數學的進展

中世紀的歐洲學者們游歷四方，其中的一部分人掌握了阿拉伯語。英國巴斯的哲學家阿德里亞地（約1080～1160年）就是諸多將阿拉伯語作品譯為拉丁語的高產的翻譯家中的一個。在1142年，他完成了古希臘數學家歐幾里得《幾何原本》的翻譯，第一次把這部歐幾里得的傳世著作介紹給了歐洲人。

他也翻譯了阿拉伯數學家阿布·扎法·伊本繆薩·阿爾科瓦利茲米（約780～850年）繪制的天文圖，復制了其使用的阿拉伯數字。在1145年，來自英國切斯特的學者羅伯特首次翻譯了阿爾科瓦利茲米的《利用還原與對消運算的簡明算書》，用音譯法引入了“代數學”和“運算法則”這兩個詞語。

盡管阿德里亞地和羅伯特都使用新的數字，但真正對它們著迷的當數意大利數學家萊奧納多·斐波納契（約1170～1250年），斐波納契出生在意大利中部的一個重要商業中心城市——比薩，致力于研究商業應用數學，在1202年發表的《算經》一書中，他解釋了數字的使用規則。斐波納契還概述了在數字體系中應用位值概念的優越性。正是他首先使用了分數線（用一斜杠來區分分子與分母，如1/4）。他也研究幾何和數列，其中包括現在以他名字命名的斐波納契數列：1，1，2，3，5，8，13，21（在這個數列中，每個數值都等于它前面2個數字之和）。在1494年，被譽為會計學奠基人的意大利教士盧卡·帕西歐利發明了復式簿記的登記方法，并在其出版的《算法、幾何及比率等運算中部分細節的探討》一書中對該方法進行了介紹。

所有早期的數學作品都是面向學者或者商人的。第一本關于數學的英文普及讀物是英國學者羅伯特·瑞克德（約1510～1558年）撰寫的《藝術的基石》，這本書于1543年完稿及出版，并在此后的150年間被不斷重印出版。1557年，羅伯特·瑞克德成為第一個使用等號（“=”）的人；加號和減號則是由德國學者首先使用的。數學家們使用代數等式。在拉丁文中未知數被稱為“cosa”，德語則是“Coss”。到了1591年，法國政治家兼律師弗朗斯瓦·維耶特撰寫了《分析的藝術》一書，他用元音字母表示未知量，用輔音字母表示已知量，寫出了現代數學家也能理解的第一個方程式，因此被稱做“代數之父”。然而數學對維耶特而言不過是一項興趣愛好，他最輝煌的成就是在法國與西班牙戰爭期間作為法國國王亨利四世的侍臣破譯了西班牙菲利浦二世使用的密碼。

算盤

與此同時，蘇格蘭莫切斯頓的男爵約翰·內皮爾正在緊張地發明一種駭人的武器，以保衛蘇格蘭免受西班牙的襲擊。然而襲擊事件并沒有發生，許多人都因此認定內皮爾神經不正常。但不論其正常與否，內皮爾仍是杰出的數學家。在1594年，內皮爾發明了一種運算方法——所有數字都用指數函數表示，譬如4=2²。乘法因此成了一項關于指數相加的運算，如2²×2³=2⁵，而除法也僅需要將指數相減。他稱指數表達式為“對數”，意指成比例的數字，并于1614年公布了以e（自然對數，是個無限小數——2.71828……）為底數的對數表。

內皮爾對數（又稱自然對數）沿用至今。然而一位牛津大學的幾何學教授，也是內皮爾的仰慕者——亨利·布瑞格斯指出，取10而不是e作底數將使運算更簡便，因為這樣log10=1，而log1=0。布瑞格斯發明了“常用”對數。在1624年，他公布了從1到100000的對數表。他還發明了應用于長除法的現代計算方法。

西蒙·史蒂文（約1548～1620年）是一位佛蘭德物理學家、工程師和數學家。1585年，他首次提出了十進制記數法，但內容上并不完整。直至30年后約翰·內皮爾引入小數點這一符號，才使小數得到充分應用。

內皮爾極渴望能加快計算速率，1617年他帶來了個人的第三個創新——“內皮爾骨”。它們是些筆直的棍子，每支都相應刻有乘法表。使用者按一定規則將它們排列組合后，任何繁冗的乘法計算即成為簡單的加法。改進后的工具可旋轉，其內部安放了12個圓柱體“骨頭”。

大約在1622年，英國數學家威廉·奧特瑞德（1574～1660年）發明了“計算尺”。在20世紀后葉電子計算器被發明以前，數學家和工程師們一直使用計算尺來計算對數。奧特瑞德在兩把尺身上標記了對數刻度，憑借另一把尺在計算時的機械移動來獲取結果。在一本1631年出版的書中，奧特瑞德還引入“×”符號來標記乘法，用“：”標記比例。