3.1.1　進位計數制

1.基數

進位計數制的特點是由一組規定的數字來表示任意的數，這組數字的總個數就稱為基數。

①十進制：基數為10，10個記數符號，即0、1、2、…、9。每一個數碼符號根據它在這個數中所在的位置（數位），按“逢十進一”來決定其實際數值。

②二進制：基數為2，2個記數符號，即0和1。每個數碼符號根據它在這個數中的數位，按“逢二進一”來決定其實際數值。

③八進制：基數為8，8個記數符號，即0、1、2、…、7。每個數碼符號根據它在這個數中的數位，按“逢八進一”來決定其實際的數值。

④十六進制：基數為16，16個記數符號，0～9，A～F。其中A～F對應十進制的10～15。每個數碼符號根據它在這個數中的數位，按“逢十六進一”決定其實際的數值。

2.位權

進位計數制的數可以用位權來表示，位權是指一個數字在某個固定位置上所代表的值，處在不同位置上的相同數字符號所代表的值不同，每個數字的位置決定了它的值或者位權。

位權與基數的關系是：各進位制中位權的值是基數的若干次冪。因此，用任何一種數制表示的數都可以寫成按位權展開的多項式之和。

位權表示法的原則是數字的總個數等于基數；每個數字都要乘以基數的冪次，而該冪次是由每個數所在的位置決定的。排列方式是以小數點為界，整數部分自右向左乘以基數的0次方、1次方、2次方……小數部分自左向右乘以基數的負1次方、負2次方、負3次方……

一般，任意進制數S都可以表示為如下的形式：

其中，p稱為任意進制的基數，m、n為正整數。

①十進制數在數字后加字母D（decimal）或不加字母，例如：

634.28D=6×102+3×101+4×100+2×10-1+8×10-2

②二進制數在數字后加字母B（binary），例如：

101.1B=1×22+0×21+1×20+1×2-1

③八進制數在數字后加字母O（octonary），但為了與0區別，可改為Q，例如：

36.2Q=3×81+6×80+2×8-1

④十六進制數在數字后加字母H（hexadecimal），若以A、B、C、D、E或F開頭，則需要加前導詞0，以便與標識符相區分。例如：

0B78.FH=11×162+7×161+8×160+15×16-1

二進制、十進制、八進制和十六進制的對應關系如表3-1所示。

3.二進制的特點

在計算機中采用二進制的原因如下：

（1）可行性

采用二進制，只有0和1兩個狀態，需要表示0、1兩種狀態的電子器件很多，如開關的接通和斷開，晶體管的導通和截止、磁元件的正負剩磁、電位電平的低與高等都可表示0、1兩個數碼。使用二進制，電子器件具有實現的可行性。

（2）簡易性

二進制數的運算法則少，運算簡單，使計算機運算器的硬件結構大大簡化（十進制的乘法九九口訣表有55條公式，而二進制乘法只有4條規則）。

（3）邏輯性

由于二進制0和1正好和邏輯代數的假（False）和真（True）相對應，有邏輯代數的理論基礎，用二進制數表示二值邏輯很自然。