直線l經過點M0，方向向量為υ.由圖2.6可看出，點M到直線l的距離d是以υ為鄰邊的平行四邊形的底邊υ上的高，因此有

圖2.6

4.2　兩條直線的距離

定義4.1　兩條直線上的點之間的最短距離稱為這兩條直線的距離.

如果l1∥l2，則l1上的一個點到l2的距離就是l1與l2的距離；

都相交的直線l的方程為

如果l1與l2相交或重合，則l1與l2的距離為零.

下設l1與l2異面，li經過點Mi，方向向量為υi（i=1，2），且υ1與υ2不共線，M1≠M2.

定義4.2　分別與兩條異面直線l1，l2垂直相交（即正交）的直線l稱為l1與l2的公垂線，兩垂足的連線段稱為公垂線段.

命題4.1　兩條異面直線l1與l2的公垂線存在且唯一.

證明　存在性　因為υ1與υ2不共線，所以υ1與υ1×υ2不共線.于是M1，υ1，υ1×υ2決定一個平面π1.同理，M2，υ2，υ1×υ2決定一個平面π2.因為υ1與υ2不共線，根據習題1.5第11題，υ1×（υ1×υ2）與υ2×（υ1×υ2）不共線，而它們分別是π1和π2的法向量，于是π1與π2必相交，設交線為l（如圖2.7）.l的方向向量為

根據習題1.5第10題，這個向量等于|υ1×υ2|2（υ1×υ2），因此υ1×υ2就是l的一個方向向量.由于

所以

l⊥li，i=1，2.

因為l與li都在πi內，且υ1×υ2與υi不共線，所以l與li（i=1，2）相交.這表明π1與π2的交線l就是l1與l2的公垂線.

唯一性　假如l′也是l1與l2的公垂線，則l′的方向向量垂直于υi（i=1，2），從而υ1×υ2就是l′的一個方向向量.因為l′在由l i和υ1×υ2決定的平面πi（i=1，2）內，所以l′是π1與π2的交線.于是l′與l重合.

命題4.2　兩條異面直線l1與l2的公垂線段的長就是l1與l2的距離.

證明　如圖2.8所示，設P1P2是l1與l2的公垂線段.在li上任取一點Qi（i=1，2）.作出由M1，υ1，υ2決定的平面π，于是公垂線P1P2⊥π.由Q2作π的垂線，設垂足為N.因為l2∥π，所以P1P2=Q2N.于是

|Q2Q1|≥|Q2N|=|P1P2|.

所以|P1P2|是l1與l2上的點之間的最短距離，即l1與l2的距離.

命題4.3　設兩條異面直線l1，l2分別經過點M1，M2，方向向量分別為υ1，υ2，則l1與l2的距離為

證明　設l1與l2的公垂線段為P1P2.因為公垂線的方向向量為υ1×υ2，所以與υ1×υ2共線.記e=（υ1×υ2）0，則

公式（4.2）的幾何意義是：兩條異面直線l1與l2的距離d等于以，υ1，υ2為棱的平行六面體的體積除以以υ1，υ2為鄰邊的平行四邊形的面積.

4.3　兩條直線所成的角，直線和平面所成的角

定義4.3　兩條直線所成的角規定為它們的方向向量夾角中不大于π/2的那個角.

定義4.4　直線l與平面π（l不垂直于π）所成的角規定為l與它在π上的射影所成的角θ.當l⊥π時，l與π所成的角規定為π/2.

設平面π的一個法向量為n,l的一個方向向量為υ，則從圖2.9可看出

θ=π/2-〈υ，n〉

或

θ=〈υ，n〉-π/2

因此

sinθ=|cos〈υ，n〉|.

習題　2.4

1.求下列點到直線的距離：

（1）點（-1，-3，5）T到直線x-1

（2）點（1，0，2）T到直線

2.求下列各對直線的距離：

3.求下列各對直線的公垂線的方程：

4.求下列各對直線所成的角：

5.求下列直線與平面所成的角.

（1）直線與平面x-2y+4z-1=0；

（2）直線

與平面2x-z+1=0.

6.求平面Ax+By+Cz+D=0與坐標軸所成的角.在怎樣的條件下，此平面與三根坐標軸成等角？

7.設異面直線l1，l2的方程分別為

求與l1，l2等距離的平面的方程.

8.已知兩條異面直線l1和l2，證明：連接l1上任一點和l2上任一點的線段的中點軌跡是公垂線段的垂直平分面.

9.在給定的直角坐標系中，點P不在坐標平面上，從點P到Ozx平面，Oxy平面分別作垂線，垂足為M和N.設直線OP與平面OMN,Oxy,Oyz,Ozx所成的角分別為θ，α，β，γ，證明：

csc2θ=csc2α+csc2β+csc2γ.