1.1.1　從結繩計數到電子計算機技術

1.結繩計數法——最古老的計數工具

達爾文和馬克思都曾經闡述過，勞動工具對于人類從猿進化到人起著關鍵性的作用。遠古時候，人們在勞動和生活實踐中，發明了刀斧、弓箭等工具，物化延伸了自身身體的能力，有著較一般動物更高的智力，依靠這些工具來獲取生存資源的能力大大提高，并學會了存儲食物以便度過饑荒的年月，因此，對于數的概念和需求逐步建立，例如，打了多少只野獸，俘虜了多少個敵人等，由于沒有誕生文字，有人就想到用繩子打結的方法來記錄這些數字，如圖1-2所示。

宋朝時，有人曾在書中記載：“韃靼無文字，每調發軍馬，即結草為約，使人傳達，急于星火。”這是用結草來調發軍馬，傳達要調的人數。中央民族大學就收藏著一副高山族的結繩，其由兩條繩組成：每條上有兩個結，再把兩條繩結在一起。有趣的是，不但我們東方有過結繩，西方也結過繩。雖然那時還沒有電報電話，人類的發展有其相似之處。傳說古波斯王有一次打仗，命令手下兵馬守一座橋，要守60天。為了讓將士們不少守一天也不多守一天，波斯王用一根長長的皮條，在上面系了60個扣。他對守橋的官兵們說：“我走后你們一天解一個扣，什么時候解完了，你們就可以回家了。”在古埃及，也很早就有用結繩的方法來記錄關于數的需求，如圖1-3所示。在我國古代的甲骨文中，數學的“數”，它的右邊表示一只右手，左邊則是一根打了許多繩結的木棍，表示“數”者，圖結繩而記之。

當然，后來也有在動物的骨頭或者木棍上劃痕來計數的方法。但結繩還不能算計算，只能用于計數而已。

2.算籌——最古老的計算工具

結繩的方法只能計數，但如何進行計算呢？隨著人類生產工具的進化，生產的資源超過了自身的需求，這就產生了交易，交易中存在計算，例如，23+73，古人時用什么辦法解決的呢？算籌很好地解決了這個問題。

在春秋戰國時期，算籌的使用已經非常普遍了。古代的算籌實際上是一根根同樣長短和粗細的小棍子（見圖1-4），一般長為13～14cm，徑粗0.2～0.3cm，多用竹子制成，也有用木頭、獸骨、象牙、金屬等材料制成的，大約二百七十多枚為一束，放在一個布袋里，系在腰部隨身攜帶。需要計數和計算的時候，就把它們取出來，放在桌上、炕上或地上都能擺弄。

在算籌計數法中，以縱橫兩種排列方式來表示單位數目的，其中1～5均分別以縱橫方式排列相應數目的算籌來表示，6～9則以上面的算籌再加下面相應的算籌來表示。表示多位數時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，依此類推，遇零則置空。這種計數法遵循一百進制。據《孫子算經》記載，算籌計數法則是：凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當。《夏陽侯算經》寫道：滿六以上，五在上方，六不積算，五不單張。算籌計算法如圖1-5所示。

3.算盤——中國的偉大發明

算盤又稱珠算盤，起源于北宋時代，已經有2600多年歷史，是中國古代創造發明的一種簡便的計算工具（見圖1-6）。算盤的發明解決了算籌擺放不易、容易出錯的問題。算盤結合十進制計數法設計了一套計算口訣，這也許是人類歷史上最早的系統化、體系化的計算算法。在人類計算工具的歷史上具有重要的意義，有人認為算盤是人類最早的數字計算機。北宋名畫《清明上河圖》中趙太丞家藥鋪柜就畫有一架算盤。算盤對于20世紀60年代以前出生的人來說是很熟悉、很親切的，稍微復雜的計算都用它來解決。

在計算機已被普遍使用的今天，古老的算盤不僅沒有被廢棄，反而因它的靈便、準確等優點，在許多國家方興未艾。即使現代最先進的電子計算器也不能完全取代算盤的作用。因此，人們往往把算盤的發明與中國古代四大發明相提并論。2013年12月2日至7日聯合國教科文組織在阿塞拜疆首都巴庫舉行“非遺”保護政府間委員會第八次會議，12月4日，珠算正式成為人類非物質文化遺產。這是我國第30項被列為非遺的項目。

4.計算尺——西方對計算技術的重要貢獻

計算尺發明于大約1620—1630年，在納皮爾（John Napier）對數概念發表后不久。16、17世紀之交，隨著天文、航海、工程、貿易以及軍事的發展，改進數字計算方法成了當務之急。納皮爾（1550—1617）正是在研究天文學的過程中，為了簡化其中的計算而發明了對數。對數的發明是數學史上的重大事件，恩格斯曾經把對數的發明和解析幾何的創始、微積分的建立稱為17世紀數學的三大成就，伽利略也說過：“給我空間、時間及對數，我就可以創造一個宇宙。”利用對數原理，可以將乘法簡化為加法，除法簡化為減法，求平方簡化為以2為除數的除法，大大簡化了計算。

牛津大學的埃德蒙·甘特（Edmund Gunter）發明了一種使用單個對數刻度的計算工具，當和另外的測量工具配合使用時，可以用來做乘除法。1630年，劍橋大學的威廉·奧特雷德（William Oughtred）發明了圓算尺，1632年，他組合兩把甘特式計算尺，用手合起來制成可以視為現代的計算尺的設備，如圖1-7如圖所示。

對數計算尺可以說是一個模擬計算機，通常由三個互相鎖定的有刻度的長條和一個滑動窗口（稱為游標）組成。可以進行乘除法、根、冪、三角函數、指數和對數等運算。

三百多年來，對數計算尺一直是科學工作者，特別是工程技術人員必備的計算工具，直到20世紀70年代才讓位給電子計算器。德國火箭專家沃納·馮·布勞恩，在第二次世界大戰后到美國從事航天計劃工作時隨身帶了兩把三十年代的老式Nestler算尺。終其一生，他沒有用過任何其他袖珍計算儀器；顯然計算尺在他進行火箭設計的參數估算和其他計算中起過重要的作用。中國歷史上康熙皇帝就使用過計算尺。20世紀60—70年代計算尺也是學生必備的計算工具。

5.機械式計算技術

隨著西方鐘表技術的發展，齒輪的轉動計時方法體現了機械計算及進位的思想（低位齒輪每轉動一圈，高位齒輪只轉動一圈），這為機械式計算機的發明奠定了基礎。

（1）帕斯卡加法器

帕斯卡（Pascal，圖1-8）是法國數學家、物理學家、哲學家、流體動力學家和概率論的創始人，他少年時每天都看著年邁的父親費力地計算稅率稅款，很想幫助做點事，可又怕父親不放心。于是，他想到了為父親制作一臺可以計算稅款的機器。1642年，他19歲那年發明了人類有史以來第一臺機械計算機。

帕斯卡的計算機是一種系列齒輪組成的裝置，外形像一個長方盒子，用兒童玩具那種鑰匙旋緊發條后才能轉動，只能夠做加法和減法。為了解決“逢十進一”的進位問題，聰明的帕斯卡采用了一種小爪子式的棘輪裝置。當定位齒輪朝9轉動時，棘爪便逐漸升高；一旦齒輪轉到0，棘爪就“咔嚓”一聲跌落下來，推動十位數的齒輪前進一擋。

帕斯卡在諸多領域都有建樹。物理學中關于液體壓強性質的“帕斯卡定律”就是他的偉大發現并以他的名字命名的。可惜，長期從事艱苦的研究損害了他的健康，1662年英年早逝，死時年僅39歲。他留給了世人一句至理名言：“人好比是脆弱的蘆葦，但是他又是有思想的蘆葦。”

人們沒有忘記帕斯卡對于計算機的功績，1971年發明的一種程序設計語言——Pascal語言，就是為了紀念這位先驅，使帕斯卡的英名長留在計算機時代。

（2）萊布尼茨乘法器

德國數學家萊布尼茨（Leibniz，圖1-9）在看了帕斯卡撰寫的加法器計算機論文后產生了強烈的發明欲望，經過艱苦的研究和實驗，1674年萊布尼茨發明了乘法器，這是一臺可以完整進行加減乘除運算的計算機。他說：“把計算的工作交給機器去做，可以使優秀的人才從繁重的計算中解脫出來”。機械計算機如圖1-10所示。

萊布尼茨是微積分的共同發明者，奠定了二進制的基礎，他曾斷言：“二進制乃是具有世界普遍性的、最完美的邏輯語言。”

6.差分機（數學分析機器）模型

最具有現代計算機雛形的當屬美國人赫爾曼·霍爾瑞斯（Herman Hollerith）發明的卡片制表系統。赫爾曼·霍爾瑞斯是一個統計學家，起初發明該系統是為了統計死亡率，后用于人口普查，使得原來需要7年半的統計工作縮短為兩年半的時間就完成了，大大加快了計算時間。該卡片制表系統采用了以卡片穿孔來存儲資料和排序，該方式成為早期計算機的程序和數據存儲方式的雛形，所以又稱赫爾曼·霍爾瑞斯為“信息處理之父”。赫爾曼·霍爾瑞斯以此成立的計算機制表公司最后發展為國際商用機器公司，也就是現在的IBM。

1819年，英國科學家巴貝奇同期也設計了“差分機”（見圖1-11），提出了帶程序控制的完全自動計算機的設想，所謂“差分”的含義，是把函數表的復雜算式轉化為差分運算，用簡單的加法代替平方運算。該機器已經能夠編制平方表和一些其他的表格，還能夠計算多項式的加法，運算的精確度達6位小數。巴貝奇還于1822年制造出可動模型，這臺機器能提高乘法速度和改進對數表等數字表的精確度。巴貝奇研制的差分機和分析機為現代計算機設計思想的發展奠定基礎，為現代計算機的誕生掃除了許多理論上的障礙，做出了巨大的貢獻。