前言

古希臘數學最早分為代數和幾何，分別起源于計數、丈量大地及天文觀測等實踐活動.西方工業革命后，隨著科學技術的發展，當時對靜態的數量和空間關系的數學研究成果已不能滿足需求，因此用于處理變量的微積分就應運而生.當然，數學家們用了百余年才將其理論逐步完善，使得微積分成為今天強大的數學分析工具.第二次世界大戰期間，彈道設計、飛行控制、物資調運、密碼破譯等方方面面對數學的迫切需求，快速地將數學的應用推向了更多的領域，催生了一大批新的數學學科，迎來了應用數學蓬勃發展的時代.這期間，電子計算機的誕生也大大改變了數學研究及數學應用的格局.伴隨而來的隨機處理的理論和方法也進入了理論數學的“正廳”.21世紀，信息化社會和互聯網時代對數學提出了更為廣泛和深刻的要求.具有時代特征的大數據正在有力地推動著數學科學的發展，現有的許多數學理論都面臨大數據帶來的挑戰，同時，這也給數學發展進入一個新時期提供了難得的機遇.

數學分為理論數學和應用數學兩部分，這兩部分的發展動力分別來自數學本身的內在動力以及自然和社會需求的外在動力，特別是后者，從前面的歷史回顧可以看出它是數學形成和發展的源動力.這兩股動力的合力就是數學生生不息、發展強勁的根本原因.自數學誕生的第一天起，這兩部分就是相輔相成，共同發展的.它們息息相通，水乳交融，然而從表面上看，這兩部分卻各有自己的天地，特別是理論數學一旦形成了基本的概念和方法，就不一定需要來自實際的動力，更多時候憑借數學內部的矛盾和抽象思維就可以獨自進行推進，甚至離實際越來越遠，走進了象牙塔.但數學一旦缺少外部動力作為本源的支持，終將式微，因此數學是離不開應用的.隨著科學和社會的發展，實際應用中大量的數學問題應運而生，急切地要求應用數學工具去解決，有些問題用已知的數學工具就可以解決，而有更多問題對現有的數學理論提出了挑戰，甚至催生了許多新的數學分支.所以數學的理論和應用的關系就像中國古典哲學思想的太極圓，你中有我，我中有你，而連接理論和應用的一個直接的紐帶就是數學建模.

概括地說，數學建模是數學通向實際應用的必經之路，也是促進數學發展的重要因素.數學建模面對的是實際問題，它是應用數學的第一步，擔負著如何將實際問題翻譯成數學語言，提出數學問題，最后再將數學結果翻譯到實際應用中去的任務，所以其至少肩負著如下職責：（1）明白實際問題，發現問題中的數量或空間關系，用適當的數學工具表述這些關系；（2）深切理解數學，了解數學的長處和短處，掌握至少一個數學分支，并熟悉其他各分支，找到最適合的數學工具去處理對象問題.所以一個數學建模者，既要了解實際問題，也要掌握數學的理論和方法.

然而數學模型并不是百分之百地反映了實際問題，在建模的過程中，人們對實際問題進行了一定的假設和簡化，突出了主要矛盾而忽略了次要矛盾，這需要人們在應用數學模型時留意其適用范圍，這樣同一個實際問題才可能有不同的數學模型表述.從某種程度上說，這正是數學的各個分支百花齊放、各具芬芳的原因.正如1998年菲爾茲獎得主、英國數學家高爾斯（T.Gowers）所說，數學所研究的并非是真正的現實世界，而只是現實世界的數學模型，也就是研究現實世界的一種虛構和簡化的版本.其實，數學各個分支的研究對象，幾何、代數、變量、方程……哪一個不是某方面具有該分支特點的數學模型呢?因此，可以說數學模型也是理論數學的研究對象，是理論數學的原始出發點.數學的發展史就是建立各種從實際中提出數學模型并對其研究深化的歷史，因此數學建模在數學研究領域的地位是舉足輕重、極為關鍵的.

既然數學建模如此重要，那么數學建模就應該成為數學專業學生、其他理工科學生甚至是文科學生的必修課.合適的教材也就成了學生學習以及老師講授數學建模課程的好幫手.近年來，參加各種各樣數學競賽的學生越來越多，常有學生問起，想參賽要達到什么樣的要求?我們的回答是，沒有特殊的要求，只要你懂點數學，能寫作文即可.事實上，你可以用自己已知的數學知識去翻譯實際問題、解決實際問題.當然，你的數學知識掌握得越多，就有可能做出越好的模型.所以數學建模的目的不是考驗建模者會不會技巧，而是形成一個讓人循序漸進、不斷增強能力的過程.

數學建模學習過程中最困難的可能是如何將一個實際問題用數學語言表示出來.數學領域學科紛繁多樣，其表達形式也有各種“方言”，要從中找到適合問題對象的數學工具.圖1所示的建模路線圖將本書主要介紹的模型聯系起來，也許可以幫助讀者盡快將需要解決的問題對號入座.

然而這張示意圖并不是“建模秘訣”，同一個問題可能需要使用多個工具建模，也可能這個問題用不同的工具都可以處理，所以學習數學建模需要通過對數學理論的深刻理解和掌握以及建模應用的實踐逐漸加強解決問題的能力.

《數學建模講義》是基于我們近十年在同濟大學進行數學建模教學實踐所出的第一本教材.該教材出版后受到師生們的歡迎和好評.隨著現代社會日新月異的發展以及人們對數學建模各層次學習的需求，這本教材已不能完全滿足所有的課程對象，于是我們組織撰寫了這本《數學建?！?如果說《數學建模講義》是學習數學建模的入門教材，那么這本《數學建?！肪褪且槐具M階教材.兩本教材都保持了語言通俗、例子有趣的特點，但又各有側重.《數學建模講義》中有大量初等模型的例子，詳述了線性規劃，對建模的過程和基本方法進行逐步深入的詳細解釋，尤其對建模的其他要素，如寫作、評估等也有詳解.而《數學建?！吩诶^承《數學建模講義》重視計算的基礎上，加強了分析問題的環節，深化了圖論、動態和優化模型，特別是增添了概率統計模型，以應對大數據時代的需求.《數學建模》還針對目前越來越受歡迎的數學建模競賽，專開一章介紹參賽攻略，希望給有志參賽的同學提供一定的幫助.

讀者掃描旁邊的二維碼，可以觀看由本書編者主演的《數學之城》科普短片（版權歸上海東影傳媒有限公司所有）。該片是本書很好的導讀片，榮獲2017年國家科普影片最高獎“科蕾杯”一等獎，片中涉及許多城市生活中的問題，其數學建模方法在本書有詳細的介紹。讀者觀看后會感受到：數學建模是和我們的生活密不可分的。

本書共5章，除前言外，分別為圖論模型（楊亦挺編寫）、概率統計模型（錢志堅編寫）、動態模型（梁進編寫）、優化模型（陳雄達、梁進編寫）和競賽攻略（梁進編寫）.黃芝軒同學對第2章的計算工作進行了有力支撐，在此表示感謝.本書提供了部分程序代碼示例和動畫（陳雄達、錢志堅編寫），讀者可從人郵教育社區（www.ryjiaoyu.com）搜索本書書名，在對應頁面下載.本書面向的讀者對象主要是有一定數學建?；A的同學.與《數學建模講義》一樣，教師在授課時可以根據實際情況進行刪減.每章最后附有精心挑選的習題.希望這本書可以對讀者學習數學建模和提高數學建模能力有所幫助.

編者

2019年3月