1.2.1　數列的極限

一般地，按一定順序排列的一列數x1，x2，…，xn，…叫作數列，簡記為{xn}，數列中的每一個數叫作數列的項，第n項xn叫作數列的一般項或通項.

例如：

（1），，，…，，…，通項為；

（2）1，-1，1，-1，…，通項為xn=（-1）n+1；

（3）2，4，8，…，2n，…，通項為xn=2n.

例1　某新發現的稀有金屬礦的礦藏量為q億噸，計劃今后第一個10年開采礦藏量的，第二個10年開采剩余礦藏量的，第三個10年開采剩余礦藏量的，……，第n個10年后，還剩多少礦藏量？多少個10年才能全部開采所有礦藏量？

解　第一個10年后，剩余礦藏量為；

第二個10年后，剩余礦藏量為；

第三個10年后，剩余礦藏量為；

……

第n個10年后，剩余礦藏量為

當自變量n變大時，礦藏量變小；當自變量n無限增大時，礦藏量無限趨近于0.

發現：數列{xn}可看作自變量為正整數n的函數

xn=f（n），n∈N+.

下面我們要討論的是：當n無限增大時（即n→∞時），對應的xn=f（n）是否能無限接近某個確定的數值？如果能，這個數值等于多少？

觀察上述數列可以發現，當n無限增大時，數列（1）無限趨近于一個確定的常數1，數列（2）無限趨向于兩個確定的常數，數列（3）無限增大，例1中的數列無限趨近于0，從而引出數列極限的定義：

定義1　對于數列{xn}，如果當n無限增大時，其通項xn無限接近于某一個確定的常數A，則稱常數A為數列{xn}的極限，或者稱{xn}收斂于A，記作

　或　xn→A（n→∞），

此時也稱數列收斂，否則稱數列發散，習慣上也說極限 不存在.

例2　觀察下列數列變化趨勢，利用數列極限定義寫出極限.

（3）{zn}：2，2，2，，…，2，…；

（4）{wn}：0，1，0，1，…，….

解　通過觀察發現，當n無限增大時，各數列的變化趨勢如下：

（1）因為數列的通項無限趨近于確定的常數1，所以由數列極限定義得到

因此數列{xn}是收斂的.

（2）因為數列的通項無限趨近于確定的常數0，所以由數列極限定義得到

因此數列{yn}是收斂的.

（3）因為數列的通項zn=2無限趨近于確定的常數2，所以由數列極限定義得到

因此數列{zn}是收斂的.

（4）因為數列的通項無限趨近于兩個確定的常數0和1，即該數列不能趨近于一個確定的常數，所以不存在，因此數列{wn}是發散的.

發現：（1））；（2）；

例如，當n→∞時，數列的通項與3的距離為

所以

因此該數列收斂.

討論下列數列收斂還是發散.如果收斂寫出其極限，并探討數列與極限相差多少.

（1）；　　（2）.

發現：數列{xn}的極限為A，即當項數無限增大時，數列的通項無限趨近于一個確定的常數A，此時通項與A的距離無限趨近于0，

當n→∞時，|xn-A|→0.

數列{xn}的極限為A的幾何意義：當n→∞時，|xn-A|→0.表示在n→∞的過程中，一定存在某一項xN，當n>N時，所有的點xn都落在開區間（A-ε，A+ε）內，而只有有限個（至多只有N個）在這區間以外，如圖1-15所示.