2.2 任意載荷振動問題分析的Chebyshev譜元法

譜近似可以自由選擇插值次數(shù)，獲得p收斂，而有限元近似可以柔性地處理復雜設(shè)計域并自由地選擇單元尺寸，獲得h收斂，譜元近似融合了譜近似和有限元近似的優(yōu)點。

2.2.1 振動問題及其積分形式

考慮振動問題的一般形式為

式中，Ar是關(guān)聯(lián)矩陣，關(guān)聯(lián)著質(zhì)量、阻尼和剛度，并假設(shè)與時間t無關(guān)；x和f是時間t的函數(shù)。

在Chebyshev譜元法中，為了得到振動問題的數(shù)值解，運用Bubnov-Galerkin法，引入一個權(quán)函數(shù)W，將其與式（2.20）兩邊同時相乘，并在時間域上積分，得到了振動問題的積分形式：

式中，T表示時間域。

2.2.2 時間單元劃分

作為一種有限元方法，解空間?可劃分為Ne個互不重疊的單元空間，即

譜元法通過在每個單元?e中進行譜擴展來近似一個函數(shù)。將單元節(jié)點基函數(shù)作為形函數(shù)，在單元?e上，振動位移可以近似為

式中，表示單元?e上的振動位移近似函數(shù)；表示單元?e上第i個節(jié)點的位移值；表示定義在單元?e上的重心Lagrange節(jié)點基函數(shù)；Nesol表示每個單元解節(jié)點的個數(shù)。

2.2.3 振動微分方程離散

下面我們采用Chebyshev第二類多項式來構(gòu)造節(jié)點基函數(shù)。在標準區(qū)間［-1，1］上，N階節(jié)點基函數(shù)可以表示為Lagrange插值多項式，它會通過N+1個Chebyshev-Gauss-Lobatto點，即

應(yīng)用中心插值公式，Lagrange插值多項式可以表示為

從圖2.4中可看出，節(jié)點基函數(shù)的Kronecker δ的特性（如果兩者相等，則其輸出值為1，否則為0），這就保證了式（2.23）中擴展系數(shù)與節(jié)點值一致，并且保證施加了邊界條件。

為了獲得一般單元?e的節(jié)點基函數(shù)，需要進行節(jié)點坐標轉(zhuǎn)化。節(jié)點基函數(shù)在標準單元?st和一般單元?e中的關(guān)系可以表示為

式中，x=x（ξ）定義坐標從一般單元?e到標準單元?st的轉(zhuǎn)化；?x是關(guān)于x的梯度操作算子；?ξ是關(guān)于ξ的梯度操作算子；J是Jacobian矩陣。

在本研究中，一維坐標轉(zhuǎn)化可以表示為

式中，ξ∈［-1，1］，x∈［a，b］。Jacobian矩陣為常數(shù)（b-a）/2。

將式（2.23）代入式（2.21），權(quán)函數(shù)為Wj（ξ），然后在整個時間域上積分，可以得到

當權(quán)函數(shù)為譜元近似節(jié)點基函數(shù)時，即Wi（ξ）=φi（ξ），這種譜元法稱為Galerkin譜元法；當權(quán)函數(shù)為振動微分方程左面的表達式時，這種譜元法稱為最小二乘譜元法。本研究采用Galerkin譜元法。將φj作為權(quán)函數(shù)代入式（2.29），轉(zhuǎn)化為線性方程組得

其中，

K和F可以寫為

其中，

矩陣A、B、D可通過Gauss-Chebyshev-Lobatto求積公式［88］獲得。

2.2.4 邊界條件施加

速度初始條件：將K的第一行和第一列中除第一個元素外的其他元素都強制等于零，對應(yīng)F中的第一個元素強制等于速度初值。

位移初始條件：將K的第（N+1）行和第（N+1）列中除第（N+1，N+1）個元素外的其他元素都強制等于零，對應(yīng)F中第（N+1）個元素強制等于位移初值。