前言

自1965年Rufus Isaacs出版了第一部微分博弈專著Differential Games以來，無論其理論還是應(yīng)用研究都得到了很大的發(fā)展。今天，微分博弈已經(jīng)廣泛應(yīng)用于生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、國際關(guān)系、計(jì)算機(jī)科學(xué)和軍事戰(zhàn)略等諸多領(lǐng)域，成為科學(xué)有效的決策工具。本書以工程和經(jīng)濟(jì)金融領(lǐng)域中廣泛使用的時(shí)滯隨機(jī)系統(tǒng)為研究對(duì)象，在已有時(shí)滯系統(tǒng)最優(yōu)控制理論和微分博弈理論的基礎(chǔ)上，利用動(dòng)態(tài)優(yōu)化理論中的最大值原理、配方法等，系統(tǒng)研究時(shí)滯隨機(jī)系統(tǒng)的微分博弈問題，并給出其在隨機(jī)H₂/H_∞控制和數(shù)理金融中的應(yīng)用分析。

全書共分9章。

第1章是緒論。主要介紹了本選題的研究背景和意義，回顧了國內(nèi)外學(xué)者在時(shí)滯隨機(jī)系統(tǒng)微分博弈理論及應(yīng)用研究方面的相關(guān)成果。

第2章研究了擴(kuò)散項(xiàng)中包含狀態(tài)和控制的時(shí)滯線性隨機(jī)系統(tǒng)的Nash微分博弈問題。首先，回顧了時(shí)滯線性隨機(jī)系統(tǒng)二次控制問題的相關(guān)結(jié)論，然后在此基礎(chǔ)上，建立了時(shí)滯線性隨機(jī)系統(tǒng)的兩人Nash微分博弈模型。借助隨機(jī)最大值原理給出了均衡策略的存在條件，得到了均衡策略的顯式表達(dá)，拓展了已有的Nash隨機(jī)微分博弈的研究成果。

第3章研究了時(shí)滯線性隨機(jī)系統(tǒng)的Stackelberg博弈問題。首先，針對(duì)系統(tǒng)中不存在時(shí)滯的情形，借助隨機(jī)最大值原理研究了無時(shí)滯動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的Stackelberg博弈問題。然后在此基礎(chǔ)上，采用類似的方法研究了時(shí)滯線性隨機(jī)系統(tǒng)的Stackelberg博弈問題，得到了均衡策略的存在條件，給出了均衡策略的顯式表達(dá)，拓展了已有關(guān)于Stackelberg隨機(jī)微分博弈的研究成果。

第4章考慮了時(shí)滯線性隨機(jī)系統(tǒng)微分博弈的Pareto策略問題。首先，針對(duì)無時(shí)滯博弈的Pareto策略問題，借助配方法，得到了連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和離散時(shí)間系統(tǒng)Pareto策略存在的條件和顯式表達(dá)。然后，利用此方法研究帶時(shí)滯博弈的Pareto策略問題，推導(dǎo)證明了Pareto策略存在的條件等價(jià)于矩陣不等式存在解，同時(shí)得到了Pareto策略的顯式解和最優(yōu)值函數(shù)的一個(gè)上界。

第5章基于Nash博弈方法研究了時(shí)滯線性隨機(jī)系統(tǒng)的H₂/H_∞混合魯棒控制問題。借助于時(shí)滯線性隨機(jī)系統(tǒng)Nash博弈的結(jié)果，將控制策略設(shè)計(jì)者視為博弈的一方記為博弈人P₁，將隨機(jī)性干擾視為博弈的另一方記為“自然博弈人”P₂，從而將魯棒控制問題轉(zhuǎn)化為兩人博弈問題，即博弈人P₁如何在預(yù)期到“自然人”P₂的各種干擾策略情況下設(shè)計(jì)自己的策略，既實(shí)現(xiàn)與“自然人”的均衡又使自己的目標(biāo)最優(yōu)。解決了噪聲同時(shí)依賴于狀態(tài)、控制和干擾的時(shí)滯線性隨機(jī)系統(tǒng)的混合H₂/H_∞控制問題，證明了控制器的存在性，并借助正倒向隨機(jī)微分方程給出了反饋控制策略的解析表達(dá)。

第6章研究了廣義時(shí)滯線性隨機(jī)系統(tǒng)的多人Nash微分博弈問題。首先，針對(duì)無時(shí)滯情形下的廣義線性隨機(jī)系統(tǒng)，討論了其在有限時(shí)間和無限時(shí)間域內(nèi)的N人Nash微分博弈問題，借助一組推廣的耦合Riccati方程得到了Nash均衡策略存在的充分條件，即耦合Riccati方程如果存在解，Nash均衡策略就存在，同時(shí)給出了Nash均衡策略的顯式表達(dá)。然后，將相關(guān)結(jié)果拓展至廣義時(shí)滯線性隨機(jī)系統(tǒng)的多人Nash微分博弈問題中，得到了Nash均衡策略的存在條件等價(jià)于一組矩陣不等式存在解。最后，將所得到的廣義時(shí)滯線性隨機(jī)系統(tǒng)的多人Nash微分博弈結(jié)果應(yīng)用于隨機(jī)H₂/H_∞控制中，得到了隨機(jī)H₂/H_∞控制的存在條件和顯式表示。

第7章考慮了時(shí)滯非線性隨機(jī)系統(tǒng)的Nash微分博弈問題。針對(duì)一類噪聲依賴于狀態(tài)和控制的時(shí)滯非線性隨機(jī)系統(tǒng)，研究了無限時(shí)間域內(nèi)的兩人Nash微分博弈問題，借助四個(gè)耦合的Hamilton-Jacobi方程組（HJEs）得到了Nash均衡策略存在的充分條件，即耦合HJEs如果存在解，Nash均衡策略就存在，同時(shí)給出了Nash均衡策略的顯式表達(dá)。最后，通過一個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證了所得結(jié)論的有效性。

第8章在第7章的基礎(chǔ)上研究了一類噪聲依賴于狀態(tài)、控制和干擾的無限時(shí)間域內(nèi)的時(shí)滯非線性隨機(jī)系統(tǒng)混合H₂/H_∞控制問題。首先，借助于四個(gè)耦合的Hamilton-Jacobi方程組得到了帶時(shí)滯的非線性隨機(jī)系統(tǒng)H₂/H_∞控制存在的充分性條件。然后，基于T-S模糊模型給出了噪聲依賴狀態(tài)和控制的時(shí)滯非線性隨機(jī)系統(tǒng)H₂/H_∞控制器的設(shè)計(jì)方案?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)可通過求解一組線性矩陣不等式獲得，從而避開了求解耦合HJEs的困難。最后，數(shù)值仿真算例驗(yàn)證了結(jié)論的有效性。

第9章基于博弈分析的方法研究了數(shù)理金融中的投資組合選擇問題及生產(chǎn)和消費(fèi)選擇問題。針對(duì)投資組合選擇問題，將自然看成博弈的“虛擬”對(duì)手，在投資者與自然之間構(gòu)建了一個(gè)兩人零和隨機(jī)微分博弈模型，投資者選擇一個(gè)投資策略最大化其終止時(shí)刻財(cái)富期望效用，而市場選擇一個(gè)概率測度代表的投資環(huán)境最小化投資者的最大化終止時(shí)刻期望財(cái)富效用。利用最大值原理得到了投資者的最優(yōu)投資策略的顯式解。針對(duì)生產(chǎn)和消費(fèi)選擇問題，構(gòu)建了雇主和雇員之間的一個(gè)兩人非零和微分博弈模型，消費(fèi)策略c（·）和努力水平v（·）分別是兩個(gè)博弈參與人的控制策略，兩個(gè)博弈參與人分別選擇c（·）和v（·）最大化效用函數(shù)J₁[c（·），v（·）]和J₂[c（·），v（·）]，利用隨機(jī)最大值原理獲得了兩個(gè)博弈參與人的最優(yōu)策略。

最后是結(jié)論與展望，對(duì)本書的主要結(jié)論進(jìn)行了總結(jié)，并提出了未來研究方向。

本書是作者對(duì)時(shí)滯隨機(jī)系統(tǒng)微分博弈理論及應(yīng)用問題研究的初步嘗試和探索，由于作者的知識(shí)水平和研究能力的限制，書中一定存在不少疏忽及不妥之處，敬請(qǐng)讀者批評(píng)指正。