第2章　矩陣基礎知識

2.1　行列式

1. 二階和三階行列式

用

表示一個n階行列式。其中元素a_ij（i，j＝1，2，…，n）都是數域P中的數。行列式中的橫排稱為行，豎的稱為列。例如，a_ij表示第i行第j列處的元素，a₂₃表示行列式中第2行第3列處的元素。

我們知道，凡行列式都可算出一個數值來。先看最簡單的二階行列式。

可見，一個二階行列式值是由對角的兩個元素相乘之差形成的。再看三階行列式。

可見，一個三階行列式是由不同行不同列的3個數相乘而得到的6個項的代數和。

【手工計算例1】

【手工計算例2】

2. 余子式和代數余子式

在n階行列式

中，劃去元素a_ij所在的第i行第j列，剩下的元素按原來的排法，構成一個n－1階行列式

稱為元素a_ij的余子式，記為M_ij。

例如，對于三階行列式

來說，各個元素的余子式分別為

而三階行列式D可以通過各行的余子式來表示：

也可以用各列的余子式來表示：

從以上等式可以看出：M_ij前的符號，有時正，有時負。為了弄清這個問題，引入下述定義。

定義2.1　令

A_ij＝（－1）^i＋jM_ij

其中，A_ij稱為元素a_ij的代數余子式。

應用代數余子式的概念，三階行列式可以表示成

D＝a_i1A_i1＋a_i2A_i2＋a_i3A_i3 （i＝1，2，3）

D＝a_1jA_1j＋a_2jA_2j＋a_3jA_3j （j＝1，2，3）

這表明，行列式的值是任意一行的所有元素與其對應的代數余子式的乘積之和。

【手工計算例3】　求

的余子式M₁₁、M₁₂、M₁₃及代數余子式A₁₁、A₁₂、A₁₃并求D。

解：

A₁₁＝（－1）^1＋1M₁₁＝4，A₁₂＝（－1）^1＋2M₁₂＝－2 A₁₃＝（－1）^1＋3M₁₃＝5

D＝1×A₁₁＋0×A₁₂＋（－1）×A₁₃＝－1

3. 用代數余子式表示n階行列式的展開式

前已說明，n階行列式

等于它任意一行的所有元素與它們的對應代數余子式的乘積之和，即

D＝a_k1A_k1＋a_k2A_k2＋…＋a_knA_kn （k＝1，2，…，n）

這就是行列式按一行（第k行）展開的公式。

由于行列式中行與列的對稱性，所以同樣也可以將行列式按一列展開，即n階行列式

等于它任意一列的所有元素與它們的對應代數余子式的乘積之和，即

D＝a_1lA_1l＋a_2lA_2l＋…＋a_nlA_nl （l＝1，2，…，n）

這就是行列式按一列（第l列）展開的公式。

【手工計算例4】　求以下行列式的值

解：把D按第2行展開，得

把D按第3列展開，得