2.4 非線性振動分析的Chebyshev譜元法

盡管許多工程問題可以用線性振動近似，但還是有很多工程振動需要考慮非線性。例如，大角度單擺、振動輸送機、高速列車行駛時氣體的阻力及材料產生彈塑性變形構成的振動系統等［94］，均需要用非線性微分方程來進行分析。非線性振動不符合疊加原理，通常用數值方法進行分析。

Orszag S.A.［95］于1969年提出譜方法，給研究者所關注的高精度數值分析帶來了希望，然而其不能處理復雜設計域、不能近似非光滑函數等缺點［98］限制了它的發展?？紤]到譜方法的高精度及指數收斂和有限元方法處理邊界靈活的特性，學者Patera于1984年提出譜元法，該方法通過在GLL點進行Lagrange插值來構造節點基函數，被應用于流體動力學分析［81］。30多年來，譜元法由于高精度和快速收斂的特點得到了極大關注，并被成功應用于科學和工程的很多領域［96］。在動態響應優化中，譜元法通過精確求解動力學控制方程并結合GLL點來滿足動態約束條件，可獲得更優的解。在機械故障診斷中，可用譜元法來模擬帶裂紋的三維板結構的導波激勵與接受，以及波的傳播［102］。將仿真時間分為若干步，采用逐步時間譜元法［53］仿真三維懸臂梁，可獲得與ANSYS仿真一致的結果，而效率高于ANSYS仿真。文獻［38］將譜元離散方案應用于結構動態應力關鍵時間點的識別。Zhao等人［103］采用Chebyshev最小二乘譜元法詳細分析并求解了半透明介質的輻射傳熱。林偉軍［104］應用Modal basis譜元法詳細闡述了彈性波傳播模擬的理論公式，并應用Chebyshev正交多項式展開。耿艷輝等人［105］提出了時間-空間耦合譜元法，并將其用于第一類邊界條件的非齊次一維、二維、三維波動方程的求解。文獻［106］應用時-空Galerkin譜元法求解具有小黏性的Burgers方程，研究了雙曲線控制方程的顯式方法和一個拋物線控制方程的隱式方法兩種分裂方法的一種次循環技術。文獻［107］提出了時間和空間兩場混合的譜元公式，開發了顯式和隱式算法，并將其用于求解二階標量雙曲方程。文獻［108］采用空-時譜元法求解了簡支修正歐拉-伯努利非線性梁在受迫橫向振動作用下的振動問題。

本章通過在Chebyshev正交多項式的極點重心進行Lagrange插值來構造節點基函數，提出了求解非線性振動問題的Chebyshev譜元法。

對于非線性振動問題中的非線性項，先直接對它求微分，再加入線性振動問題的離散公式中，將其轉化為Newton-Raphson迭代公式進行迭代求解。

非線性方程組可表示為

式中，X（t）為n維解向量，F（X（t））為m維函數向量。

考慮函數F：?n→?m，其中，

那么F（x1，x2，???，xn）的Jacobian矩陣為

Newton-Raphson迭代公式表示為

式中，ΔX =Xi+1-Xi。