18.4 直軸設計計算

18.4.1 軸的強度計算

18.4.1.1 按扭轉強度條件計算

這種方法是只按軸所受的轉矩來計算軸的強度；若還受不大的彎矩時，則用降低許用扭轉切應力的辦法予以考慮。在作軸的結構設計時，通常用這種方法初估軸徑。對于不太重要的軸，也可作為最后計算結果。

用這種方法估算軸危險截面直徑的公式見表18-19。

18.4.1.2 按彎扭合成強度條件計算

通常把軸當作置于鉸鏈支座上的梁。軸上零件傳來的力，通常當作集中力來考慮，其作用點取在零件輪緣寬度的中點，軸上轉矩則從輪轂寬度的中點算起。軸上支承反力的作用點，根據(jù)軸承的類型和組合按圖18-6取定。

若作用在軸上的各載荷不在同一平面內，則可分解到兩個相互垂直的平面，然后分別求這兩個平面內的彎矩，再按矢量法求得合成彎矩。

軸的直徑由表18-21的公式計算。

18.4.1.3 按安全系數(shù)校核計算

按安全系數(shù)的校核計算有兩種情況：一種是根據(jù)材料疲勞極限計算軸危險截面處的疲勞強度安全系數(shù)，載荷按軸上長期作用的最大變載荷進行計算；另一種是根據(jù)材料屈服強度計算軸危險截面處的靜強度安全系數(shù)。載荷是根據(jù)軸的短時最大載荷（包括沖擊載荷）來計算的。

危險截面的位置應是彎矩等較大及截面面積較小處。當按疲勞強度計算時，還應考慮應力集中較嚴重處，也就是實際應力較大的截面。當在同一截面處有幾個應力集中源時，取各源所引起的應力集中的最大值。

安全系數(shù)的校核計算按表18-22中的公式計算。

18.4.2 軸的剛度計算

一般機械制造業(yè)中，軸的許用撓度[y]、許用偏轉角[θ]和許用扭轉角[φ]見表18-28。

18.4.2.1 軸的彎曲變形計算

要精確計算出軸的彎曲變形是比較困難的，除受力和支承情況外，軸承和機座的剛度，配合在軸上零件的剛度，以及軸的局部削弱等都影響到軸的變形。計算時，通常按簡化方法計算。對于有較大過盈配合零件的軸段，可取零件輪轂直徑作為軸的剛度計算直徑。

軸的彎曲變形可采用材料力學的圖解法，當量直徑法或能量法來計算。圖解法比較適用于求軸上多點變形量，或整根軸的撓度曲線；當量直徑法是把階梯軸當作直徑為de的等直徑軸來計算，只適用于對各段直徑相差很小的階梯軸的近似計算；當只需比較精確的計算軸上某幾個特定點的變形，或利用計算機時，建議用能量法。

（1）當量直徑法 把階梯軸，連同較大過盈安裝在軸上的零件，當成直徑為de的等直徑軸計算。其計算公式為

式中L——軸的計算長度，當載荷作用于兩支承之間時，L=l，當載荷作用在懸臂端時，L=l+K；（l為兩支承之間長度；K為軸的懸臂長度）；

li——階梯軸i段的長度；

di——階梯軸i段的計算直徑；

n——階梯軸計算長度內軸鍛數(shù)。有了de，可用表18-29所列不同受載情況和疊加法，求得所需部位的變形量。注意不同載荷位置可有不同的de。

（2）能量法 用能量法計算軸的彎曲變形時，需要先按軸的計算直徑繪出軸的外形和彎矩圖（見圖18-12a、b）；如需計算A處的撓度yA，則在A處加一單位力Fi=1（與變形方向相同），并繪出其彎矩M′圖（見圖18-12c）；如需計算B處的偏轉角θB，則在B處加一單位力矩Mi=1（與變形方向相同），并繪出其（M′）圖（見圖18-12d）。然后按M、M′及軸截面的連續(xù)性，把軸分為n段（見圖18-12），則按下式計算變形處的變形量Δi（撓度yA或偏轉角θB）：

式中，積分值及符號說明見表18-30。

如果軸上各載荷不在同一平面內，則可把這些載荷分解成為互相垂直的兩個平面內的分力，分別算出在這兩個平面內各截面的y及θ，然后用矢量法求出合成撓度和合成偏轉角θ。

18.4.2.2 軸的扭轉變形計算

軸的扭轉變形，用每米軸長的扭轉角φ來表明。圓軸的扭轉角φ計算公式見表18-31。

18.4.3 軸的設計計算舉例及設計計算程序

【例18-1】 已知傳遞的功率P=13kW，轉速n=200r/min，齒輪的齒寬為100mm，齒數(shù)z=40，模數(shù)mn=5mm，螺旋角β=9°22′軸端裝有聯(lián)軸器。試設計傳動帶運輸機減速器的主動軸。

【解】 （1）根據(jù)機械傳動方案的整體布局，擬定軸上零件的布局和裝配方案 考慮整體布局，擬定不同的裝配方案進行分析對比，選用圖18-12所示的裝配方案。

（2）選擇軸的材料 該軸傳動中小功率，且轉速較低，故選用45鋼，調質處理。其力學性能由表18-19查得σb=640MPa，σs=355MPa，σ-1=275MPa，τ-1=155MPa，[σ-1]=60MPa，τs=207MPa，ψσ=0.2，ψτ=0.1，由表18-20查得A=115。

（3）初步估算軸的直徑 由表18-19公式初步估算的軸徑為

考慮裝聯(lián)軸器加鍵，將其軸徑增加3%左右，故取錐形軸伸的大端直徑為50mm。

（4）軸上零部件的選擇和軸的結構設計

1）聯(lián)軸器的選用。根據(jù)工作要求選擇彈性柱銷聯(lián)軸器。由第23章查得K=1.25，則計算轉矩：

依據(jù)軸徑d=50mm和Tca選擇聯(lián)軸器的型號：LX4彈性柱銷聯(lián)軸器，允許最大轉矩[T]=2500000N·mm。

2）初步選擇滾動軸承。根據(jù)軸的受力，選取60000型深溝球軸承。為了便于軸承的裝配，取裝軸承處的直徑d=55mm。初選滾動軸承為6311，其尺寸為d×D×B=55mm×120mm×29mm，定位軸肩高度h=5mm。

3）根據(jù)軸向定位的要求，確定軸的各段直徑和長度。Ⅵ-Ⅶ軸段為d=50mm圓錐形軸伸，查表1-24，d=50mm的軸伸長lⅠ-Ⅱ=82mm（長系列），與聯(lián)軸器的錐孔長度L1=84mm相配合適。Ⅴ-Ⅵ軸段直徑為dⅤ-Ⅵ=50mm，長度根據(jù)軸承蓋的裝拆及便于對軸承添加潤滑脂的要求，取端蓋的外端面與半聯(lián)軸器左端面間的距離l=30mm，故取lⅤ-Ⅵ=56mm，取安裝齒輪處的軸段Ⅲ-Ⅳ的直徑dⅢ-Ⅳ=56mm；齒輪的右端與右軸承之間采用套筒定位。已知齒輪輪轂的寬度為100mm，為了使套筒端面可靠地壓緊齒輪，此軸段應略短于輪轂寬度，故取lⅢ-Ⅳ=98mm。齒輪的左端采用軸肩定位，軸肩高度h＞0.07d=3.92mm，取h=4.5mm，則軸環(huán)處的直徑dⅡ-Ⅲ=65mm，軸環(huán)寬度b≥1.4h=6.3mm，取lⅡ-Ⅲ=15.5mm。這里15.5mm是按齒輪距箱體內壁之距離取10.5mm，考慮到箱體的鑄造誤差，在確定滾動軸承位置時，應距箱體內壁3～5mm距離，這里取5mm；Ⅵ-Ⅶ段長度取與軸承寬B相同，則lⅠ-Ⅱ=29mm；Ⅳ-Ⅴ段長度為

lⅣ-Ⅴ=（15.5+2+29+2.5）mm=49mm

至此，已初步確定了軸的各段直徑和長度。

4）軸上零件的周向定位。齒輪、半聯(lián)軸器與軸的周向定位均采用平鍵連接。齒輪與軸的鍵由表7-4查得b×h×L=16mm×10mm×90mm（GB/T 1096—2003），軸上鍵槽深t=6mm。另外，為了保證齒輪與軸配合有良好的對中性，由表18-3選擇齒輪輪轂與軸配合為H7/n6；半聯(lián)軸器與軸聯(lián)接，選用平鍵12mm×8mm×70mm。滾動軸承與軸的配合取k6。

5）確定軸上圓角和倒角尺寸。參考GB/T 6403.4—2008，取軸各處的倒角和圓角見圖18-14。

（5）軸的受力分析

1）作出軸的計算簡圖。按照18.4.1.3節(jié)的方法，得到軸的計算簡圖如圖18-13所示，有a=b=80mm，c=170mm。

2）軸受外力的計算。軸傳遞的轉矩為

齒輪的圓周力為

齒輪的徑向力為

齒輪的軸向力為Fa=Fttanβ=6125×tan9°22′N=1010N

聯(lián)軸器因制造和安裝誤差所產生的附加圓周力Fo（方向不定），故圖中以假想線表示：

3）求支反力。為方便計算，分別在水平面內和垂直面內進行計算。

① 在水平面內的支反力（見圖18-13）：

由ΣMA=0，得

由ΣZ=0，得

RAz=Fr-RBz=（2259-490）N=1769N

②在垂直平面的支反力（見圖18-13e）：

由圖可知，

③由于Fo的作用，在支點A、B處的支反力（見圖18-13g）：ΣMB=0，得

④合成支反力。按可能最大的支反力計算：

（6）軸的強度計算

1）按彎扭合成強度條件計算。

①計算彎矩、畫彎矩圖。由齒輪的作用力在水平平面的彎矩圖（見圖18-13d）：

MDz=RAza=1769×80N·mm=141520N·mm

由齒輪的作用力在垂直平面的彎矩圖（見圖18-13f）：

MDy=RAya=3063×80N·mm=245040N·mm

由齒輪作用力在D截面的最大合成彎矩：

由Fo的作用作出的彎矩圖（見圖18-13h）：MBo=Fo×c=2483×170N·mm=422110N·mm。

該彎矩圖的作用平面不定，但當其與上述合成彎矩圖共面時是危險情況。這時其彎矩為二者之和。如截面D的最大彎矩：

②畫轉矩圖（見圖18-13k）：

T1=620750N·mm

③校核軸的強度，選擇計算彎矩Mca=較大、軸直徑較小的抽剖面校核計算。這里截面D計算彎矩最大，截面E計算彎矩亦較大，軸直徑小，確定校核此兩截面。

轉矩按脈動循環(huán)變化計算，由表18-21的公式：

兩截面都是σ≤[σ-1]=60MPa，安全。

2）按安全系數(shù)校核計算：

①按疲勞強度的安全系數(shù)計算。根據(jù)軸的結構尺寸及彎矩圖，截面D處彎矩最大，且有齒輪配合和鍵槽引起的應力集中；截面B處彎矩較大，且有軸承配合引起的應力集中；截面E處彎矩也較大，直徑較小。故這些截面都屬危險截面，應進行疲勞強度的安全系數(shù)計算。下面僅以D截面為例。

由于軸轉動，彎矩引起對稱循環(huán)的彎曲應力，其應力為

式中W——抗彎截面系數(shù)，由表18-27的公式求得

彎曲正應力的平均應力σm=0根據(jù)表18-22中公式

式中Kσ——正應力的有效應力集中系數(shù)，由圖18-7按鍵查得Kσ=1.82；按配合H7/n6查得Kσ=2.3，此處取Kσ=2.3；

β——表面質量系數(shù)，軸徑車削加工，Ra=1.6μm，由圖18-9查得β=0.92；

εσ——正應力尺寸系數(shù)，由圖18-11查得εσ=0.81。

考慮到軸上作用的轉矩總是有些變動，故單向傳遞轉矩的軸的扭轉切應力一般視為脈動循環(huán)應力：

式中WT——抗扭截面系數(shù)，由表18-27的公式求得

根據(jù)表18-22中公式：

式中Kτ——切應力的有效應力集中系數(shù)，由圖18-8，按鍵查得Kτ=1.61，按配合查得Kτ=1.7，此處取Kτ=1.7；

ετ——切應力尺寸系數(shù)，由圖18-11查得ετ=0.76。

由表18-22中公式：

由表18-23的許用安全系數(shù)可知，D截面是安全的，其他危險截面也應進行校核計算。

②按靜強度的安全系數(shù)計算。取最大瞬時靜載荷為額定載荷的兩倍，也要分析危險截面。這里仍以D截面的計算為例。

按表18-22中的公式：

由表18-23的靜強度計算安全系數(shù)可知，靜強度是安全的。

（7）軸的剛度計算 考慮到D處的撓度大時，將使齒輪的嚙合狀態(tài)變壞。下面用能量法計算軸上截面D的撓度yD。為此，在D截面上加單位力Fi=1（圖18-13i）其彎矩圖如圖18-13j所示。將軸上存在M′部分分成五段，其各段長度、直徑和彎矩值如圖18-13所示。根據(jù)表18-30中公式計算D點之撓度。

由齒輪作用力在水平平面內D截面的撓度：

由齒輪作用力在垂直平面內D截面的撓度：

由齒輪作用力在D截面的合成撓度：

由F0力的作用引起在D截面的撓度：

D截面可能產生的最大撓度：

yD=yD′+yDo

=（5.563×10-3+7.149×10-3）mm

=0.013mm

許用撓度量由表18-28可知：

[y]=（0.01～0.03）mn=（0.01～0.03）×5mm

=0.05～0.15mm

得yD＜[y]，軸的剛度夠。

（8）校核鍵的連接強度（略，第7章）

（9）驗算軸承壽命（略，第19章）

（10）根據(jù)計算結果修改設計 軸及軸上零部件在強度、剛度、壽命的計算中，如有過于富裕或不夠時，都應對軸的結構及幾何尺寸，以及軸上零件的布置進行修改，直到取得滿意的結果。

（11）繪制軸的工作圖（見圖18-14） 在此例題中，（1）～（11）的步驟是軸通常設計的程序。對不太重要的軸，這個程序中的某些內容可以省略。對于高速軸還應作振動穩(wěn)定性計算。

18.4.4 軸的臨界轉速計算

由于軸和軸上零件的質量分布不均勻、制造與安裝誤差及軸的變形等原因，將產生以離心力為表征的周期性干擾力，從而引起軸的振動。如果這種干擾力的頻率與軸的自振頻率相同或接近時，軸要發(fā)生共振現(xiàn)象。產生共振現(xiàn)象時軸的轉速，稱為臨界轉速。軸的臨界轉速計算的目的是使軸的工作轉速避開臨界轉速，以防止發(fā)生共振。

軸的振動分為橫向振動、扭轉振動和縱向振動三類。軸在工作時，最可能發(fā)生的是橫向振動。

一根軸的臨界轉速從低到高分別稱為一階臨界轉速ncr1、二階臨界轉速ncr2、…。機械設計中常用到的是一階臨界轉速。設計時，應使軸的轉速不得與任何一階臨界轉速相接近。一般要求：對于工作轉速低于一階臨界轉速的軸，應滿足n≤0.75ncr1；對于工作轉速高于一階臨界轉速的軸，應滿足1.3ncrR≤n≤0.7ncr（R+1）（R=1，2，…）。

軸的臨界轉速的高低，取決于軸的形狀和尺寸、軸的支承形式、軸材料的彈性模量和軸上零件的安裝形式、質量及分布。要精確計算其值比較復雜，可用下面的方法近似計算軸的一階臨界轉速。

將軸簡化為帶多個質量為Wi、Gj的圓盤，且軸的自身質量為W0，截面當量直徑為de的光軸振動系統(tǒng)見表18-32的簡圖。這些光軸的一階臨界轉速可按表18-32的計算公式進行計算。當量直徑de按下式計算：

式中di——第i段軸的計算直徑（mm）；

li——第i段軸的長度（mm）；

ζ——經驗修正系數(shù)，若階梯軸最粗一段長度或幾段軸的長度超過全長的50%時，可取ζ=1；小于15%時，此段當作軸環(huán)，另按次粗軸段考慮，一般最好按照同系列機器的計算對象，選取有準確解的軸試算幾例，從中找出合適的ζ值，例如，對一般的壓縮機、離心機或鼓風機轉子，可取ζ=1.094。

軸的自身質量包括不算作圓盤的其他軸上零件，如套筒等。軸的計算直徑指緊配合在軸上的零件，使軸的抗彎剛度增加而考慮的直徑。這里僅介紹了軸一階臨界轉速的計算。