§2　直角坐標系中平面的方程，點到平面的距離

2.1　直角坐標系中平面方程的系數(shù)的幾何意義

確定一個平面的條件還可以是：一個點和一個與這平面垂直的非零向量.與一個平面垂直的非零向量稱為這個平面的法向量.

取一個直角標架[O；e1，e2，e3].我們來求經(jīng)過點M0（x0，y0，z0）T且法向量為n（a,b，c）T的平面π的方程（如圖2.3）.

點M（x,y，z）T在平面π上的充分必要條件是，從而，于是得

a（x-x0）+b（y-y0）+c（z-z0）=0，

即

ax+by+cz+h=0，（2.1）

其中h=-（ax0+by0+cz0）.（2.1）式就是所求平面π的方程.

由此可見，在直角坐標系中，平面方程的一次項系數(shù)組成的列向量是這個平面的一個法向量n的坐標.

2.2　點到平面的距離

定理2.1　在直角坐標系中，點P1（x1，y1，z1）T到平面

π：Ax+By+Cz+D=0

的距離為

證明　作點P1到平面π的垂線，設(shè)垂足為P0（x0，y0，z0）T，則

點P1到平面π的距離為q.平面π的一個法向量為n（A,B，C）T.因為與n共線，所以

（2.3）式的兩邊用n0作內(nèi)積得

于是得

（2.3）式中的δ稱為點P1到平面π的離差.（2.4）式給出了求離差的公式.

2.3　三元一次不等式的幾何意義

取定一個直角坐標系，坐標適合方程

Ax+By+Cz+D=0（2.5）

的點在此方程表示的平面π上，坐標適合不等式

Ax+By+Cz+D＞0（2.6）

的點P（x,y，z）T不在平面π上.設(shè)P到平面π引的垂線的垂足為P0，由（2.4）式和（2.3）式知，與n（A,B，C）T同向.因此，所有坐標適合不等式（2.6）的點都在平面π的同一側(cè)（n所指的一側(cè)）.同理，所有坐標適合不等式

Ax+By+Cz+D＜0（2.7）

的點在平面π的另一側(cè)（-n所指的一側(cè)）.

由上述知，平面π把空間中的所有不在π上的點分成了兩部分，第一部分點的坐標都適合不等式（2.6），第二部分點的坐標都適合不等式（2.7）.換句話說，若M1（x1，y1，z1）T和M2（x2，y2，z2）T不在平面π上，則M1與M2位于平面π同側(cè)的充分必要條件是

F1=Ax1+By1+Cz1+D與F2=Ax2+By2+Cz2+D

同號.這個結(jié)論在仿射坐標系中也成立（見習題2.2的第16題）.

2.4　兩個平面的夾角

兩個相交平面的夾角是指兩個平面交成四個二面角中任一個.易知其中兩個等于兩個平面的法向量n1，n2的夾角〈n1，n2〉，另外兩個等于〈n1，n2〉的補角.兩個平行（或重合）平面的夾角規(guī)定為它們的法向量n1，n2的夾角或其補角，從而等于0或π.

設(shè)在直角坐標系中，平面πi的方程是

Aix+Biy+Ciz+Di=0，i=1，2，

則π1與π2的一個夾角θ滿足

從而得到兩個平面π1和π2垂直的充分必要條件是

A1A2+B1B2+C1C2=0.（2.8）

例2.1　設(shè)在直角坐標系中，平面π1和π2的方程分別是

2x-y+2z-3=0　和　3x+2y-6z-1=0，

求由π1和π2構(gòu)成的二面角的角平分面方程，已知在此二面角內(nèi)有點P0（1，2，-3）T.

解　點M（x,y，z）T在所求的角平分面上的充分必要條件是，M到π1的距離d1等于M到π2的距離d2，并且M與P0或者都在π的同側(cè)（i=1，2），或者都在πi的異側(cè)（i=1，2），或者M在π1與πi2的交線上.因為P0的坐標適合

2×1-2+2×（-3）-3=-9＜0，

3×1+2×2-6×（-3）-1=24＞0，

所以M的坐標適合

并且適合

或

整理得23x-y-4z-24=0.這就是所求的二面角的角平分面方程.

習題　2.2

1.在直角坐標系中，求下列平面的方程：

（1）經(jīng)過點P（-1，2，0）T，一個法向量為n（3，1，-2）T；

（2）經(jīng)過點M1（3，-1，4）T，M2（1，0，-3）T，垂直于平面

2x+5y+z+1=0.

2.證明：在右手直角坐標系中，通過點（x0，y0，z0）T且與相交平面

A1x+B1y+C1z+D1=0　和　A2x+B2y+C2z+D2=0

都垂直的平面的方程為

3.設(shè)在右手直角坐標系中，平面π的方程為

Ax+By+Cz+D=0，

其中所有系數(shù)都不為零，此平面與三根坐標軸分別交于點M1，M2，M3，求△M1M2M3的面積和四面體OM1M2M3的體積.

4.在直角坐標系中，求點到平面的距離：

（1）點（0，2，1）T，平面2x-3y+5z-1=0；

（2）點（-1，2，4）T，平面x-y+1=0.

5.在直角坐標系中，求平面

Ax+By+Cz+D=0　與　Ax+By+Cz+D1=0

之間的距離.

6.設(shè)在直角坐標系中，平面π的方程為Ax+By+D=0，求z軸到平面π的距離.

7.證明：在直角坐標系中，如果一個平面與三根坐標軸均相交，則三個截距倒數(shù)的平方和等于原點到此平面的距離的倒數(shù)的平方.

8.在直角坐標系中，求與平面

Ax+By+Cz+D=0

平行且與它的距離為d的平面的方程.

9.在直角坐標系中，設(shè)平面

π1：Ax+By+Cz+D1=0　與　π2：Ax+By+Cz+D2=0平行，求與π1，π2等距離的點的軌跡.

10.在直角坐標系中，求平面z=ax+by+c與Oxy平面的夾角.

11.給定直角坐標系，在有軸平面束

λ（A1x+B1y+C1z+D1）+μ（A2x+B2y+C2z+D2）=0

中求出與平面Ax+By+Cz+D=0垂直的平面的方程.

12.設(shè)在直角坐標系中，平面πi的方程為

Aix+Biy+Ciz+Di=0，i=1，2，

且π1與π2相交，求π1與π2交成的二面角的角平分面的方程.

*13.求到兩個給定平面的距離為定比的點的軌跡.

14.證明：幾何空間中滿足條件Ax+By+Cz+D＜d2的點分布在兩個平行平面

Ax+By+Cz+D+d2=0　與　Ax+By+Cz+D-d2=0之間.

15.證明：幾何空間中滿足條件x+y+z＜a（a＞0）的點位于中心在原點，頂點在坐標軸上，且頂點與中心的距離為a的八面體的內(nèi)部.*

*16.在仿射坐標系中，設(shè)點M1（x1，y1，z1）T，M2（x2，y2，z2）T都不在平面π：Ax+By+Cz+D=0上，且M1≠M2，證明：M1與M2在平面π的同側(cè)的充分必要條件是

F1=Ax1+By1+Cz1+D　與　F2=Ax2+By2+Cz2+D同號.